高2024屆一輪復習數學講義一分冊(教師用書)第一章集合與常用邏輯用語、不等式 11.1集合 1.2命題與條件的充分性、必要性 51.3全稱量詞與存在量詞 1.4不等式與不等關系 1.5一元二次不等式的解法 1.6絕對值不等式 1.7基本不等式 第二章函數與基本初等函數 312.1函數及其表示 2.2函數的定義域與值域 2.3函數的單調性及最值 2.4函數的奇偶性與周期性 2.5二次函數 2.6指數與指數函數 2.7對數與對數函數 2.8冪函數 2.9函數的圖象 2.10函數與方程 2.11一元二次方程根的分布 2.12函數模型及應用 第三章導數及其應用 3.1導數的概念及運算 3.2導數的應用(一)——單調性 3.3導數的應用(二)——極值與最值 3.4導數的綜合運用 【學習目標】1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)集的含義，會求給定子集的補集；能使用韋恩【要點整合】1.元素與集合(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.(2)集合與元素的關系：若a屬于集合A,記作a∈A;若b不屬于集合A,記作b∈A.(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.(4)常見數集及其符號表示自然數集正整數集實數集符號NZQR2.集合間的基本關系(1)子集：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,也說集合A是集合B的子集。記為A≤B或BA.(2)真子集：對于兩個集合A與B,如果AEB,且集合B中至少有一個元素不屬于集合A,則稱集合A是集合B的真子集。記為A#B.(3)空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.(4)若一個集合含有n個元素，則子集個數為2”個，真子集個數為2"-1,非空真子集個數為2"-2。3.集合的運算(1)三種基本運算的概念及表示名稱交集并集數學語言A∩B={x|x∈A,且x∈B}AUB={x|x∈A,或x∈B}CuA={x|x∈U,且xeA}圖形語言(2)三種運算的常見性質ANA=A,AN?=×,A∩B=B∩AANB=A?AEB,AUB=A?B≤A,Cu(AUB)=CuANC,B,Cu(ANB12【典例講練】題型一集合的概念【答案】2【解析】根據集合中元素的互異性：(1)(1)式無解(2)式解得a=-1,b=1,則b-a=2(2)集合A={xlx2-7x<0,xeN'},中元素的個數為()【答案】D【解析】A={1,2,3,4,5,6},對于集合B,其中的元素全部取自集合A,逐一帶入檢驗，易得B={1,2,3,6}練習1(1)已知集合A={-2,-1,0,2,3},B={yly=x2-L,x∈A},則ANB中元素的個數是()【答案】B(2)已知集合A={1,2,m2},B={1,m},若B∈A,則m=()【答案】C【解析】∵BSA:m∈A∴m=2或m=m2若m=2,則A={1,2,4},B={1,2}成立若m=0,A={1,2,0},B={1,0}成立，若m=1,A={1,2,1},B={1,1}不成立。(3)(多選)已知集合A={2,a2+1,a2-4a},B={0,a2-a-2},5∈A,則a為()A.2B.-2【答案】BC【解析】依題意5∈A,當a2+1=5若a=2,則a2-a-2=0,對于集合B,不滿足集合元素的互異性，所以a=2不符合.若a=-1,則a2+1=2,對于集合A,不滿足集合元素的互異性，所以a=-1不符合.若a=5,則A={2,26,5},B={0,18},符合題意.綜上所述，a的值為-2或5.故選：BC3題型二集合間的基本關系例2(1)已知集合A={xl<2*≤16},B={xlx<a},若AUB=B,則實數a的取值范圍是()A.a>4B.a≥4C.a≥0【答案】A【解析】A={xl0<x≤4}∵AUB=B,∴A≤B,由韋恩圖易得：a>4。注意：a≠4;若a=4,則A={xl0<x≤4},B={xlx<4},集合B比集合A少了一個元素，不滿足ASB(2)若集合A={xl-2≤x≤5},B={xm+1≤x≤2m-1},且B≤A,則m的可取值組成的集合為_①若BEA,則實數a的取值范圍為;②若AEB,則實數a的取值范圍為【答案】①a≤-1或a=1②a=1練習2(1)設集合A={-1,1},集合B={xlax=1,a∈R},則使得B≤A的a的所有取值構成的集合是()A.{0,1}B.{0,-1}C.{1,-1}【答案】D【解析】當a=0時，B=φ,φ≤A,當a=-1,B={-1},(2)設集合P={ml-1<m<0},Q={mmx2+4mx-4<0對任意實數x恒成立，且m∈R},則下列關系中A.P#QB.QPC.P=Q【答案】A(3)已知集合A={xx2-3x+2=0,xeR},B={x10<x<5,x∈N},則滿足條件AεC∈B的集合C的個數A.1【答案】4【解析】由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由題意知B={1,2,3,4}.題型三集合的基本運算例3(1)設集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}。若A∩B={1},則B=()4【答案】C(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠×,若AUB=A,則實數m的取值范圍是()A.-3≤m≤4B.-3<m<4C.2<m<4D.2<m≤4【答案】D(3)已知集合,集合,則NNCM=()A.(-1,0)B.(-1,0)C.[-1,0]【答案】D練習3(1)設集合S={x|kx-2|>3},T={xla<x<a+8},SUT=R,則a的取值范圍是()A.-3<a<-1B.-3≤a≤-1C【答案】A(2)已知非空集合M和N,規定M-N={x|x∈M且xeN},那么M-(M-N)等于()A.MUNB.MNNC.MD.N【答案】B(3)(多選)圖中的陰影表示的集合是()A.(CA)∩BB.(C(A∩Bc.(C(AUB))∩B【答案】AB【解析】由題可知，陰影部分的元素是由屬于集合B,但不屬于集合A的元素構成，【課后鞏固】——完成課時作業(1)1.2命題與條件的充分性、必要性【學習目標】1.理解命題的概念.2.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義【要點整合】用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.2.充分條件、必要條件與充要條件的概念P≠q且q≠p【典例講練】題型一充要條件的判定4A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設直線ax+y-3=0的傾斜角為θ,則tanθ=-a.若a<-1,得tanθ>1,可知傾斜角θ大于;由傾斜角θ大于得-a>1,或-aA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由x2+5x-6>0得{x|x>1或x<-6},且{x|x>2}∈{x|x>1或x<-6},故“x2+5x-6>0”是“x>2”的必要不充分條件，故選B.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也必要條件56【解析】設向量a,b的夾角為θ,若|a·6|=lal|b|cose|=|a||5,cosθ=±1,則a/1B,若a116,則cosθ=±1,從而la6=|a5|sel-|alb|,"la.6Halb|"是a11B的充要條件。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當a=2bcosC時，由余弦定理得，,故b2=c2,即b=c,所以△ABC是等腰三角形，反之，當△ABC是等腰三角形時等腰三角形時，不一定有b=c,題型二充分條件與必要條件的應用例2(1)給定兩個命題P,9,若一P是q的必要而不充分條件，則P是┐q的()A.充分不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由q→P(2)已知集合,B=x1-1<x<m+1,xeR},若x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A,則實數m的取值范圍是.【答案】(2,+○)【解析】,因為x∈B成立的一個充分不必要的條件是x∈A,所以m+1>3,即m>2.所以實數m的取值范圍是(2,+○o)練習2函數有且只有一個零點的充分不必要條件是()【答案】A【解析】因為函數f(x)過點(1,0),所以函數f(x)有且只有一個零點一函數y=-2*+a,(x≤0)沒有零點一函數y=2*,(x≤0)與直線y=a無公共點.由數形結合，可得a≤0或a>1.觀察選項，根據集合間關系{a|a<0}{a|a≤0或a>1},答案選A.例3(多選)下列四個選項中，p是q的充分不必要條件的是()A.p:x>y,q:x3>y3B.p:x>3,q:x>2D.p:a>b>0,m>0,q:【答案】BCD【解析】A:因為x>y?x3>y3,所以p是q的充分必要條件，故A錯誤；B:因為x>3→x>2,反之不成立，所以p是q的充分不必要條件，故B正確；C:當2<a<3,-2<b<-1時，2<2a+b<5成立.反之，當a=1,b=2時，滿足2<2a+b<5,所以p是q的充分不必要條件，故C正確；練習3(多選)已知x,y均為正實數，則下列各式可成為“x<y”的充要條件是()A.B.x-y>sinx-sinyC.x-y<cosx-cosyD.e*-e<x2-y2【答案】ACD【解析】A:由且x,y>0,則x<y成立，反之x<y也有成立，滿足要求；B:由x-y>sinx-siny,則x-sinx>y-siny,令f(x)=x-sinx域上遞增，故x>y,不滿足充分性，排除；義域上遞增，故x<y,反之x<y也有x-y<cosx-cosy成立，滿足要求；D:由e?-e<x2-y2,則e*-x2<e-y2,令f(x)=e*-x2,則f'(x)=e?-2x,f"(x)=e-2,故在(-o,In2)上f"(x)<0,在(ln2,+)上f"(x)>0,所以f(x)在(-0,In2)上遞減，在(ln2,+0)上遞增，則f'(x)>f'(ln2)=2-In22>0,所以f(x)在定義域上遞增，故x<y,反之x<y也有e*-e"<x2-y2成立，滿足要求；故選：ACD【課后鞏固】——完成課時作業(2)78【學習目標】1.理解全稱量詞與存在量詞的意義；2.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.【要點整合】1.量詞與含有一個量詞的命題的否定(1)全稱量詞和存在量詞常見量詞全稱量詞存在量詞(2)全稱量詞命題和存在量詞命題命題結構對任意x∈M,p(x)存在x∈M,p(x)(3)全稱量詞命題和存在量詞命題的否定命題命題的否定對任意x∈M,p(x)存在x∈M,p(x)存在x∈M,p(x)對任意x∈M,-p(x)【典例講練】題型一全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷例1(1)已知a>0,函數f(x)=ax2+bx+c,若x?滿足關于x的方程2ax+b=0,則下列命題中為假命題A.存在x∈R,f(x)≤f(x?)C.對任意x∈R,f(x)≤f(x?)D.對任意x∈R,f(x)≥f(x?)(2)(多選)下列命題中為真命題的是()A.存在α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβB.對任意φ∈R,函數f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函數C.存在x∈R,使x3+ax2+bx+c=0(a,b,c∈R且為常數)D.對任意a>0,函數f(x)=(Inx)2+Inx-a有零點9判斷方法一真否定為假假否定為真真否定為假練習1(1)下列命題中的真命題是()C.3x?∈(-0,0),2x?<3x?D.Vx∈(0,π),sinx>cosx【解析】,故A錯誤；設f(x)=e*-x-1,則f'(x)=e*-1,∴f(x)在(0,+o)上為增函數，又f(0)=0,∴Vx∈(0,+oo),f(x)>0,即e>x+1,故B正確；當x<0時，y=2x的圖象在y=3x的圖象上方，故C錯誤；∵故選B.(2)(多選)下列命題中，不是真命題是()A.若x,y∈R且x+y>2,則x,y至少有一個大于1【解析】對于A,若x,y均小于等于1,則x+y≤2,可知A正確對于B,當x=2時，2*=x2,故B錯誤，對于C,當a=b=0時，滿足a+b=0,但無意義，故C錯誤，對于D,由二次函數性質知D錯誤，故選：BCD題型二全稱量詞命題與存在量詞命題的否定例2(1)設命題P:存在n∈N,n2>2”,則P為()A.對任意n∈N,n2>2"?B.存在n∈N,n2≤2"C.對任意n∈N,n2≤2"?D.存在n∈N,n2=2”【解析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，故選C.(2)命題“Vx∈R,3n?∈N°,使得n?≤x2”的否定形式是()A.Vx∈R,3n?∈N°,使得n?>x2B.Vx∈R,Vn∈N*,使得n>x2C.3x?∈R,3n?∈N°,使得n?>x。D.3x?∈R,Vn∈N*,使得n?>x2【答案】D【解析】V改寫為3,3改寫為V,n≤x2的否定是n>x2,則該命題的否定形式為“3x?∈R,Vn∈N°,使得n>x2”.故選D.反思感悟全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存即P:對任意x∈M,p(x),則一P:存在x∈M,p(x);P:存在x∈M,p(x),則P:對任意x∈M,-p(x).A.P是假命題；p:VxeR,log?(3*+1)≤0B.P是假命題；-p:VxER,log?(3*+1)>0C.P是真命題；p:Vx∈R,log?(3*+1)≤0D.P是真命題；-p:VxeR,log?(3*+1)>0【答案】B【解析】因為3*>0,所以3*+1>1,則log?(3*+1)>0,所以P是假命題；p:Vx∈R,log?(3*+1)>0.故選B.題型三命題中參數的取值范圍例3已知,若對Vx?∈[0,3],3x?∈[1,2],使得f(x?)≥g(x?),則實數m的【答案】,由f(x)min≥g(x)min,得,所以本例中，若將“x?∈[1,2]”改為“Vx?∈[1,2]”,其他條件不變，則實數m的取值范圍是【答案】(1)已知含邏輯聯結詞的命題的真假，可根據每個命題的真假，利用集合的運算求解參數的取值范圍.(2)對于含量詞的命題中求參數的取值范圍的問題，可根據命題的含義，利用函數值域(或最值)解決.練習3(1)已知命題“Vx∈R,.”的否定為假命題，則實數a的取值范圍是【答案】即不等式.對任意實數x恒成立.設,則其圖象恒在x軸的上方.故,解得,即實數a的取值范圍為(2)已知函數,g(x)=2*+a,若3x?,使得f(x?)≤g(x?),則實數a的取值【解析】依題意知上是減函數，∴f(x)min=f(1)=5.又g(x)=2*+a在[2,3]上是增函數，∴g(x)m=8+a,因此5≤8+a,則a≥-3@小新老師全科通【課后鞏固】——完成課時作業(3)1.4不等式與不等關系【學習目標】1.了解現實世界和日常生活中的不等關系.2.了解不等式(組)的實際背景.【要點整合】1.不等式的基本性質(1)對稱性：a>b?b<a.(2)傳遞性：a>b,b>c→a>c.(3)可加性：a>b=a+c>b+c.(5)加法法則：a>b,c>d→a+c>b+d.(6)乘法法則：(7)乘方法則：a>b>0→a">b"(n∈N,n≥2).(8)開方法則：a>b>0≥"a>"b(n∈N,n≥2).2.不等式中有關倒數與分數的性質真分數的性質：假分數的性質：3.常用的比較兩個數(式)大小的方法：(1)作差法：一般步驟是：①作差變形；②判斷差與0的大小；③結論.其中關鍵是變形，常采用配方、通分、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式，有利于判斷差值符號的方向變形.當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差.(2)作商法：(3)特值法：【典例講練】題型一不等式的性質例1若a,b∈R,下列命題中練習1(1)已知實數a,b,c滿足a>b>0>c,則下列不等式中成立的有,又∵c<0,∴⑦成立，∵a>b>0,∴0<2a+b<3a,a+2b>3b>0,⑨不成立，∵c<0,∴-c>0.又∵a>b>0,∴⑩不成立，∵a>b>0,∴.又∵c<0,∴(2)(多選)已知·則下列結論正確的是()A.a>bB.題型二比較大小例2(1)下列各組代數式的關系正確的是①x2+5x+6<2x2+5x+9;【答案】①③④【解析】①2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,即x2+5x+6<2x2+5x+9.②(x-2)(x-4)-(x-3)2=x2-6x+8-(x2-6x+9)=-1<0,即(x-2)(x-4)<(④x2+y2+1-2(x+y-1)=(x2-2x+1)+(y2-2y+1)+1=(x-1即x2+y2+1>2(x+y-1).(2)已知a>0,b>0,且a≠b,【答案】【解析】①若a>b>0,則a—b>0.由指數函數的性質②若b>a>0,則,a—b<0.由指數函數的性質(3)設a>b>0,下列各數小于1的是()【答案】D【解析】方法一(特殊值法)取a=2,b=1,代入驗證.由指數函數性質知，D成立.練習2(1)有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同.已知三個房間粉刷面積(單位：m2)分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)分別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)是()A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.a【答案】B【解析】采用特值法進行求解驗證即可，若x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,則ax+by+cz=14,az+by+cx=10,ay+bz+cx=11,ay+bx+cz=13.(2)設a=23,b=0.32,c=log(x2+0.3)(x>1),則a,b,c的大A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a【答案】B【解析】因為x>1,所以c=log(x2+0.3)>logxx2=2.(3)(多選)已知e是自然對數的底數，則下列不等關系中不正確的是()【答案】ABD【解析】令,則,所以當0<x<e時f'(x)>0,當x>e時f'(x)<0,所以f(x)【解析】由f(-1)=a-b,f(1)從而f(-2)=3f(-1)+f(1)∈[6,10].【解析】令4a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n),解得m=1,n=3.故4a-2b=(a+b)+3(a-b),【課后鞏固】—_—完成課時作業(4)【學習目標】【要點整合】二次函數(a>0)的圖像(a>0)的根沒有實數根(a>0)的解集R(a>0)的解集常用結論(3)對于不等式ax2+bx+c>0,(4)注意區分△<0時，ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R還是口.(1)化分式不等式為標準型.方法：移項，通分，右邊化為0,左邊化為的形式.(2)將分式不等式轉化為整式不等式求解，如：→f(x)g(x)>0;→f(x)g(x)<0;?【典例講練】例1解關于x的不等式：(1)-2x2+4x-3>0;(2)12x2-ax>a2(a∈R).【答案】(1)(2)略【解析】(1)原不等式可化為2x2-4x+3<0.又判別式△=42-4×2×3<0,∴原不等式的解集為φ.①當a>0時，,解集為③當a<0時，,解集為(1)(x+3)(2-x)≤4;(2)(x2-x-1)(x2-x+1)>0;【答案】(1){x|x≤-2或x≥1}(2)(3)略【解析】(3)若a=0,原不等式等價于-x+1<0,解得x>1.③當0<a<1時，,解得綜上所述：當a<0時，解集為當a=1時，解集為?;當a>1時，解集為題型二分式不等式或高次不等式解法例2(1)不等式的解集為·(2)不等式.的解集為【答案】(1)(2){x|-2≤x<0或x≥1}(2)原不等式可化為.原不等式的解集為{x|-2≤x<0或x≥1}.練習2(1)不等式的解集是(2)(2018·安徽淮北一模)不等式1的解集為()A.{x|-2<x<-1或x>3}B.{x|-3<x<-1或x>2}【答案】(1){x|0<x<1或x>2}(2)B(2)不等式→(x2+x-6)(x+1)>0,(x-2)(x+1)(x+3)>0.易知相應方程的根為-3,-1,2,由穿針引線法可得原不等式的解集為{x|-3<x<-1或x>2}.故選B.例3(1)已知關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是,則不等式ax2-bx+c>0_【答案】(1)(2)C(2)通解：因為關于x的不等式x2-ax-6a2>0(a<0)又x?-x?=5√2,所以25a2=50,解得a=±√2,因為a<0,所以a=-√2.練習3(1)已知不等式ax2-5x+b>0的解集為{x|-3<x<-2},則不等式bx2-5x+a>0的解集C.{x|-3<x<2}A.f(5)<f(2)<f(-1)B.f(2)<f(5)<f(-1)C.f(-1)<f(2)<f(5)【答案】(1)A(2)D【解析】(1)由題意得解得a=-1,b=-6,所以不等式bx2-5x+a>0為-6x2-5x-1>0,即(3x+1)(2x+1)<0,所以解集為,故選A.(2)因為ax2+bx+c>0的解集為(-○,-2)U(4,+o),所以a>0,且-2,4的方程ax2+bx+c=0的兩根，由根與系數所以函數f(x)=ax2+bx+c=ax2-2ax-例4(1)若不等式x2+ax+1≥0對于一切成立，則實數a的最小值為()(2)已知對于任意的a∈[-1,1],函數f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值總大于0,則x的取值范圍A.{x|1<x<3}B.{x|x<1或x>3}C.{x|1<x<2}D.{x|x<1或x>2}【答案】(1)C(2)B【解析】(1)不等式可化為ax≥-x2-1,由于,所以因為在上是減函數，所以.所以因為在依題意，只須→x<1或x>3,故選B.總結：恒成立問題的解法(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數.一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數.(2)對于二次不等式恒成立問題常見有兩種類型，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區間上恒成立.對第一種情況恒大于0就是相應的二次函數的圖像在給定的區間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數的圖像在給定的區間上全部在x軸下方；對第二種情況，要充分結合函數圖像進行分類討論(也可采用分離參數的方法).練習4已知函數f(x)=x2-2ax-1+a,a∈(1)若a=2,試求函數的最小值；(2)對于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a恒成立，試求a的取值范圍.【解析】(1)依題意得因為x>0,所以..當且僅當即x=1時，等號成立.所以y≥-2.所以當x=1時，的最小值為-2.只要x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立即可.不妨設g(x)=x2-2ax-1,則即解得.則a的取值范圍為練習5對于滿足|a|≤2的所有實數a,使不等式x2+ax+1>2x+a成立的x的取值范圍為_【解析】原不等式轉化為(x-1)a+x2-2x+1>0,設f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有：,即1.6絕對值不等式【學習目標】1.理解絕對值的幾何意義和代數意義，利用絕對值的意義求解含絕對值的不等式。2.學會用零點討論法解含兩個絕對值的不等式。3.了解絕對值三角不等式。【要點整合】1.絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零.2.絕對值的幾何意義：一個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離.3.兩個數的差的絕對值的幾何意義：|a-b|表示在數軸上，數a和數b之間的距離.(1)公式法：②|f(x)kg(x)?-g(x)<f(x)<g(x);If(x)>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);(2)零點分段法：利用絕對值的定義，即(3)平方法：|f(x)Ag(x)→[f(x)}>[g5.絕對值三角不等式定理：如果a,b是實數，則||a|-|b|≤|a±b≤a|+|b|。【典例講練】題型一解絕對值不等式(3)1<3x+4≤6【答案】(1)(2)x≥1或x≤-2例2(1)不等式|x+1|>x-3|的解集為_【答案】(1,+∞)【解析】原不等式等價于(x2-2x+3)2<即(x2-2x+3+3x-1)(x2-2x+3-練習1(1)|2x-7|>5的解集為【答案】(-,1)U(6,+0)(3)已知f(x)=|ax+1(a∈R),不等式f(x)≤3的解集為{x|-2≤x≤1},則a=【答案】0≤x≤5練習2(1)解不等式x|-1|+|2x-4|≤5(2)解不等式(1-lx|)(1+x)>0【答案】x<1且x≠-1題型三絕對值三角不等式的應用例4設函數f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(2)若f(x)≤1,求a的取值范圍.【解析】(1)當a=1時，,可得f(x)≥0的解集為{x|-2≤x≤3}.而|x+a|+|x-2≥a+2|,且當x=2時等號成立.故f(x)≤1等價于|a+2≥4.練習3(1)函數f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值是_【答案】3(2)函數f(x)=|x+1|-|2-x|的值域是_【答案】[-3,3]老師@小新老師全科通【課后鞏固】————完成課時作業(6)1.7基本不等式【學習目標】1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等解析式解決簡單的最大(小)值問題.【要點整合】這一定理敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.3.利用基本不等式求最值問題(一正、二定、三相等)【典例講練】題型一基本不等式的理解(1)函數的最小值是2.(2)函數的最小值等于4.的充要條件.練習1判斷下面結論是否正確的最小值是2.(2)y=log?x+logx2的最小值是2.(3)不等式a2+b2≥2ab與有相同的成立條件.題型二利用基本不等式求最值【答案】練習2已知log?(a+b)=1,則2?+2的最小值為.【答案】4例3若a>0,則的最小值為【答案】【解析】時取“=”練習3(1)若則【答案】【解析】當時取“=”【答案】令2a+1=u的最小值。【解析】,當且僅當時等號成立。練習4(1)已知x,y∈R+,x+y=1,求·的最小值。【解析】解析：x+y=1,(x+2)+(y當且僅當時等號成立(2)已知x,y∈R,x+y=1,求的最小值。解：令u=x+2,v=y+1.則x=u-2,y=v-1.x+y=u+v-3=1【解析】例5已知a>0,b>0,且2a+b=ab,則a+2b的最小值為()A.5+2√2B.8√2C.5【答案】D【解析】方法一：∵a>0,b>0,且2a+b=ab,∴當且僅當a=3,b=3時等號成立，其最小值為9.方法二：∵a>0,b>0,且2a+練習5(1)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為·【答案】6【解析】∴(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0(2)已知x,y∈R,4x2+xy+y2=1,2x+y的最大值為_【答案】【解析】∵4x2+y2+xy=1,∴(2題型三利用兩次基本不等式求最值例6已知a>b>0,那么的最小值為【答案】4【解析】∴a>b>0,∴a-b>0,∴,當且僅當b=a-b且即a=√2且時取等號的最小值為4.練習6若x,y,z均為正實數，則的最大值為()AA【答案】A【解析】∴題型四利用基本不等式求解恒成立問題【答案】【解析】若對任意xx>0,恒成立，只需求得的最大值即可.因為x>0,所練習7設x>0,y>0,不等式恒成立，則實數m的最小值是________.【解析】原問題等價于恒成立∵x>0,y>0∴,當且僅當x=y等價于)的最大值.時取“=”,故m≥-4.【課后鞏固】———完成課時作業(7)第二章函數與基本初等函數【學習目標】【要點整合】函數設A,B是兩個非空數集對應關系如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中f(x)和它對應名稱(1)對函數y=f(x),x∈A,其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做定義域，與x的值對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。(2)函數的三要素為定義域、對應關系和值域(3)函數的表示法3、分段函數：若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數4、復合函數：設函數y=f(u)的定義域為Du,值域為Mu,函數u=g(x)的定義域為Dx,值域為Mx,如果Mx∩Du≠0,那么對于Mx∩Du內的任意一個x經過u,有唯一確定的y值與之對應，則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數關系，這種函數稱為復合函數，記為y=f(g(x)),其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量(即函數)。【典例講練】題型一函數的概念例1(1)下列對應表示從A到B的函數的有()個①A=B=N*,f:x→y=x-1|③A=R,B=[0,+00],f:x→y=e*-1④A=(-00,0),B=R,f:xA.0(2)下列圖象可以表示以M={x|0≤x≤1}為定義域，以N={y|0≤y≤1}為值域的函數的是()ABCD【解析】A選項中的值域不滿足，B選項中的定義域不滿足，D選項不是函數的圖象，由函數的定義選項C正確.【答案】③④⑥練習1(1)已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列各對應關系f不能表示從P到Q的函數的③【答案】③③(2)下列各組函數中，表示同一函數的是()A.f(x)=e*,g(x)=xg(x)=sinxD.【答案】D【解析】A,B,C的定義域不同，所以答案為D.題型二分段函數與復合函數例2(1)已知函數,則①②若f[f(k)]=-1,則k=(2)已知實數a≠1,函數,若f(1-a)=f(a-1),則a的值為(4)設函數,若f[f(a)]≤2,【解析】(1)②:可數形結合f[f(k)]=-1→反思小結：(1)分段函數的求值問題的解題思路①求函數值：當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值.檢驗.(2)分段函數與方程、不等式問題的求解思路依據不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結果并起來.練習2(1)已知函數若,則實數a的取值范圍是_【答案】當a>0時，令,解得(2)設函數則滿足的x的取值范圍是【答案】【解析】當x≤0時，,原不等式化為：1,解得當時，,原不等式化為,該不等式恒成立，綜上可知，不等式的解集為例3(1)已知(1+)=1gx,則f(x)=(2)已知f(x)是二次函數且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,則f(x)=.;(3)已知,則f(x)=;(4)已知函數f(x)的定義域為(0,+o),且,則f(x)=【解析】(1)令,則,即(2)設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2(3)因為,所以f(x)=x2-2,x∈[2,+]。(4)在中，將x換成則換成x,得(2)設y=f(x)是二次函數，方程f(x)=0【解析】(1)解法一：設u=√x-1,即f(x)=x2-1(x≥-1)。(2)設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f(x)=2ax+b=2x+2,所以a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c。又因為方程f(x)=0有兩個相等實根，所以△=4-4c=0,c=1,(3)當x∈(-1,1)時，有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).①將x換成-x,則-x換成x,得2f(例4(1)定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,求f(-3)和f(10)的值(2)定義在R上的函數f(x)滿足f(0)=1,且對任意實數x,y都有f(x-v)=f(x)-y(2x-y+1),【解析】(1)f(-3)=6,f(10)=110(2)令x=y→f(0)=f(x)-x(2x-x+1)→f(x)=x2+x+1練習4(1)設函數y=f(x)的定義域為(0,+o),f(xy)=f(x)+f(y),若f(8)=3,則f(√2)=【答案】(2)設函數f(x)的定義域為R,對于任意實數x,x?,都有f(π)=-1,則f(0)=【解析】令x?=x?=π,則f(π)+f(π)=2f(π)f(0),所以f(0)=1。【課后鞏固】—_—完成課時作業(8)2.2函數的定義域與值域【學習目標】1.了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域.2.了解簡單的分段函數，并能簡單應用.【要點整合】2、常見函數的定義域(4)對數函數y=log。x(a>0且a≠1)的定義域為(0,+0);②當m為奇數，n為偶數且mn>0時，定義域為[0,+00],③當m∈Z*,n為奇數且mn<0時，定義域為(-00,0)U(0,+0);④當m為奇數，n為偶數且mn<0時，定義域為(0,+0);(6)正弦函數y=sinx、余弦函數y=cosx定義域都為R;(7)正切函數y=tanx的定義域為3、函數定義域的求法(1)已知函數解析式，求定義域老師全科通①若f(x)的解析式是整式，則其定義域為R;②若f(x)的解析式是分式，則其定義域是使分母不為0的實數的集合；③若f(x)的解析式是偶次根式或可化為偶次根式，則其定義域是使根號內的式子大于或等于0的實數的④若f(x)的解析式是指數式，若指數為負指數或0指數，則其底數不為0,若指數含變量，則其底數應為大于0且不等于1;⑤若f(x)的解析式是對數式，則真數應大于0,若底數含未知數，則底數大于0且不等于1;⑥若f(x)的解析式是正切函數，則正切后部分不為,k∈Z;①已知f(x)的定義域為A,求f(g(x)的定義域f(g(x))的定義域就是自變量x的取值范圍，因f(x)中f的作用對象是x,而f(g(x))中f的作用對象是g(x),故g(x)∈A,解得x的取值范圍就是f(g(x))的定義域.②已知f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域函數f(x)的定義域是f的作用對象的取值范圍，故g(x)的值域就是f(x)的定義域.二、函數的值域①一次函數y=kx+b(k≠0)的值域為R;③0)的值域為③④指數函數y=a*(a>0且a≠1)的值域為(0,⑤對數函數y=logax(a<0且a≠1)的值域為R;⑥正弦函數y=sinx、余弦函數y=coSx的值域都為[-1,1];⑦正切函數y=tanx的值域為R.2、求函數值域的一般方法通常求函數值域的方法大致有：觀察法(利用常見函數的最值(值域)法),分離常數法，單調性法，換元法，配方法，基本不等式法，判別式法，反函數法，圖像法和導數法.①二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)及二次型函數y=a[f(x)]2+b[f(x)]+c(a≠0)可用配方法；②形如(其中a,a?不全為0且a?x2+b?x+c?≠0)的函數可用判別式法；④形如≠0)或或的函數，可用反函數法或分離常數法；【典例講練】 A.(0,3)B.(1,+0)C.(1,3)D.(1,3) 價于：或,解得x≥e2或x=1題型二求抽象函數的定義域例2(1)已知函數f(x)=In(-x-x2),則函數f(2x+1)的定義域為_(2)已知函數f(x+1)的定義域為(-1,0),則f(2x)的定義域為()A【答案】(1)(2)BA【解析】(1)由題意知，-x-x2>0,∴-1<x<0,即f(x)的定義域為(-1,0).(2)因為函數f(x+1)的定義域為[-1,0],所以O≤x+1<1,要使f(2x)有意義，則0≤2x<1,解得練習2(1)已知函數f(x)的定義域為(0,+0),則函數的定義域為(2)若函數f(2*)的定義域是[-1,1],則f(log?x)的定義域為_·【解析】(1)由題意(2)對于函數y=f(2*),-1≤x≤1.:2?1≤2*≤2.則對于函數y=題型三已知定義域確定參數問題例3已知函數f(x)=√ax2+ax+3的定義域為R,則實數a的取值范圍為()【答案】C【解析】當a=0時符合題意；當a≠0時，要使函數f(x)=Jax2+ax+3的定義域為R,則a>0且△=a2-12a≤0,可得0<a≤12.綜上，0≤a≤12.練習3(1)若函數f(x)=√a2+abx+b的定義域為{xl≤x≤2},則a+b的值為_·【解析】函數f(x)的定義域是不等式ax2+abx+b≥0的解集.不等式ax2+abx+b≥0的解集為{xl≤x≤2},所以(2)若已知函數f(-x2+4x-1)的定義域為[0,m],則可求得函數f(2x-1)的定義域為[0,2],問實數m的【答案】2≤m≤4【解析】由于函數f(2x-1)的定義域為[0,2],則0≤x≤2,-1≤2x-1≤3,令t=-x2+4x-1,則-1≤t≤3,由題意，當t∈[-1,3],作出函數t=-x2+4x-1的圖像，由圖可知，當x=0或x=4時，t=-1,題型四求函數的值域例4求下列函數的值域：(1)f(x)=√8-2*;(2)f(x)=√5-2x+;;③③【解析】(1)∵2*>0,:0≤8-2<8.:0≤√8-2*<2√2.故函數f(x)的值域為[0,2√2].(2)要使函數有意義，則,解得x≤-2,在此定義域內函數是單調遞減函數，所以當x=-2時，函數取得最小值，f(-2)=3,所以函數的值域是[3,+0].(3)函數,根據反比例函數的性質可知：,所以y≠3,故函數的值域為(-00,3)U(3,+0);且,則函數f(x)的值域為[16,+00].函數的對稱軸為t=3,∴當t=3時，;當t=1時，,故函數的值域為(6)令,原函數化為,其開口向下，且對稱軸是t=1,故當t=1時取得最大值為1,沒有最小值，故值域為(-o,1).(7)y=(sinx+1)(cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1,令t=sinx+cosx,則可得：時，當且僅當,即x=3時，上式等號成立.因為x=3在定義域內，所以(9)∵x2+2x+3=(x+1)2+2>0,所以函數的定義域原函數可化為x2y+2xy+3y=2x2+4x-7,整理得：(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,當y≠2時，上式可以看成關于x的二次方程，該方程的x范圍應該滿足f(x)=x2+2此方程有實根即△≥0,當y=2時，方程化為7=0,顯然不成立，所以y≠2.將帶入檢驗成立，所以(10)將原函數視為定點(2,3)到動點(cos問題就轉化為求定點(2,3)到單位圓連線的斜率問題.所以,所以函數的值域為：(1)f(x)=√(x-1)2+(0-02+√(x-2}2+(0-√2),即點C(x;0)到A(1.0),B(2,√2)距離和，練習4(1)設[x]表示不超過實數x的最大整數，如[2.6]=2,[-2.6]=-3.設的值域為()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}③③,當且僅當log?,即時等號成立，故函數f(x)的最小值為·②函數定義域為{x|x∈R,x>0且x≠1}.③法1:注意到，余弦函數是有界的，即-1≤cosx≤1,由此可知分母不會為0,對函數形式做出轉化2ycosx-3sinx=1-3y利用輔助角公式可得：√4y2+9cos(x+0)=1-3y,易知根式不為0≤1兩邊平方(1-3y)2≤(√4y2+9)2法2:看成斜率所以f(x)<0,所以函數值域為(-,0). y2+f2(x)=4,∴y2∈[2,4],又∵y≥0,:ye[√2,2]。題型五已知函數值域(最值)求參數的值或取值范圍例5(1)已知函數y=x2-3x-4的定義域為[0,m],值域為|,則m的取值范圍是_(2)若函數的值域為R,則a的取值范圍為【解析】(1)因二次函數y=x2-3x-4對稱軸為且x=0時，函數值為y=-4,當時，即滿足：即得-1≤a<1.練習5(1)若函數:在區間[-k,k](k>0)上的值域為[m,n],則m+n的值(2)已知函數的定義域為x∈R,f(x+1)=2f(x),且當x∈[0,1]時，f(x)=x(x-1),若對任意的x∈[-,m],都有,則m的取值范圍是()(3)已知函數f(x)=lg(mx2+mx+1),①若函數的定義域為R,求實數m的取值范圍；②若函數的值域為R,求實數m的取值范圍.【答案】(1)4(2)B(3)①0≤m<4②m≥4∴g(-x)+g(x)=0,∴函數g(x)為奇函數，則f(x)=g(x)+2,即g(x)=f(x)-2,∵f(x)在區間[-k,k](k>0)上的值域為[m,n],∴當f(x)取得最大值n時，g取得最小值m時，g(x)也取得最小值g(x)min=m-2,∵函數g(x)的圖像關于原點對稱，∴函數g(x)在區間[-k,k](k>0)上的最大值和最小值互為相反數，即g(x)max+g(x)min=n-2+m-2=0,即n+m=4.,,函數值域隨變量的增大而逐漸減小，對任意的x∈[-o有有(3)①若函數的定義域為R,即mx2+mx+1>0恒成立，當m=0時，1>0恒成立，當m>0時，△=m2-4m<0,解得0<m<4,故綜上0≤m<4;②若函數的值域為R,則需要滿足解得m≥4.2.3函數的單調性及最值【學習目標】1.理解函數的單調性及其幾何意義.2.會運用函數圖像理解和研究函數的性質.【要點整合】一、函數的單調性定義一般地，設函數f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x,x?當x?<x?時，都有f(x)<f(x?),那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x?<x?時，都有f(x?)>f(x?),那么圖象描述自左向右看圖象是上升的yy自左向右看圖象是下降的變式：(1)f(x)是增函數Vxi≠x?,x)-C2>0?x≠x?,(x-x?)U(x)-f(x?)>0性，區間D叫做y=f(x)的單調區間.①利用定義證明單調性的一般步驟是a.Vx,x?∈D,且x?<x?,b.計算f(x?)-f(x?)并判斷符號，c.結論.②導數法：設y=f(x)在某區間內可導，若f'(x)≥0,則f(在該區間為減函數(f'(x)不恒等于零).2、與單調性有關的結論前提條件(1)對于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x?∈I,使得f(x?)=M(1)對于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x?∈I,使得f(x?)=M結論【典例講練】f(x?)-f(x?)=e+ee2-e2在(0,+0)上單調遞增.練習1討論函數在(-○,1)上的單調性.,由于-x?<x?<1,故a>0時，f(x)在(-,1)上是減函數.題型二求函數的單調區間例2求下列函數的單調區間由作圖可得：單調遞增區間為(-0,-1)和[0,1],單調遞減區間為[-1,0]和[1,+)所以單調遞減區間為(-3,-1),單調遞增區間為(-1,1)A.(-,-2)B.(-o,1)C.(1,+0)【答案】(1)D(2)[0,1(3)[1,2]【解析】(1)由x2-2x-8>0,得f(x)的定義域為{x|x>4或x<-2}.設t=x2-2x-8,則y=Int為增函數.要求函數f(x)的單調遞增區間，即求函數t=x2-2x-8∵函數t=x2-2x-8在(4,+o)上單調遞增，在(-0,-2)上單調遞減，∴函數f(x)的單調遞增區間為(4,+o).故選D.(2)由題意知題型三單調性的應用命題點1比較函數值的大小例3(1)若函數f(x)=x2,設a=log?A.f(a)>f(b)>f(c)B.fC.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(a)>f(b)(2)已知定義在R上的函數f(x)=2k×-+1(m∈R)為偶函數.記a=f(log?2),b=f(log?4),c=f(2m),