試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題05數列真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、單選題1．（2020·北京·高三強基計劃）滿足對任意有且嚴格遞增的數列的個數為（

）A．0 B．1 C．無窮多個 D．前三個答案都不對2．（2020·北京·高三強基計劃）已知數列滿足，且對任意，有，其前n項和為，則的最大值等于（

）A．28 B．35 C．47 D．前三個答案都不對3．（2020·北京·高三強基計劃）設x，y，z均不為，其中k為整數．已知成等差數列，則依然成等差數列的是（

）A． B．C． D．前三個答案都不對4．（2020·北京·高三強基計劃）已知整數數列滿足，且對任意，有，則的個位數字是（

）A．8 B．4 C．2 D．前三個答案都不對5．（2020·北京·高三校考強基計劃）設數列的前n項和，且實數p滿足．則p的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2021·北京·高三強基計劃）已知數列滿足，數列滿足，若正整數m滿足，則m的最小值為（

）A．23 B．24 C．25 D．以上答案都不對7．（2021·北京·高三強基計劃）設是與的差的絕對值最小的整數，是與的差的絕對值最小的整數．記的前n項和為，的前n項和為，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對二、多選題8．（2020·北京·高三?？紡娀媱潱┮阎獢盗袧M足，則（

）A．存在數列A，使得B．存在數列A，使得C．存在數列A，使得D．存在數列A，使得9．（2020·北京·高三?？紡娀媱潱┰O數列的前n項和為，若數列滿足對任意，均存在，使得，則稱數列為T數列．下列命題中正確的有（

）A．若則為T數列B．若（其中a為常數），則為T數列C．若均為T數列，，則為等差數列D．若為等差數列，則存在兩個T數列，，使得三、填空題10．（2022·福建·高二統考競賽）已知各項均為正數的等比數列中，，.數列滿足：對任意正整數n，有，則___________.11．（2021·全國·高三競賽）設數列的首項，且求．12．（2021·全國·高三競賽）已知數列滿足：，且當為偶數時，；當為奇數時，.若，則___________.13．（2022·北京·高三校考強基計劃）已知與均為完全平方數且不超過2022，則正整數的個數為___________.14．（2022·浙江·高二競賽）設數列滿足，，則的值為______.（結果用和表示）15．（2022·浙江·高二競賽）已知，，，，1，2，…，則滿足的最小正整數n為______.16．（2021·江蘇·高三強基計劃）是與最接近的整數，則_________．17．（2020·北京·高三強基計劃）已知表示不超過x的最大整數，如等，則__________．18．（2022·北京·高三校考強基計劃）若三邊長為等差數列，則的取值范圍是___________.19．（2022·北京·高三?？紡娀媱潱┮阎獢盗懈黜椌鶠檎麛担抑写嬖谝豁棡?，可能的數列的個數為___________.20．（2022·北京·高三校考強基計劃）已知數列滿足，則最接近的整數為___________.四、解答題21．（2021·全國·高三競賽）求證：對于正整數n，令，數列中有無窮多個奇數和無窮多個偶數（表示不超過實數x的最大整數）．22．（2021·全國·高三競賽）數列滿足且．證明：其中無理數．23．（2021·全國·高三競賽）求最大的正實數，使得對任意正整數n及正實數，均有．24．（2022·江蘇南京·高三強基計劃）設的兩個根分別為，，設.(1)求證：；(2)求的個位數字.25．（2022·江蘇蘇州·高二統考競賽）已知數列滿足，，且，.(1)證明：；(2)證明：.26．（2020·浙江·高三競賽）已知數列滿足，，.（1）若對任意的正整數，有，求實數的取值范圍；（2）若，且對任意大于1的正整數，有恒成立，求的最小值.27．（2021·全國·高三競賽）已知.求證：.28．（2022·江蘇南京·高三強基計劃）已知整數，證明：.29．（2021·浙江·高二競賽）設為給定的正整數，，，…，為