PAGEPAGE1第2課時空間向量的應用二1.在三棱錐A-BCD中,平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1,n2,若<n1,n2>=π3,則二面角A-BD-C的大小為 (A.π3 B.2π3 C.π3或2π3 D2.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150°,則直線l與平面α所成的角等于 ()A.120° B.60° C.30° D.60°或30°3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC與B1D所成的角的大小為 ()A.π6 B.π4 C.π3 4.如圖K40-9所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,E,F分別是棱AB,BB1的中點,則異面直線EF和BC1所成的角是.

5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于.

圖K40-96.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中點,則異面直線DE與AC所成角的余弦值為 ()A.-1010 B.-120 C.120 7.若正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長都相等,D是A1C1的中點,則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為 ()A.35 B.45 C.34 8.如圖K40-10,正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長都相等,E,F,G分別為AB,AA1,A1C1的中點,則B1F與平面GEF所成角的正弦值為 ()圖K40-10A.35 B.56 C.33109.如圖K40-11所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中點,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,則異面直線PC與AD所成角的余弦值為 ()圖K40-11A.-3010 B.-305 C.305 10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BB1的中點,則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為 ()A.12 B.C.33 D.11.如圖K40-12,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC與BD相交于點O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.若直線FO與平面BED所成的角為45°,則AE=.

圖K40-1212.如圖K40-13,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC與BD交于點O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=22,E,F分別是AB,AP的中點,則二面角F-OE-A的余弦值為.

圖K40-1313.[2024·鄭州三模]如圖K40-14所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=AP=2AB=2,E為棱PC的中點.(1)證明:BE⊥DC;(2)若F為棱PC上一點,且BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.圖K40-1414.[2024·青島模擬]如圖K40-15所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,BB1=4,AB⊥BC,且AB=BC=32,M,N分別為棱AB,BC上的動點,且AM=BN,D為B1C1的中點.(1)當點M,N運動時,能否出現AD∥平面B1MN的狀況?并說明理由.(2)若BN=2,求直線AD與平面B1MN所成角的正弦值.圖K40-1515.[2024·全國卷Ⅱ]如圖K40-16,四棱錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點(1)證明:直線CE∥平面PAB;(2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.圖K40-16課時作業(四十)B1.C[解析]∵二面角的范圍是[0,π],且<n1,n2>=π3,∴二面角A-BD-C的大小為π3或2π3.2.B[解析]設直線l與平面α所成的角為β,直線l與平面α的法向量的夾角為γ.則sinβ=|cosγ|=|cos150°|=32.∵0°≤β≤90°,∴β=60°,故選B3.D[解析]以A為原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,則A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).∴AC=(1,1,0),B1D=(-1,1,-1),∵AC·B1D=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,∴AC⊥B1D,∴AC與4.60°[解析]以B為原點,BC,BA,BB1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.設AB=BC=AA1=2,則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),則EF=(0,-1,1),BC1=(2,0,2),∴EF·BC1=2,∴cos<EF,BC1>=22×22=125.23[解析]以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖.設AA1=2AB=2,則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),故DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC1設平面BDC1的一個法向量為n=(x,y,z),則n⊥DB,n⊥DC1,所以有x+y=0,y+2z=0,令y=-2,得n=(2,-2,1).設CD與平面BDC1所成的角為θ,則6.D[解析]以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖.設DA=1,則A(1,0,0),C(0,1,0),E0,12,1,則AC=(-1,1,0),DE=0,12,1,設異面直線DE與AC所成的角為θ,則cosθ=|cos<AC,DE>|=1010.故選D.7.B[解析]如圖,取AC的中點O為坐標原點,建立空間直角坐標系.設各棱長均為2,則有A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(3,0,2),∴CD=(0,-1,2),CB1=(3,-1,2),AD=(0,1,2).設n=(x,y,z)為平面B1DC的一個法向量,則有n·CD=0,n·CB1=0,即-y+2z=0,3x-y+2z=0,令y=8.A[解析]設正三棱柱的棱長為2,取AC的中點D,連接DG,DB,以D為原點,分別以DA,DB,DG所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則B1(0,3,2),F(1,0,1),E12,32,0,G(0,0,2),所以B1F=(1,-3,-1),EF=12,-32,1,GF=(1,0,-1).設平面GEF的一個法向量為n=(x,y,z),則EF·n=0,GF·n=0,即12x-32y+z=0,x-z=0,取x=1,則z=1,y=3,故9.D[解析]因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.過點A作AE∥CB,又CB⊥AB,所以AP,AB,AE兩兩垂直.如圖,以A為坐標原點,分別以AB,AE,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系A-xyz,則A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因為D為PB的中點,所以D(2,0,1),故CP=(-4,2,2),AD=(2,0,1),所以cos<AD,CP>=AD·CP|AD|·|CP|=-65×26=-3010.設異面直線PC與AD所成的角為θ10.B[解析]以A為原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,設棱長為1,則A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),∴A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12.設平面A1ED的一個法向量為n1=(x,y,z),則n1·A1D=0,n1·A1E=0,即y-z=0,x-12z=0,令x=1,則n1=(1,2,2).11.2[解析]如圖,以O為原點,OA,OB所在直線分別為x,y軸,以過點O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標系.設AE=a,則B(0,3,0),D(0,-3,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),∴OF=(-1,0,3),DB=(0,23,0),EB=(-1,3,-a).設平面BED的一個法向量為n=(x,y,z),則n·DB=0,n·EB=0,即23y=0,-x+3y-az=0,令z=1,則n=(-a,0,1),∴cos<n,OF>=n·OF|n12.33[解析]以O為坐標原點,OB,OC,OP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,由題知OA=OB=2,則E(1,-1,0),F(0,-1,1),則OE=(1,-1,0),OF=(0,-1,1).設平面OEF的一個法向量為m=(x,y,z),則m·OE=0,m·OF=0,即x-y=0,-y+z=0,令x=1,則m=(1,1,1).易知平面OAE的一個法向量為13.解:∵PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,∴以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖.由題意得B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0).(1)證明:∵BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),∴BE·DC=0,即BE⊥DC.(2)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),AB=(1,0,0),由點F在棱PC上,設CF=λCP=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),∴BF=BC+CF=(1-2λ,2-2λ,2λ),∵BF⊥AC,∴BF·AC=2×(1-2λ)+2×(2-2λ)=0,解得λ=34,∴BF=-12,12,3設平面FAB的一個法向量為n1=(x,y,z),則n1·AB=x=0,n1·BF=-12x+則cos<n1,n2>=n1·n2n1·n2∴其余弦值為31014.解:(1)當M,N分別為AB,BC的中點時,AD∥平面B1MN,證明過程如下:連接CD,∵CN∥B1D且CN=B1D=12BC∴四邊形B1DCN為平行四邊形,∴DC∥B1N,又DC?平面B1MN,B1N?平面B1MN,∴DC∥平面B1MN.∵M,N分別為AB,BC的中點,∴AC∥MN,又AC?平面B1MN,MN?平面B1MN,∴AC∥平面B1MN.∵DC∩AC=C,∴平面ADC∥平面B1MN,又AD?平面ADC,∴AD∥平面B1MN.(2)如圖,設AC的中點為O,作OE⊥OA,連接OB,以O為原點,OA,OE,OB所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,∵BN=2,AB=BC=32,∴AC=6,∵M(2,0,1),N(-1,0,2),A(3,0,0),B1(0,-4,3),D-32,-4,32,∴MN=(-3,0,1),B1M=(2,4,設平面B1MN的一個法向量為n=(x,y,z),則有n⊥MN,n⊥B1即-3x+z=0,又AD=-92,-4,32,∴cos<n,AD>=n·AD|設直線AD與平面B1MN所成的角為α,則sinα=|cos<n,AD>|=41415.解:(1)證明:取PA的中點F,連接EF,BF.因為E是PD的中點,所以EF∥AD,EF=12由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC=12AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF,又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥平面PAB.(2)由已知得BA⊥AD,以A為坐標原點,AB的方向為x軸正方向,|AB|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0).設M(x,y,z)(0<x<1),則BM=(x-1,