試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強(qiáng)基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】專題02函數(shù)真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強(qiáng)基計劃專用）一、單選題1．（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計劃）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．e C． D．【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求的最小值.【詳解】設(shè)零點(diǎn)為t，則，因此，考慮函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而的最小值為．故選：D.2．（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計劃）設(shè)多項式的各項系數(shù)都是非負(fù)實數(shù)，且，則的常數(shù)項的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求系數(shù)和的4個等式，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可判斷常數(shù)項的最小值.【詳解】設(shè)，其中，則從而，，，，于是，等號當(dāng)時取得，因此所求最小值為，故選：B.3．（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計劃）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)的對稱性可求，再利用特殊值法可判斷最小值小于零，從而可判斷CD的正誤.【詳解】注意到，因此，故選項A正確，選項B錯誤．而注意到，于是，故選項CD錯誤．綜上所述，只有選項A正確．故選：A.4．（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計劃）已知的導(dǎo)數(shù)存在，的圖象如圖所示，設(shè)是由曲線與直線，及x軸圍成的平面圖形的面積，則在區(qū)間上（

）A．的最大值是，最小值是 B．的最大值是，最小值是C．的最大值是，最小值是 D．的最大值是，最小值是【答案】D【分析】根據(jù)圖像，利用導(dǎo)數(shù)的定義，化簡，然后，逐個選項進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖所示，的最大值為，最小值為．由導(dǎo)函數(shù)的定義，得．則的最大值是，最小值是.故選：D5．（2022·北京·高三校考強(qiáng)基計劃）已知表示不超過的整數(shù)，如.已知，則（

）A．321 B．322 C．323 D．以上都不對【答案】A【分析】記，則由其所對應(yīng)的特征根方程知數(shù)列滿足，由遞推關(guān)系依次求出各項，再結(jié)合放縮法即可求解【詳解】記，則由其所對應(yīng)的特征根方程知數(shù)列滿足且，依次可得，而，所以，所以，所以.故選：A6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若曲線上存在點(diǎn)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明.令函數(shù)，化為.令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.【詳解】解：，當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，取得最小值，即函數(shù)的取值范圍為，，若上存在點(diǎn)，使得成立，則，.又在定義域上單調(diào)遞增.所以假設(shè)，則（c），不滿足.同理假設(shè)，也不滿足.綜上可得：.，.函數(shù)，的定義域為，等價為，在，上有解即平方得，則，設(shè)，則，由得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，即（1），當(dāng)時，（e），則.則.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.二、多選題7．（2020·湖北武漢·高三統(tǒng)考強(qiáng)基計劃）設(shè)函數(shù)則（

）A．當(dāng)有極小值時，B．當(dāng)有極大值時，C．當(dāng)連續(xù)時，的可能值有3個D．當(dāng)有2極值點(diǎn)時，或【答案】BC【分析】作出和的圖象,由圖象依次判斷各選項即可得出結(jié)果.【詳解】作出和的圖象,如圖,有兩個極值點(diǎn).對于選項A,當(dāng)時，有極小值，A錯誤；對于選項B,當(dāng)有極大值時，，所以B正確；選項C,要使連續(xù)，則必須取在和的交點(diǎn)處，這樣的恰有三個,故C正確；對于選項D,要有兩個極值點(diǎn)，則或，故D錯誤.故選：BC.8．（2022·浙江寧波·高三統(tǒng)考競賽）已知且，關(guān)于x的不等式，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在a，使得該不等式的解集是RB．存在a，使得該不等式的解集是C．存在a，使得該不等式的解集是D．存在a，使得該不等式的解集是【答案】ACD【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識對選項逐一進(jìn)行判定.【詳解】①，故A正確；②，又，故存在a使得，不等式解集為故C正確；③，又，故存在a使得，不等式解集為故D正確；④結(jié)合A、C、D選項，當(dāng)或或時，不等式都存在解集，故不滿足解集為空集，所以B錯誤.故選：ACD．9．（2020·湖北武漢·高三統(tǒng)考強(qiáng)基計劃）設(shè)正整數(shù)使得關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有個實根，則（

）A．B．C．D．，，成等差數(shù)列【答案】ABC【分析】利用函數(shù)圖象，結(jié)合圖象判斷每個選項即可.【詳解】解：如圖所示，函數(shù)與函數(shù)恰有個交點(diǎn).選項A，根據(jù)對稱性可知，正確；選項B，考慮在區(qū)間內(nèi)，兩函數(shù)在時相切，所以，所以滿足，而，所以，正確；選項C，兩函數(shù)在時相切，所以，所以，正確；選項D，若，，成等差數(shù)列，則因為，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以必有，即，則，則，故不符合題意，錯誤.故選：ABC.三、填空題10．（2022秋·河南駐馬店·高二確山縣第一高級中學(xué)校考競賽）若函數(shù)的定義域為，值域為，則實數(shù)t的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解析：易知在上單調(diào)遞減，因為函數(shù)的值域為，所以即兩式相減得，，所以.因為，所以，而，所以.又，所以.故答案為：.11．（2022·新疆·高二競賽）已知，則不等式的解集為___________．【答案】【詳解】令，易得為奇函數(shù)且單調(diào)遞增．原不等式等價于．所以．故答案為：.12．（2021·全國·高二專題練習(xí)）若函數(shù)滿足（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），且，則___________.【答案】0【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得，即，結(jié)合，可得，即，，代入即得解【詳解】令，則，∴.又，∴，∴，∴，于是，.故答案為：013．（2022·廣西·高二統(tǒng)考競賽）設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)，其反函數(shù)為．設(shè)，分別是方程和的解，則______．【答案】2【詳解】嚴(yán)格單調(diào)遞增．且，故，，于是.故答案為：2.14．（2022·廣西·高二統(tǒng)考競賽）已知，．設(shè)，則的整數(shù)部分為______．【答案】14996【詳解】由，取，，將不等式相加可得，則的整數(shù)部分為14996．故答案為：14996．15．（2022·江蘇南京·高三強(qiáng)基計劃）函數(shù)的值域為___________.【答案】【詳解】令，由得，則，，所以.故答案為：.16．（2022·福建·高二統(tǒng)考競賽）已知函數(shù)在區(qū)間上恒正，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【詳解】設(shè)，由，得，當(dāng)，且時，，所以時，在區(qū)間上遞增，①若，則時，，因此，②若，則時，，因此，綜上，a的取值范圍為.故答案為：.17．（2022·貴州·高二統(tǒng)考競賽）函數(shù)的對稱中心為，則_____．【答案】1【詳解】∵，設(shè)，，∴是奇函數(shù)，所以f(x)關(guān)于點(diǎn)對稱，∴．故答案為：1.18．（2022·貴州·高二統(tǒng)考競賽），使得（）恒成立，則所有滿足條件的a的和_____．【答案】0【詳解】由得，，令，，，，，在同一坐標(biāo)下的圖像如圖所示：由得，，當(dāng)時，，由圖對稱性知，∴，∴，∴元素之和為0，故答案為：0.19．（2021·全國·高三競賽）已知方程有三個實根．若，則實數(shù)__________．【答案】【詳解】設(shè)，注意到．故方程可變形為．由，得，從而有由，得，進(jìn)而．再由，得．因為，所以，即，解得．故答案為：.20．（2021·全國·高三競賽）已知s?t是關(guān)于x的整系數(shù)方程的兩根，，則當(dāng)正整數(shù)a取得最小值時，___________.【答案】【詳解】設(shè)，則，因為，所以，所以.又因為，所以，但，所以.當(dāng)時，，所以，所以.于是，故.21．（2021·全國·高三競賽），可以表示為一個偶函數(shù)和奇函數(shù)的和，則的最小值是_________．【答案】0【詳解】解析：因為可以表示為一個偶函數(shù)和奇函數(shù)的和，所以，，當(dāng)時，．故答案為：0.22．（2021·全國·高三競賽）方程的不同的實數(shù)解的個數(shù)為___________.【答案】5【詳解】解析：易知是原方程的解.當(dāng)時，利用，原方程等價于.方程兩端同除x，整理后得.再同除x，得.即，從而有.經(jīng)驗證均是原方程的根，所以原方程共有5個不同的實數(shù)根.故答案為：5.23．（2020·江蘇·高三競賽）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)，且，則實數(shù)的最大值為___________．【答案】1【詳解】解析：由題意，則，求導(dǎo)可得為單調(diào)遞增的函數(shù)，故，則，解得，則實數(shù)的最大值為1．故答案為：1.24．（2022·北京·高三校考強(qiáng)基計劃）已知是二次函數(shù)，，且，則___________.【答案】36【分析】法一：由，可設(shè)，則由整理后即為，由得，討論，可得出，由此可解出，可求出的解析式，即可得出答案.法二：由，設(shè)，討論和結(jié)合題目條件可解得，可求出的解析式，即可得出答案.【詳解】法一：由，可設(shè)，則由得，所以且，整理后即為，由得，若則必有，此時與矛盾，所以且，整理后為，與相加即得，即，所以，所以，又由于在原不等式中令可得，所以，由此解得.所以.法二：，令，則，設(shè).若，則，于是時，存在使得，矛盾；時，存在使得，矛盾；故，令，則.于是，進(jìn)而.故答案為：36.25．（2021·全國·高三競賽）實數(shù)x、y滿足則x、y的大小關(guān)系是___________．【答案】##【分析】比較x、y的大小關(guān)系，在等式中比較x、y的大小關(guān)系，利用假設(shè)法結(jié)論正確的答案，結(jié)論錯誤則結(jié)果與假設(shè)的相反.【詳解】假設(shè)．由①知，由于，則，從而．設(shè)，則在上遞減，且，又，所以．于是．由②知，，又，所以，即．類似上面有．于是與矛盾故．故答案為：.26．（2021·全國·高三競賽）已知函數(shù)，如果不等式對恒成立，則實數(shù)m的取值范圍_______________.【答案】【分析】求出，將已知條件轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用換元法轉(zhuǎn)化為，對恒成立，由可解得結(jié)果.【詳解】，得又，，，由題意得對恒成立，等價于，即對恒成立，顯然，令，所以，對恒成立，令是關(guān)于t的一次函數(shù)，要使，對恒成立，需，即，解得：，所以實數(shù)m的取值范圍故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立27．（2020·全國·高三競賽）設(shè)，滿足：關(guān)于x的方程恰有三個不同的實數(shù)解，且，則的值為_____．【答案】144．【分析】令，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行計算，即可得到結(jié)果.【詳解】解：令，則關(guān)于t的方程恰有三個不同的實數(shù)解．由于為偶函數(shù)，故方程的三個實數(shù)解關(guān)于數(shù)軸原點(diǎn)對稱分布，從而必有．以下求方程的實數(shù)解．當(dāng)時，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)；當(dāng)時，單調(diào)增，且當(dāng)時；當(dāng)時，單調(diào)減，且當(dāng)時．從而方程恰有三個實數(shù)解．由條件知，結(jié)合得．于是．故答案為：144【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要求解方程的根，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行求解，考查轉(zhuǎn)化能力.四、解答題28．（2022·廣西·高二統(tǒng)考競賽）設(shè)為正整數(shù)，，，令．求證：存在使得，．【答案】證明見解析【詳解】首先證明，．否則，由可知存在正整數(shù)，使得，，從而.（1）若，則由得到，矛盾（2）若，則由得到，矛盾．下面證明，．假設(shè)存在，，則由可知存在正整數(shù)，使，.（3）若，則，矛盾．（4）若，則由可得，從而有或者，矛盾．因此，存在使得，.29．（2022·福建·高二統(tǒng)考競賽）如果對任意的整數(shù)x，y，不等式恒成立，求最大常數(shù)k.【答案】3【詳解】當(dāng)時，有，因此，下面證明不等式對任意整數(shù)x，y均成立，設(shè)，則，由二次函數(shù)性