高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省安鶴新聯盟2024-2025學年高一下學期3月聯考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.已知復數，則在復平面內對應的點位于（）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限【答案】B【解析】由題意得，所以在復平面內對應的點位于第三象限.故選：B.3.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，，由正弦定理，.故選：A.4.已知向量，，若，則（）A.1 B.3 C.1或 D.1或3【答案】C【解析】因為，，所以.又，所以，解得或.故選：C.5.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由和正弦定理，得，整理得.因為，所以.又，所以或，由可得，此時，而由可得，顯然不成立，故.故選：D.6.已知，是兩個不共線的向量，且向量，同向，則的最小值為（）A.12 B.6 C. D.【答案】C【解析】由向量，同向，得，且，，則，因此，當且僅當，時取等號，所以的最小值為.故選：C.7.某漁船由地出發向南航行了2nmile到達地，然后由地向東航行了2nmile到達地，再從地向北偏東航行了nmile到達地，則地與地之間的距離為（）A.nmile B.nmile C.nmile D.nmile【答案】A【解析】如圖，由題意得，nmile，則，，易得nmile，在中，由余弦定理可得：nmile.故選：A.8.已知圓的半徑為4，弦，D為圓上一動點，則的最小值為（）A.-12 B.-8 C.-6 D.-4【答案】B【解析】如圖，作圓的直徑，過作的延長線，垂足為.而可以看作在上的投影向量與的數量積，由圓的性質知，當與重合時，取得最小值.因，可得，則，所以的最小值為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，，則下列結論正確的是（）A.若，則的實部為25 B.若，則的虛部為C.若為實數，則 D.若為純虛數，則【答案】AC【解析】若，則的實部為25，虛部為-5，A正確，B錯誤.若為實數，則，得，C正確.若為純虛數，則得，D錯誤.故選：AC.10.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列條件中，使得有唯一解的有（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】AD【解析】對于選項A，由，因為，所以只能為銳角，故有唯一解；對于選項B，由，所以或，所以有兩解；對于選項C，因為，所以，顯然不符合三角形內角和為，所以無解；對于選項D，，，，符合邊長的關系，且有唯一解.故選：AD.11.定義：是與向量，，在同一平面內，且與繞其起點逆時針旋轉同向的向量，（為，的夾角）.規定：若或，則.設，，均為同一平面內的非零向量，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.若，則【答案】AB【解析】由題可知，，，則，A正確.，B正確.取，，，則，從而，而，，C不正確.，則或，即或，由題可知，所以當時，滿足，故D不正確.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則__________.【答案】【解析】由題意得得所以.13.如圖，設是平面內相交成角的兩條數軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數對叫作向量在坐標系中的坐標.設，且，則__________.【答案】3或【解析】由題意，，由，可得，則，即，解得或.14.已知a，b，c分別為銳角三角形的三個內角A，B，C的對邊，且，則的取值范圍為__________，的取值范圍為__________.【答案】【解析】由題意得得，則.由，得，，即的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平行四邊形的三個頂點為，，.（1）求點的坐標；（2）求在上的投影向量的坐標.解：（1）設，由題意得，，由可得得故點的坐標為.（2）由（1）得，則，，所以在上的投影向量的坐標為.16.已知非零向量，滿足.（1）若，，求與的夾角的余弦值；（2）若，求的取值范圍.解：（1）設，的夾角為，由得，得，得，即與的夾角的余弦值為.（2）由（1）得，由，得，得.因為，所以.易得，則得，即的取值范圍為.17.已知a，b，c分別為的三個內角A，B，C的對邊，且，.（1）求；（2）若的外接圓的面積為，求及的面積.解：（1）由正弦定理得，則，因為，所以或.（2）設的外接圓的半徑為，由，解得.由正弦定理，，得.因為，所以，由（1）可得.由余弦定理，，得，解得.故的面積為.18.如圖，在梯形中，，，.（1）用，表示，；（2）若，，，求；（3）若與交于點，，求.解：（1）由圖，；.（2）.（3）（方法一）延長，交的延長線于.易證，則，得，易證，則，設，則，，得，得，所以.故.（方法二）設，則，設，則，則解得所以.故19.已知a，b，c分別為鈍角三角形的三個內角A，B，C的對邊，是的角平分線，且.（1）求；（2）若，求的最小值；（3）若為邊（不包括A，C）上一點，與交于點，且，證明：是的內心.解：（1）（方法一）由題意得，得，則.由，得，即，整理得.由，得，因，則.（方法二）由正余弦定理得，得.因，兩式相加，可得，因，則，得.因為鈍角三角形，則，得，因，則.（2）由（1）結論和題意得.