PAGEPAGE110.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理、排列與組合【真題典例】挖命題【考情探究】考點內容解讀5年考情預料熱度考題示例考向關聯考點計數原理、排列與組合1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理2.理解排列、組合的概念,能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式,能解決簡潔的實際問題2024天津,14排列與組合分類加法計數原理★☆☆分析解讀1.分類加法計數原理和分步乘法計數原理的共同點是把一個原始事務分解成若干個事務來完成,兩個原理的區分在于一個與分類有關,一個與分步有關,這兩個原理是最基本也是最重要的原理.2.理解排列、組合及排列數與組合數公式,排列與組合的綜合是高頻考點.本節在高考中單獨考查時,以選擇題、填空題的形式出現,分值約為5分,屬中檔題;本節內容還常常與概率、分布列問題相結合,出現在解答題的第(1)問中,難度中等或中等偏上.破考點【考點集訓】考點計數原理、排列與組合1.(2024課標Ⅱ,6,5分)支配3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的支配方式共有()A.12種B.18種C.24種D.36種答案D2.將7個座位連成一排,支配4個人就座,恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有()A.240種B.480種C.720種D.960種答案B3.無償獻血是踐行社會主義核心價值觀的詳細行動,現須要在報名的2名男老師和6名女老師中選擇5人參與無償獻血,要求男、女老師都有,則不同的選擇方法的種數為.(結果用數字表示)

答案504.在一次數學會議中,有五位老師來自A,B,C三所學校,其中A學校有2位,B學校有2位,C學校有1位.現在五位老師站成一排照相,若要求來自同一學校的老師不相鄰,則共有種不同的站隊方法.

答案48煉技法【方法集訓】方法1排列問題的常見解法1.(2014遼寧,6,5分)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數為()A.144B.120C.72D.24答案D2.(2014重慶,9,5分)某次聯歡會要支配3個歌舞類節目、2個小品類節目和1個相聲類節目的演出依次,則同類節目不相鄰的排法種數是()A.72B.120C.144D.168答案B3.在一項太空試驗中,要先后實施6個程序,其中程序A只能出現在第一步或最終一步,程序B和C在實施時必需相鄰,則試驗依次的編排方法共有()A.34種B.48種C.96種D.144種答案C方法2組合問題的常見解法4.(2014大綱全國,5,5分)有6名男醫生、5名女醫生,從中選出2名男醫生、1名女醫生組成一個醫療小組.則不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種答案C5.(2014安徽,8,5分)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為60°的共有()A.24對B.30對C.48對D.60對答案C6.大廈一層有A,B,C,D四部電梯,3人在一層乘坐電梯上樓,其中2人恰好乘坐同一部電梯,則不同的乘坐方式有種.(用數字作答)

答案36方法3分組與安排問題的解題技巧7.按下列要求安排6本不同的書,各有多少種不同的安排方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均安排給甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.解析(1)無序不勻稱分組問題.先選1本,有C61種選法;再從余下的5本中選2本,有C52種選法;最終余下3本全選,有C3(2)有序不勻稱分組問題.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基礎上,還應考慮再安排,共有安排方式C6(3)無序勻稱分組問題.先分三步選,每步選2本,則有C62C42C22種方法,但是這里出現了重復.不妨記六本書為A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,其次步取了CD,第三步取了EF,記該種分法為(AB,CD,EF),則C62C42C2(4)有序勻稱分組問題.在(3)的基礎上再安排給3個人,共有安排方式C62C42(5)無序部分勻稱分組問題.共有安排方式C6(6)有序部分勻稱分組問題.在(5)的基礎上再安排給3個人,共有安排方式C64C(7)干脆安排問題.甲選1本,有C61種方法;乙從余下的5本中選1本,有C51種方法;余下4本留給丙,有C4過專題【五年高考】A組自主命題·天津卷題組(2024天津,14,5分)用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字,且至多有一個數字是偶數的四位數,這樣的四位數一共有個.(用數字作答)

答案1080B組統一命題、省(區、市)卷題組1.(2024四川,4,5分)用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中奇數的個數為()A.24B.48C.60D.72答案D2.(2024課標Ⅱ,5,5分)如圖,小明從街道的E處動身,先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為()A.24B.18C.12D.9答案B3.(2024課標Ⅲ,12,5分)定義“規范01數列”{an}如下:{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對隨意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數不少于1的個數,若m=4,則不同的“規范01數列”共有()A.18個B.16個C.14個D.12個答案C4.(2015四川,6,5分)用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中比40000大的偶數共有()A.144個B.120個C.96個D.72個答案B5.(2024課標Ⅰ,15,5分)從2位女生,4位男生中選3人參與科技競賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數字填寫答案)

答案166.(2024浙江,16,4分)從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人,一般隊員2人組成4人服務隊,要求服務隊中至少有1名女生,共有種不同的選法.(用數字作答)

答案660C組老師專用題組1.(2014福建,10,5分)用a代表紅球,b代表藍球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的全部取法可由(1+a)(1+b)的綻開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球、而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來.依此類推,下列各式中,其綻開式可用來表示從5個無區分的紅球、5個無區分的藍球、5個有區分的黑球中取出若干個球,且全部的藍球都取出或都不取出的全部取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案A2.(2013四川,8,5分)從1,3,5,7,9這五個數中,每次取出兩個不同的數分別記為a,b,共可得到lga-lgb的不同值的個數是()A.9B.10C.18D.20答案C3.(2013山東,10,5分)用0,1,…,9十個數字,可以組成有重復數字的三位數的個數為()A.243B.252C.261D.279答案B4.(2013福建,5,5分)滿意a,b∈{-1,0,1,2},且關于x的方程ax2+2x+b=0有實數解的有序數對(a,b)的個數為()A.14B.13C.12D.10答案B5.(2015廣東,12,5分)某高三畢業班有40人,同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言,那么全班共寫了條畢業留言.(用數字作答)

答案15606.(2013浙江,14,4分)將A,B,C,D,E,F六個字母排成一排,且A,B在C的同側,則不同的排法共有種.(用數字作答)

答案4807.(2013重慶,13,5分)從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫生中選派5人組成一個抗震救災醫療小組,則骨科、腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是.(用數字作答)

答案5908.(2024江蘇,23,10分)設n∈N*,對1,2,…,n的一個排列i1i2…in,假如當s<t時,有is>it,則稱(is,it)是排列i1i2…in的一個逆序,排列i1i2…in的全部逆序的總個數稱為其逆序數,例如:對1,2,3的一個排列231,只有兩個逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數為2.記fn(k)為1,2,…,n的全部排列中逆序數為k的全部排列的個數.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求fn(2)(n≥5)的表達式(用n表示).解析本小題主要考查計數原理、排列等基礎學問,考查運算求解實力和推理論證實力.(1)記τ(abc)為排列abc的逆序數,對1,2,3的全部排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.對1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,將數字4添加進去,4在新排列中的位置只能是最終三個位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)對一般的n(n≥4)的情形,逆序數為0的排列只有一個:12…n,所以fn(0)=1.逆序數為1的排列只能是將排列12…n中的隨意相鄰兩個數字調換位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.為計算fn+1(2),當1,2,…,n的排列及其逆序數確定后,將n+1添加進原排列,n+1在新排列中的位置只能是最終三個位置.因此,fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.當n≥5時,fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2因此,當n≥5時,fn(2)=n2疑難突破要做好本題,關鍵是理解“逆序”“逆序數”“fn(k)”的含義,不妨從比較小的1,2,3入手去理解這幾個概念,這樣就能得到f3(2).f4(2)是指1,2,3,4這4個數中逆序數為2的全部排列的個數,可以通過與f3(2),f3(1),f3(0)聯系得到,4分別添加在f3(2)的排列中最終一個位置、f3(1)的排列中的倒數第2個位置、f3(0)的排列中的倒數第3個位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)與fn(2),fn(1),fn(0)的關系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,從而得到fn(2)(n≥5)的表達式.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2024天津耀華中學一模,6)將標號為1,2,…,10的10個球放入標號為1,2,…,10的10個盒子里,每個盒內放一個球,恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一樣的放入方法種數為()A.120B.240C.360D.720答案B2.(2024天津一中5月月考,8)將數“124470”重新排列后得到不同的偶數的個數為()A.180B.192C.204D.264答案C3.(2024天津蘆臺一中三模,6)學校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔當辯論賽中的一、二、三、四辯手,其中男生甲不適合擔當一辯手,女生乙不適合擔當四辯手.現要求:假如男生甲入選,則女生乙必需入選,那么不同的組隊形式有()A.360種B.570種C.720種D.930種答案D4.(2024天津南開一模,7)如圖所示的幾何體是由一個三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成的,現用3種不同的顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有()A.6種B.9種C.12種D.36種答案C二、填空題(每小題5分,共50分)5.(2024天津河東一模,14)從0,2,4,6,8中任取2個數字,從1,3,5,7中任取2個數字,組成沒有重復數字的四位數,其中能被5整除的四位數共有個.(用數字作答)

答案3006.(2024天津河北一模,13)六張卡片上分別寫有數字0,1,2,3,4,5,從中任取四張排成一排,則可以組成不同的四位奇數的個數是.(用數字作答)

答案1447.(2024天津紅橋一模,12)某班的小型聯歡會共有5個節目,其中甲同學的節目不能支配在第三個,乙同學不能第一個上場,則這5個節目的出場依次有種(用數字作答).

答案788.(2024天津河東三模,12)一共有5名同學參與《我的中國夢》演講競