2025年統計學期末考試題庫：數據分析計算題庫：隨機變量與概率密度試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、隨機變量及其分布要求：根據所給隨機變量的定義和概率分布，計算隨機變量取特定值的概率。1.已知隨機變量X服從二項分布B(n,p)，其中n=5，p=0.3，求：a)P(X=2)b)P(X≤3)c)P(X≥4)d)P(X=1)e)P(X=5)f)P(X=0)g)P(X=4)h)P(X=3)i)P(X=2)j)P(X=1)2.設隨機變量Y服從泊松分布P(λ)，其中λ=3，求：a)P(Y=0)b)P(Y≤1)c)P(Y≥2)d)P(Y=1)e)P(Y=2)f)P(Y=3)g)P(Y=4)h)P(Y=5)i)P(Y=6)j)P(Y=7)二、連續型隨機變量的概率密度函數要求：根據所給隨機變量的概率密度函數，計算隨機變量取特定值的概率。3.設隨機變量Z服從正態分布N(μ,σ2)，其中μ=50，σ=10，求：a)P(Z≤45)b)P(Z≥55)c)P(40≤Z≤60)d)P(Z=50)e)P(Z=60)f)P(Z=40)g)P(45≤Z≤55)h)P(Z=55)i)P(Z=50)j)P(50≤Z≤60)4.設隨機變量W服從均勻分布U(a,b)，其中a=1，b=3，求：a)P(W≤2)b)P(W≥2)c)P(1≤W≤3)d)P(W=2)e)P(W=3)f)P(W=1)g)P(1≤W≤2)h)P(W=1)i)P(W=2)j)P(2≤W≤3)三、隨機變量的函數要求：根據所給隨機變量的函數，計算函數取特定值的概率。5.設隨機變量X～N(0,1)，求：a)P(X2≤1)b)P(|X|≤1)c)P(X2≥1)d)P(|X|≥1)e)P(X2=1)f)P(|X|=1)g)P(X2≤2)h)P(|X|≤2)i)P(X2≥2)j)P(|X|≥2)6.設隨機變量Y～U(0,1)，求：a)P(Y3≤0.1)b)P(|Y|≤0.5)c)P(Y3≥0.8)d)P(|Y|≥0.8)e)P(Y3=0.1)f)P(|Y|=0.5)g)P(Y3≤0.6)h)P(|Y|≤0.6)i)P(Y3≥0.4)j)P(|Y|≥0.4)四、隨機變量的期望與方差要求：根據所給隨機變量的概率分布或概率密度函數，計算隨機變量的期望和方差。7.設隨機變量X～B(5,0.4)，求E(X)和D(X)。8.設隨機變量Y～P(λ)，其中λ=4，求E(Y)和D(Y)。9.設隨機變量Z～N(μ,σ2)，其中μ=30，σ=5，求E(Z)和D(Z)。10.設隨機變量W～U(a,b)，其中a=2，b=6，求E(W)和D(W)。11.設隨機變量X～二項分布B(n,p)，其中n=10，p=0.2，求E(X)和D(X)。12.設隨機變量Y～泊松分布P(λ)，其中λ=5，求E(Y)和D(Y)。五、隨機變量的協方差與相關系數要求：根據所給隨機變量的概率分布或概率密度函數，計算隨機變量之間的協方差和相關系數。13.設隨機變量X～N(μ?,σ?2)和Y～N(μ?,σ?2)，其中μ?=50，σ?=10，μ?=60，σ?=15，求COV(X,Y)和ρ(X,Y)。14.設隨機變量W～U(a,b)和Z～U(c,d)，其中a=1，b=3，c=2，d=4，求COV(W,Z)和ρ(W,Z)。15.設隨機變量X～二項分布B(n,p)和Y～泊松分布P(λ)，其中n=5，p=0.3，λ=3，求COV(X,Y)和ρ(X,Y)。16.設隨機變量W～N(μ,σ2)和Y～N(μ,σ2)，其中μ=50，σ=10，求COV(W,Y)和ρ(W,Y)。17.設隨機變量X～U(a,b)和Y～U(a,b)，其中a=1，b=3，求COV(X,Y)和ρ(X,Y)。18.設隨機變量W～二項分布B(n,p)和Z～泊松分布P(λ)，其中n=10，p=0.2，λ=5，求COV(W,Z)和ρ(W,Z)。六、隨機變量的分布函數要求：根據所給隨機變量的概率分布或概率密度函數，計算隨機變量的分布函數。19.設隨機變量X～N(μ,σ2)，其中μ=30，σ=5，求F_X(25)。20.設隨機變量Y～U(a,b)，其中a=1，b=3，求F_Y(2)。21.設隨機變量Z～二項分布B(n,p)，其中n=5，p=0.3，求F_Z(3)。22.設隨機變量W～泊松分布P(λ)，其中λ=4，求F_W(3)。23.設隨機變量X～N(μ,σ2)，其中μ=50，σ=10，求F_X(60)。24.設隨機變量Y～U(a,b)，其中a=2，b=6，求F_Y(5)。25.設隨機變量Z～二項分布B(n,p)，其中n=10，p=0.2，求F_Z(8)。26.設隨機變量W～泊松分布P(λ)，其中λ=5，求F_W(4)。本次試卷答案如下：一、隨機變量及其分布1.a)P(X=2)=0.2373解析思路：使用二項分布公式計算P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)為組合數。b)P(X≤3)=0.7416解析思路：計算P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)。c)P(X≥4)=0.2584解析思路：1-P(X<4)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3))。d)P(X=1)=0.4412解析思路：使用二項分布公式計算P(X=k)。e)P(X=5)=0.0008解析思路：使用二項分布公式計算P(X=k)。f)P(X=0)=0.0778解析思路：使用二項分布公式計算P(X=k)。g)P(X=4)=0.0275解析思路：使用二項分布公式計算P(X=k)。h)P(X=3)=0.1614解析思路：使用二項分布公式計算P(X=k)。i)P(X=2)=0.2373解析思路：使用二項分布公式計算P(X=k)。j)P(X=1)=0.4412解析思路：使用二項分布公式計算P(X=k)。2.a)P(Y=0)=0.0183解析思路：使用泊松分布公式計算P(Y=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!。b)P(Y≤1)=0.0952解析思路：計算P(Y=0)+P(Y=1)。c)P(Y≥2)=0.8048解析思路：1-P(Y<2)=1-(P(Y=0)+P(Y=1))。d)P(Y=1)=0.2769解析思路：使用泊松分布公式計算P(Y=k)。e)P(Y=2)=0.4018解析思路：使用泊松分布公式計算P(Y=k)。f)P(Y=3)=0.2769解析思路：使用泊松分布公式計算P(Y=k)。g)P(Y=4)=0.1335解析思路：使用泊松分布公式計算P(Y=k)。h)P(Y=5)=0.0642解析思路：使用泊松分布公式計算P(Y=k)。i)P(Y=6)=0.0256解析思路：使用泊松分布公式計算P(Y=k)。j)P(Y=7)=0.0098解析思路：使用泊松分布公式計算P(Y=k)。二、連續型隨機變量的概率密度函數3.a)P(Z≤45)=0.1587解析思路：使用標準正態分布表查找對應值。b)P(Z≥55)=0.0228解析思路：1-P(Z<55)=1-Φ((55-50)/10)。c)P(40≤Z≤60)=0.6826解析思路：Φ((60-50)/10)-Φ((40-50)/10)。d)P(Z=50)=0解析思路：連續型隨機變量取特定值的概率為0。e)P(Z=60)=0解析思路：連續型隨機變量取特定值的概率為0。f)P(Z=40)=0解析思路：連續型隨機變量取特定值的概率為0。g)P(45≤Z≤55)=0.3413解析思路：Φ((55-50)/10)-Φ((45-50)/10)。h)P(Z=55)=0解析思路：連續型隨機變量取特定值的概率為0。i)P(Z=50)=0解析思路：連續型隨機變量取特定值的概率為0。j)P(50≤Z≤60)=0.0228解析思路：1-P(Z<60)=1-Φ((60-50)/10)。4.a)P(W≤2)=0.5解析思路：均勻分布的分布函數在a點為0，在b點為1。b)P(W≥2)=0.5解析思路：1-P(W<2)=1-Φ((2-1)/3)。c)P(1≤W≤3)=1解析思路：1-P(W<1)=1-Φ((1-1)/3)。d)P(W=2)=0解析思路：連續型隨機變量取特定值的概率為0。e)P(W=3)=0解析思路：連續型隨機變量取特定值的概率為0。f)P(W=1)=0