第15章跟蹤誤差最小化——非線性最小二乘法MATLAB編程15.1理論與案例在研究分析中，常常使用非線性最小二乘法對數據進行回歸或歸因分析。非線性最小二乘法具體分為兩個步驟：

①確定擬合模型類型；

②確定擬合模型參數。

擬合模型類型有線性方程、指數方程、微分方程、多項式方程、混合方程等。擬合方程的選擇是一個復雜的問題。若擬合方程未知，通常使用反復測試的方法，即給定幾種備選擬合模型，進行多次擬合，選擇擬合效果最好的模型進行擬合。若擬合模型已確定，則可以通過非線性最小二乘法確定擬合模型參數。假設擬合數據為x、y，非線性最小二乘法方程為使用優化方法求解上述問題，得到最小化問題解a*，即擬合模型參數。15.1.1

非線性最小二乘法15.1.2

跟蹤誤差最小化背景1976年美國先鋒基金管理公司（VanguardFundCo.）推出了世界上第一只真正意義上的指數基金——追蹤標準普爾500指數的Vanguard500指數基金，從此指數化投資開始正式登上金融舞臺。復制指數的方法有兩大類：即完全復制（fullreplication）和優化復制（optimizedreplication）。完全復制就是購買標的指數中的所有成份證券，并且按照每種成份證券在標的指數中的權重確定購買的比例來構建指數組合從而達到復制指數的目的。以標準普爾500指數為例，按市值比重購入全部500種成分股就可以完全復制指數。15.2模型建立15.2.1

獲取文件信息函數xlsfinfo例1

假設以已經選定的10只股票跟蹤滬深300指數為例，選擇200911—2009630為跟蹤區間段。如何在200911優化配置這10只股票的權重構建積極指數化組合，使其在半年的時間內與滬深300跟蹤誤差最小。股票選擇為：蘇寧電器002024.SZ、上港集團600018.SH、寶鋼股份600019.SH、中國石化600028.SH、中信證券600030.SH、招商銀行600036.SH、中國聯通600050.SH、上海汽車600104.SH、貴州茅臺600519.SH、中國平安601318.SH。為簡易處理，從wind直接提取其向前復權價格。例如，假設某股票2009年1月1日價格為14元，4月1日進行10股送3股，2009年6月30股票價格為15元，使用向前復權該股票2009年1月1日復權價格價格為14/1.3，為10.77元，該股票半年投資收益率為（15-10.77）/10.77=39.28%15.2.2

數學模型積極指數化（或者稱作優化復制）指的是根據預先設定的標準，選擇部分成分證券并對其在組合中的相對權重進行優化再配置。如前所述，優化復制的方法又可進一步細分為分層抽樣（stratifiedsampling）和優化抽樣（optimizedsampling）兩種，不過無論是哪種方法都要在權重的優化配置階段用到最優化算法模型來進行求解。本節主要使用遺傳算法（geneticalgorithm）權重的優化配置技術。進行指數投資組合管理中涉及很多細節問題，如成份股分紅、成份股送股、成份股配股、成份股停牌或者指數成份股調整等都會造成跟蹤誤差擴大。在模型建立時，暫先不考慮上述因素。積極指數化技術數學模型：式中：TE(x)表示組合跟蹤誤差；rtport表示第t日組合收益率，rtindex表示第t日指數收益率；vi表示組合中股票i的數量；pti表示組合中股票i第t日的價格；xi表示組合中股票i的初始權重；m表示組合初始投資規模。積極指數化模型優化目標為跟蹤誤差最小，這里使用標準差定義跟蹤誤差。15.3

MATLAB實現15.3.1

lsqnonlin函數MATLAB求解非線性最小二乘法(或非線性擬合)的函數為優化工具箱中（OptimizationToolbox）的lsqnonlin函數。lsqnonlin函數目標問題模型式中：函數語法：x=lsqnonlin(fun,x0)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)x=lsqnonlin(problem)［x,resnorm］=lsqnonlin(…)［x,resnorm,residual］=lsqnonlin(…)［x,resnorm,residual,exitflag］=lsqnonlin(…)［x,resnorm,residual,exitflag,output］=lsqnonlin(…)［x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda］=lsqnonlin(…)［x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian］=lsqnonlin(…)輸入參數：fun:目標函數,一般用M文件形式給出；x0：優化算法初始迭代點；lb：變量下界；ub：變量上界；options:參數設置。輸出參數：x：最優點輸出（或最后迭代點）；resnorm：殘差范數；residual:殘差向量；exitflag:函數停止信息。

1函數收斂于解x；

2x小于函數特定閾值；

3殘差改變小于函數閾值；

4搜索方向小于函數特定閾值；

0函數達到最大迭代次數；

-1異常停止，請查看output信息；

-2目標問題異常，lb與ub矛盾；

-4搜索方程無法使得殘差變小。output:函數基本信息，包括迭代次數、目標函數最大計算次數、使用的算法名稱、計算規模；lambda：拉格朗日乘子；jacobian：Jacobian矩陣。

注：優化算法通常通過迭代的方式進行最優解的搜索，理論與過程都比較復雜，上述exitflag信息在此就不再詳述。由于跟蹤誤差最小問題是一個典型的凸優化，凸優化解唯一使得跟蹤誤差最小化的權重相對較簡單。15.3.2

建立目標函數目標函數為式中：TEt表示t日組合跟蹤誤差；rtport表示第t日組合收益率；rtindex表示第t日指數收益率；pti表示組合中股票i第t日的價格；xi表示組合中股票i的初始權重；m表示組合初始投資規模。15.3.3

模型求解我們的目標問題函數為上述目標函數中含有約束項，lsqnonlin的標準模型中不含有約束處理，可以通過閾函數方法將約束函數放入目標函數中，使得lsqnonlin求解出的解同時滿足約束條件。只有當xi≥0,1-sum(x)為0時，目標函數平方和最小。對目標函數f=TEobj(x,DataX)進行修改完善。注:

簡單的閾函數方法可能會造成約束條件的誤差，建議在計算完成后將數值解進行檢驗，比如權重和是否為1。若目標函數的約束為簡單線性約束，則可以使用閾函數法