PAGE1-課時作業21變更率問題學問點函數的平均變更率1.若函數y＝2x2－1的圖象上一點(1,1)及鄰近一點(1＋Δx,1＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A.4 B.4xC.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2答案C解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－1－1,Δx)＝4＋2Δx.2．一質點的運動方程是s＝4－2t2，則在時間段[1,1＋Δt]內相應的平均速度為()A.2Δt＋4 B.－2Δt＋4C.2Δt－4 D.－2Δt－4答案D解析eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4－21＋Δt2－4＋2×12,Δt)＝eq\f(－4Δt－2Δt2,Δt)＝－2Δt－4.3．已知函數f(x)＝－x2＋x在區間[t,1]上的平均變更率為2，則t＝________.答案－2解析∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(t2－t,1－t)＝－t.又∵eq\f(Δy,Δx)＝2，∴t＝－2.4．將半徑為R的球加熱，若半徑從R＝1到R＝m時球的體積膨脹率(體積的變更量與半徑的變更量之比)為eq\f(28π,3)，則m的值為________．答案2解析∵ΔV＝eq\f(4π,3)m3－eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)(m3－1)，∴eq\f(ΔV,ΔR)＝eq\f(\f(4π,3)m3－1,m－1)＝eq\f(28π,3)，即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．5．求函數y＝f(x)＝3x2＋2在區間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率，并求當x0＝2，Δx＝0.1時平均變更率的值．解函數y＝f(x)＝3x2＋2在區間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率為eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f([3x0＋Δx2＋2]－3x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.當x0＝2，Δx＝0.1時，函數y＝3x2＋2在區間[2,2.1]上的平均變更率為6×2＋3×0.1＝12.3.易錯點忽視Δx的取值而致錯6.函數y＝x2在x0到x0＋Δx之間的平均變更率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均變更率為k2，則k1與k2的大小關系為()A.k1>k2 B.k1<k2C.k1＝k2 D.不確定易錯分析本題易認為Δx為正值而導致錯誤，而事實上，Δx可正，可負但不能為0.答案D解析由定義可知k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx，因為Δx可正、可負但不行為0，所以k1與k2大小不確定．故選D.一、選擇題1．函數f(x)＝x2－1在區間[1，m]上的平均變更率為3，則實數m的值為()A.3 B.2C.1 D.4答案B解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(m2－1－12－1,m－1)＝eq\f(m2－1,m－1)＝3，得m＝2，故選B.2．已知函數y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為()A.0.40 B.0.41C.0.43 D.0.44答案B解析∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.3．某物體的運動規律是s＝s(t)，則該物體在t到t＋Δt這段時間內的平均速度是()A.eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt)B.eq\x\to(v)＝eq\f(sΔt,Δt)C.eq\x\to(v)＝eq\f(st,t)D.eq\x\to(v)＝eq\f(st＋Δt－sΔt,Δt)答案A解析由平均速度的定義可知，物體在t到t＋Δt這段時間內的平均速度是其位移變更量與時間變更量的比，所以eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt)，故選A.4．若函數f(x)＝－x2＋10的圖象上一點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(31,4)))及鄰近一點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx，\f(31,4)＋Δy))，則eq\f(Δy,Δx)＝()A.3 B.－3C.－3－(Δx)2 D.－Δx－3答案D解析∵Δy＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－3Δx－(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－3Δx－Δx2,Δx)＝－3－Δx.故選D.二、填空題5．如圖是函數y＝f(x)的圖象，則函數f(x)在區間[0,2]上的平均變更率為________．答案eq\f(3,4)解析由函數f(x)的圖象知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1<x≤3.))所以函數f(x)在區間[0,2]上的平均變更率為：eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).6．汽車行駛的路程s和時間t之間的函數圖象如圖，在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，則三者的大小關系為______．答案eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1解析由平均速度的定義結合圖象知eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1.7．若正方體的棱長從x＝1到x＝a時正方體的體積膨脹率為21，則a的值為________．答案4解析ΔV＝a3－1，∴eq\f(ΔV,Δx)＝eq\f(a3－1,a－1)＝a2＋a＋1＝21.∴a2＋a－20＝0.∴a＝4或a＝－5(舍)．三、解答題8．已知f(x)＝x2－3x＋5，求函數f(x)從1到2的平均變更率．解Δx＝2－1＝1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(2)－f(1)＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0.∴eq\f(Δy,Δx)＝0.∴函數f(x)從1到2的平均變更率為0.9．求正弦函數y＝sinx在x＝0和x＝eq\f(π,2)旁邊的平均變更率，并比較它們的大小．解當自變量從0到0＋Δx時，設函數的平均變更率為k1，則k1＝eq\f(sinΔx－sin0,Δx)＝eq\f(sinΔx,Δx).當自變量從eq\f(π,2)到eq\f(π,2)＋Δx時，設函數的平均變更率為k2，則k2＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋Δx))－sin\f(π,2),Δx)＝eq\f(cosΔx－1,Δx).當Δx>0時，k1>0，k2<0，此時k1>k2；當Δx<0時，k1－k2＝eq\f(sinΔx,Δx)－eq\f(cosΔx－1,Δx)＝eq\f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx－\f(π,4)))＋1,Δx)，∵Δx<0且Δx無限趨近于0，∴Δx－eq\f(π,4)<－eq\f(π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs