高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省南陽市六校2024-2025學年高一下學期3月聯考數學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.若角的終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】點到原點的距離為，所以.故選：A.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.下列函數，既是偶函數又在上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A：為奇函數，故A錯誤；對于B：定義域為，且，所以為偶函數，當時，所以在上單調遞增，顯然在上單調遞增，故B正確；對于C：為偶函數，但是在上單調遞減，故C錯誤；對于D：為奇函數，故D錯誤.故選：B.4.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】B【解析】，只需將的圖象向右平移個單位長度即可.故選：B.5.弧度的圓心角所夾的扇形面積是，這個圓心角所對的弦長為（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】設該扇形的半徑為，因為扇形的圓心角為，面積是，所以，解得（負值已舍去），又扇形的圓心角為，則其所對的弦長為.故選：C.6.方程的解的個數為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】由，可得，即，所以得到或，當時，可得，或，或，當時，可得，或，綜上可得方程的解為或或共個.故選：B.7.函數，的值域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，，，，，即，函數，的值域為.故選：D.8.函數在區間上恰有個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，又在區間上恰有個零點，所以，解得，即的取值范圍為.故選：C.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.下列說法正確的是（）A.與的終邊相同B.若為第二象限角，則為第四象限角C.終邊經過點的角的集合是D.若一扇形的圓心角為4，圓心角所對應的弦長為2，則此扇形的面積為【答案】ABD【解析】對A：因為，所以與的終邊相同，故A正確；對B：因為為第二象限角，所以，，所以，，所以，，所以為第四象限角.故B正確；對C：當時，終邊經過點的角的集合是；當時，終邊經過點的角的集合是，故C錯誤；對D：由題意可得，扇形的半徑，所以扇形面積為：，故D正確.故選：ABD.10.函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.B.的最小正周期C.在上單調遞增D.的對稱軸為，【答案】ABC【解析】對于A，由圖可知，且，即，又，可得，故A正確；對于B：因為，所以，解得，又，即，解得，所以,所以，所以的最小正周期，故B正確；對于C：當，則，因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，故C正確；對于D：令，解得，所以的對稱軸為，故D錯誤.故選：ABC.11.函數，下列四個選項正確的是（）A.是以為周期的函數B.的圖象關于對稱C.在區間，上單調遞減D.的值域為【答案】CD【解析】顯然：函數是以為周期的周期函數.當時，，所以；當時，，所以.所以函數的圖象如下：對A：由圖象可知，函數的最小正周期為，故A錯誤；對B：因為，，所以，所以，但關于的對稱點并不在函數的圖象上，故B錯誤；對C：由圖象可知：在區間，上單調遞減，故C正確；對D：由圖象可知，的值域為，故D正確.故選：CD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知，則______．【答案】【解析】因為，所以，所以.13.函數的值域為______．【答案】【解析】，由于，所以，，所以函數的值域為.14.不等式組的解集為______．【答案】【解析】由得，，由得，，所以不等式組的解集為.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）15.如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點，且．（1）若點的橫坐標為，求的值；（2）求的值．解：（1）由題意：，所以.（2）.16.用“五點法”畫出函數在一個周期內的簡圖時，需要作出以下表格：01001（1）請將上表補充完整，并求出函數的解析式；（2）求函數在上的單調增區間．解：（1）補充表格如下：012001根據表格可知，當時，；當時，，所以，所以，，又由當時，，可知，所以函數的解析式為.（2）令，則，所以在上的單調遞增區間為，當時，；當時，，所以函數在上的單調增區間為，.17.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到應用．假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），一個半徑為4米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面2米，且按逆時針方向勻速轉動，每12s轉動1圈．如果以水輪上點從水面浮現時（圖中點位置）開始計時，記點距離水面的高度關于時間的函數解析式為（，，）．（在水面下則為負數）（1）求點距離水面高度關于時間的函數解析式；（2）若水面下降，在水輪轉動的一周內，求點在水面下方的時間．解：（1）已知水輪半徑為米，水輪圓心距離水面米.根據性質，為振幅，為平衡位置的值.則，.因為水輪每轉動圈，根據周期的定義，.又因為，所以，此時函數為.當時，點從水面浮現，即.將，代入中，得到.化簡可得，又因，所以.綜上，.（2）若水面下降，則新的水面高度為，如下圖所示，則，此時三角形是等邊三角形，所以，所以點在水面下方的時間為.18.將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標伸長到原來的2倍，再將所得函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象．（1）求函數的解析式；（2）當時，方程有兩個不等的實根，求實數的取值范圍；（3）若方程在上的解為，，求．解：（1）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的得到，再將縱坐標伸長到原來的2倍得到，將向右平移個單位長度得到.（2）當，則，令，解得，所以在上單調遞增，且，；令，解得，所以在上單調遞減，且；因為當時，方程有兩個不等的實根，即與在上有兩個交點，所以，解得，即實數的取值范圍為.（3）由（2）可得在上單調遞增，在上單調遞減，因為方程在上的解為，，所以、關于對稱，則且，所以且，所以.19.已知函數圖象上兩條相鄰的對稱軸之間的距離為，將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，設．（1）求函數在上的值域；（2）若對任意的恒成立，求的最大值；（3）若任取，總存在，使成立，求的取值范圍．解：（1）根據題意，函數的周期為.由.所以.當時，，所以，所以，