PAGEPAGE1第24講平面對量的基本定理及坐標表示課時達標一、選擇題1．若向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，則eq\o(BC,\s\up7(→))＝()A．(1,1) B．(－1，－1)C．(3,7) D．(－3，－7)B解析因為eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，所以eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故選B.2．已知向量m＝(a，－2)，n＝(1,1－a)，且m∥n，則實數a＝()A．－1 B．2或－1C．2 D．－2B解析因為m∥n，所以a(1－a)＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.故選B.3．在平面直角坐標系xOy中，已知點O(0,0)，A(0,1)，B(1，－2)，C(m,0)．若eq\o(OB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，則實數m的值為()A．－2 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2C解析因為eq\o(OB,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(m，－1)，eq\o(OB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\f(m,1)＝eq\f(－1,－2)，m＝eq\f(1,2).故選C.4．已知點O是△ABC的外接圓圓心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零實數x，y，使得eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，且x＋2y＝1，則cos∠BAC的值為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)A解析設M為AC的中點，則eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋2yeq\o(AM,\s\up7(→)).因為x＋2y＝1，所以O，B，M三點共線．又因為O是△ABC的外接圓圓心，所以BM⊥AC，從而cos∠BAC＝eq\f(2,3).故選A.5．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，Oeq\o(P,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，且Beq\o(P,\s\up7(→))＝2Peq\o(A,\s\up7(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)A解析由題意知Oeq\o(P,\s\up7(→))＝Oeq\o(B,\s\up7(→))＋Beq\o(P,\s\up7(→))，又Beq\o(P,\s\up7(→))＝2Peq\o(A,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up7(→))，所以Oeq\o(P,\s\up7(→))＝Oeq\o(B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)Beq\o(A,\s\up7(→))＝Oeq\o(B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(Oeq\o(A,\s\up7(→))－Oeq\o(B,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)Oeq\o(A,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)Oeq\o(B,\s\up7(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).6．(2024·忻州二中期中)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且eq\o(AM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝yeq\o(AC,\s\up7(→))，則eq\f(xy,x＋y)的值為()A．3 B.eq\f(1,3)C．2 D.eq\f(1,2)B解析(特值法)利用三角形的性質，過重心作平行于底邊BC的直線，得x＝y＝eq\f(2,3)，則eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(1,3).二、填空題7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________.解析因為a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，所以a－c＝(3－k，－6)．因為(a－c)∥b，所以1×(－6)＝3×(3－k)，解得k＝5.答案58．已知向量a＝(λ＋1,1)，b＝(λ＋2,2)，若(a＋b)∥(a－b)，則λ＝________.解析因為a＋b＝(2λ＋3,3)，a－b＝(－1，－1)，且(a＋b)∥(a－b)，所以eq\f(2λ＋3,－1)＝eq\f(3,－1)，所以λ＝0.答案09．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3,4)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(5－m，－3－m)，若點A，B，C能構成三角形，則實數m應滿意的條件是________．解析因為eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3，－7)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2－m，－7－m)，點A，B，C能構成三角形，所以點A，B，C不共線，即eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))不共線，所以3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，解得m≠－eq\f(7,10)，故實數m應滿意m≠－eq\f(7,10).答案m≠－eq\f(7,10)三、解答題10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)當k為何實數時，ka－b與a＋3b平行，平行時它們是同向還是反向？解析(1)因為a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)．故|a＋3b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)．因為ka－b與a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－eq\f(1,3).此時ka－b＝(k－2，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－1))，a＋3b＝(7,3)，則a＋3b＝－3(ka－b)，即此時向量a＋3b與ka－b方向相反．11．在△OAB的邊OA，OB上分別取M，N，使|OM|∶|OA|＝1∶3，|ON|∶|OB|＝1∶4，設線段AN與BM的交點為P，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，用a，b表示eq\o(OP,\s\up7(→)).解析因為A，P，N三點共線，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(ON,\s\up7(→))＝λa＋eq\f(1,4)(1－λ)b.又因為M，P，B三點共線，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝μeq\o(OM,\s\up7(→))＋(1－μ)eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)μa＋(1－μ)b.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)μ＝λ，,\f(1,4)1－λ＝1－μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,11)，,μ＝\f(9,11)，))所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b.12．平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k的值；(2)若d滿意(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐標．解析(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(16,13).(2)設d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝eq\r(5)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))所以d的坐標為(3，－1)或(5,3)．13．[選做題]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))，則λ＋μ的最大值為()A．3 B．2eq\r(2)C.eq\r(5) D．2A解析建立如圖所示的直角坐標系，則C點坐標為(2,1)．設BD與圓C切于點E，連接CE，則CE⊥BD.因為CD＝1，BC＝2，所以BD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EC＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，所以P的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝eq\f(4,5).設P(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2＋\f(2\r(5),5)cosθ，,y0＝1＋\f(2\r(5),5)sinθ))(θ為參數)，而eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x0，y0)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(0,1)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(2,0)．因為eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，所以μ＝eq\f(1,