第10章期權定價模型與

數值方法期權*期權就是在什么時候或在什么條件下，你有什么權力。教課書上的期權似乎離我們比較遙遠，或僅限于金融市場。但如果仔細想想，車險或疾病保險也應是一種期權，因為期權本質是一種選擇權。例如，商業醫療保險，客戶每年繳納一定的保費，可獲得在生病時獲取一定補償的權利；公司期權，若工作業績達到某個標準（付出），則得到公司多少的期權。就如面臨選擇需要權衡一樣，各種期權也需要衡量（定價）。10.1

期權基礎概念

1．期權的定義期權分為買入期權（calloption）和賣出期權（putoption）。

買入期權:又稱看漲期權（或敲入期權），它是賦予期權持有者在給定時間（或在此時間之前任一時刻）按規定價格買入一定數量某種資產的權利的一種法律合同。

賣出期權:又稱看跌期權（或敲出期權），它是賦予期權持有者在給定時間（或在此時間之前任一時刻）按規定價格賣出一定數量某種資產的權利的一種法律合同。10.1.1

期權及其有關概念2．期權的要素期權的四個要素：行權價（exerciseprice或strikingprice）、到期日（maturingdata）、標的資產（underlyingasset）、期權費（optionpremium）。對于期權的購買者（持有者）而言，付出期權費后，只有權利沒有義務；對期權的出售者而言，接受期權費后，只有義務沒有權利。3．期權的內在價值買入期權在執行日的價值CT為CT=max(ST

－E,0)式中:E表示行權價；ST表示標的資產的市場價。賣出期權在執行日的價值PT為PT=max(E－ST,0)根據期權的行權價與標的資產市場價之間的關系，期權可分為價內期權（inthemoney）(S>E)、平價期權（atthemoney）(S=E)和價外期權（outofthemoney）(S<E)。10.1.2期權及其有關概念買入期權、賣出期權和標的資產三者之間存在一種價格依賴關系，這種依賴關系就稱為買入期權、賣出期權平價（callandputparity）。以歐式股票期權為例，考察一下這種平價關系。設S為股票市價，C為買入期權價格，P為賣出期權價格，E為行權價，ST為到期日股票價格，t為距期權日時間，

r為利率。

假設投資者現在以價格C出售一單位買入期權，以價格P購入一單位賣出期權，以S價格購入一單位期權的標的股票，以利率r借入一筆借期為t的現金，金額為

Ee-rt，以上的權利義務在到期日全部結清，不考慮交易成本和稅收，投資者的現金和在到期日的現金流量如下表所列。10.1.3期權防范風險的應用期權既然是一種權利，那么就有一種時間價值和內涵價值。“有權不用，過期作廢”，是指權利的時間價值。有效期時間越長，權利的時間價值越大。“誰的官大，就聽誰的”是指權利的內涵價值。“官位”(標的物價格)越高，權利的內涵價值越大。從“官位”看，期權的內涵價值與其標的物價格和價值是相關的，但為非線性相關；而時間價值既與有效期時間的長短有關，也與在有效期內競爭狀況和獲利時機的把握有關。期權的定價要用到隨機過程和隨機微分方程等相當復雜的數學工具，因此非常困難。10.2期權定價方法的理論基礎期權定價的主要研究工具是隨機過程的一個分支——隨機微分方程。隨機微積分起源于馬爾可夫過程結構的研究。伊藤在探討馬爾可夫過程的內部結構時，認為布朗運動(又稱維納過程)是最基本的擴散過程，能夠用它來構造出一般的擴散運動。布萊克和斯科爾斯考察一類特殊的擴散過程：dS=μSdt+σSdZ式中:S表示股票價格；股票預期收益率μ及波動率σ均為常數；t代表時間;Z為標準布朗運動。在無交易成本、不分股利的假設下,得出歐式看漲期權價格C應滿足如下微分方程(r為無風險利率)：利用偏微分方程的理論求出方程的解析解，即著名的布萊克斯科爾斯公式。10.2.1期權防范風險的應用股票價格的變化行為常用著名的布朗運動來描述。布朗運動是馬爾可夫過程的一種特殊形式。布朗運動最早起源于物理學，物理學中把某個粒子的運動是受到大量小分子碰撞的結果稱為布朗運動。股票價格的變化也是受著很多種因素的影響，所以說，股票價格運動的軌跡類似于布朗運動。定義1

隨機過程{Z（t）,t≥0}如果滿足：①隨機過程{Z（t）,t≥0}具有正態增量；②隨機過程{Z（t）,t≥0}具有獨立增量；③

{Z（t）,t≥0}是一個連續函數。則稱{Z（t）,t≥0}為布朗運動，也稱維納過程。性質2

定義2

設Z（t）,t≥0為布朗運動，則稱dx(t)=adt+bdZ為一般化的維納過程。稱a為漂移系數（或漂移率），b為過程x(t)的平均波動率。性質1假設一個小的時間間隔為Δt,ΔZ為在Δt時間內維納過程Z的變化，則布朗運動的性質有：10.2.2

伊藤引理定義3

如果過程{x(t),0≤t≤T}可以表示為

dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dZ式中：{Z(t),t≥0}為布朗運動，稱{x(t),0≤t≤T}為伊藤（ITO）過程（日本數學家Ito于1951年發現）。定理1(伊藤引理)

設{x(t),0≤t≤T}是由dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dZ{S(t),0≤t≤T}給出的伊藤過程，G(x,t)為定義在[0,∞]×R上的二次連續可微函數，則G(x,t)仍為伊藤過程，并且

定義4

如果隨機過程{Z(t),t≥0}為布朗運動，稱dS(t)=μSdt+σSdZ為幾何布朗運動。定理2

股票價格{S(t),t≥0}服從對數正態分布。10.2.3

Black-Scholes微分方程推導BlackScholes微分方程用到的基本假設有：①股票價格S服從對數正態分布（服從幾何布朗運動）：dS(t)=μSd(t)+σSdZ,平均收益μ和平均波動率σ為常數；②允許使用全部所得賣空衍生證券；③沒有交易費或稅收，所有證券都是高度可分的；④在衍生證券的有效期內沒有紅利支付；⑤不存在無風險的套利機會；⑥證券交易是連續的；⑦無風險利率r為常數，且對所有到期日都相同。10.2.4

Black-Scholes方程求解BlackScholes微分方程的風險中性定價。在風險中性事件中，以下兩個結論稱為風險中性定價原則:

任何可交易的基礎金融資產的瞬時期望收益率均為無風險利率，即恒有μ=r;

任何一種衍生工具當前t時刻的價值均等于未來T時刻其價值的期望值按無風險利率貼現的現值。BlackScholes期權定價公式，歐式買權或賣權解的表達式為式中：BlackScholes期權定價模型將股票期權價格的主要因素分為五個：St：標的資產市場價格。X：執行價格。r：無風險利率。

σ：標的資產價格波動率。T-t：距離到期時間。MATLAB中計算期權價格的函數為blsprice函數，語法為\[Call,Put\]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)輸入參數：Price：標的資產市場價格；Strike：執行價格；Rate：無風險利率；Time：距離到期時間；Volatility：標的資產價格波動率；Yield：（可選）資產連續貼現利率，默認為0。輸出參數：Call:Calloption價格；Put：Putoption價格。10.2.5

影響期權價格的因素分析期權價格受到當前價格S、執行價格E、期權的期限T、股票價格方差率σ2及無風險利率r五個因素的影響。下面以歐式看漲期權為例來分析。期權對這五個因素的敏感程度稱為期權的Greeks，其計算公式與計算函數如下。1.德爾塔（Delta）δ期權δ是考察期權價格隨標的資產價格變化的關系，從數學角度看，δ是期權價格相對于標的資產價格的偏導數,有2.西塔（Theta）θθ表示期權價格對于到期日的敏感度，稱為期權的時間損耗。3.維伽（Vega）νν表示方差率對期權價格的影響。4.珞（Rho）ρρ為期權的價值隨利率波動的敏感度，利率增加，使期權價值變大。

5.伽瑪（Gamma）ΓΓ表示δ與標的資產價格變動的關系。10.3

B－S公式隱含波動率計算BlackScholes期權定價公式，歐式期權理論價格的表達式：式中：隱含波動率是將市場上的期權交易價格代入權證理論價格BlackScholes模型反推出來的波動率數值。由于期權定價BS模型給出了期權價格與五個基本參數之間的定量關系，只要將其中前4個基本參數及期權的實際市場價格作為已知量代入定價公式，就可以從中解出惟一的未知量，其大小就是隱含波動率。10.3.1

隱含波動率概念10.3.2

隱含波動率計算方法隱含波動率是把權證的價格代入BS模型中反算出來的，它反映了投資者對未來標的證券波動率的預期。BlackScholes期權定價公式中已知St(標的資產市場價格)、X(執行價格)、r(無風險利率)、T－t(距離到期時間)、看漲期權ct或者看跌期權pt,根據B－S公式計算出與其相應的隱含波動率σyin。數學模型為式中:求解方程fc(σyin)=0,fp

(σyin)=0的根。10.3.3

隱含波動率計算程序利用fsolve函數計算隱含波動率，fsolve是MATLAB最主要內置的求解方程組的函數，具體fsolve的使用方法可以參看相關函數說明。例1假設歐式股票期權，一年后，執行價格95元，現價為100元，無股利支付，股價年化波動率為50%，無風險利率為10%，計算期權價格。計算結果如下：假設目前其期權交易價格為Call=15.00元，Put=7.00元，分別計算其相對應的隱含波動率。步驟1：建立方程函數。看漲期權隱含波動率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其語法如下：f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)輸入參數：Volatility：標的資產價格波動率；Price：標的資產市場價格；Strike：執行價格；Rate：無風險利率；Time：距離到期時間；Callprice：看漲期權價格。輸出函數：f:fc(σyin)的函數值。步驟2：求解方程函數。求解方程函數的M文件為ImpliedVolatility.m,其語法如下：\[Vc,Vp,Cfval,Pfval\]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)輸入參數：Price：標的資產市場價格；Strike：執行價格；Rate：無風險利率；Time：距離到期時間；Callprice：看漲期權價格；Putprice：看跌期權價格。輸出函數：Vc：看漲期權的隱含波動率；Vp：看跌期權的隱含波動率；Cfval：fc(σyin)的函數值，若為0，則隱含波動率計算正確；Pfval：fp(σyin)的函數值，若為0，則隱含波動率計算正確。步驟3：函數求解。M文件TestImpliedVolatility.M代碼如下：10.4期權二叉樹模型二叉樹期權定價模型是由J.C.Cox、S.A.Ross和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已經成為金融界最基本的期權定價方法之一。二叉樹模型的優點在于其比較簡單直觀，不需要太多的數學知識就可以應用。10.4.1

二叉樹模型的基本理論二叉樹模型首先把期權的有效期分為很多很小的時間間隔Δt，并假設在每一個時間間隔Δt內證券價格只有兩種運動的可能：從開始的S上升到原來的u倍，即到達Su；下降到原來的d倍，即Sd。其中，u>1，d<1。價格上升的概率假設為p，下降的概率假設為1－p。相應地，期權價值也會有所不同，分別為fu和fd，如圖1所示。圖1

Δt

時間內資產價格的變動10.4.2

二叉樹模型的計算在MATLAB的finance工具箱中提供二叉樹模型計算期權價格的函數binprice，其語法如下：\[AssetPrice,OptionValue\]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)輸入參數：Price：標的資產市場價格；Strike：執行價格；Rate：無風險利率；Time：距離到期時間；Increment:每個階段的時間間隔，例如1年分12階二叉樹，每階段時長1個月；Volatility：波動率；Flag:期權種類標記，flag=1看漲期權，flag=0看跌期權；DividendRate：（可選）分紅率；Dividend：（可選）分紅金額向量；ExDiv：（可選）額外份額金額。輸出參數：AssetPrice：標的資產價格；OptionValue：期權價格。10.5期權定價的蒙特卡羅方法10.5.1

二叉樹模型的基本理論以歐式期權f(t,S)（即期權價值只與兩個狀態變量：資產價格S和時間t有關，且利率為常數）為例，以說明蒙特卡羅模擬的基本方法：①從初始時刻的標的資產價格開始，直到到期T，為S取在風險中性事件跨越整個有效期的一條隨機路徑，這就給出了標的資產價格路徑的一個實現；②計算出這條路徑下期權的回報；③重復①、②，得到許多樣本結果，即風險中性事件中的期權回報的值；④計算這些樣本回報的均值，得到風險中性事件中預期的期權回報值；⑤用無風險利率貼現，得到這個期權的估計價值。10.5.2模擬技術實現根據BlackScholes模型，在風險中性事件中，標的資產價格變量遵循幾何布朗運動，我們用模擬的方法得到下列方程的解：

式中：μ為股票價格的預期收益率（在風險中性事件中，為無風險利率r）、σ為股票價格的波動率，μ、σ為常數，Zt為一標準布朗運動。常見的有三種模擬方法：①離散形式為②通過歐拉逼近有③原方程的解析解為10.5.3模擬技術改進蒙特卡羅模擬精度與模擬次數密切相關，模擬次數越高其精度越高,但是次數增加又會增加計算量。實踐表明,減少模擬方差可以提高穩定性，減少模擬次數。有很多種方法可以減小方差，如：對偶變量技術、控制變量技術、分層抽樣、矩匹配、條件蒙特卡羅模擬等，但最簡單并且應用最為廣泛的是對偶變量技術和控制變量技術。1.方差減少技術主要有5種方法，根據其應用特點可分為通用性技術與特殊性技術兩類。通用性方差減少技術有3種。(1)對偶變量技術

；(2)控制變量技術(3)分層抽樣技術；(4)重要性抽樣技術(5)條件蒙特卡羅模擬2.其他一些改進技術(1)偽蒙特卡羅模擬