高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省衡水市2025屆高三下學期3月聯考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知某扇形的圓心角為2rad，面積為25，則該扇形所對應圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為該扇形的圓心角為，面積為25，根據，可得，所以.故選：2.已知，則在復平面內所對應點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由，得，即，因此，所以在復平面內所對應的點位于第二象限.故選：B3.的展開式中第5項的系數為（）A.60 B.64 C.72 D.84【答案】A【解析】的展開式中第5項為，所以所求的系數為60.故選：A4.已知非零向量，滿足，則（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】由，得，則共線，因此，整理得，而為非零向量，所以.故選：B5.記為等差數列的前項和，已知，，則的最大值為（）A.16 B.18 C.23 D.25【答案】D【解析】設公差為，則，，解得，所以，當時，，當時，，所以當時，取得最大值，最大值為.故選：D6.加密運算在信息傳送中具有重大作用對于一組數據，，…，，其密鑰，定義算法，其中，，…，.將數據，，…，加密為，，…，的過程稱為型單向加密.現將一組數據，，，，，進行型單向加密，則加密后的新數據的第60百分位數為（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】依題意，密鑰，則加密后的新數據依次為，將加密后的新數據按從小到大的順序排列為，由，得加密后的新數據的第60百分位數為6.故選：C7.已知正數，，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正數，，滿足，故，令，故，，，，當且僅當，即，時，等號成立，故.故選：D8.已知橢圓的左、右焦點分別為，，若上的點，滿足，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由及，得，由，得，在中，，令橢圓的焦距為，在中，，則，，所以的離心率.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機事件，滿足，，，則（）A事件與事件相互獨立 B.C. D.【答案】AD【解析】對于A，由，得，即，事件與事件相互獨立，A正確；對于B，由選項A知，事件相互獨立，則，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD10.半徑為3的球上相異三點，，構成邊長為3的等邊三角形，點為球上一動點，則當三棱錐的體積最大時（）A.三棱錐的體積為B.三棱錐的內切球半徑為C.三棱錐的體積為D.三棱錐的外接球半徑為3【答案】BCD【解析】對于A，設的中心為，由正弦定理可得，由球的截面性質可得平面，所以，所以三棱錐的體積為，故A錯誤；對于B，設三棱錐的內切球半徑為，由等體積法可得，解得，故B正確；對于C，當點到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，此時棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，故C正確；對于D，三棱錐的外接球即為球，所以半徑為3，故D正確.故選：BCD11.數據處理過程中常常涉及復雜問題，此時需要利用符號來衡量某個操作的復雜度.設定義在全體正整數上的函數與，若存在正常數，同時存在常數，使任意時，，則稱是的復雜函數，則下列函數中，滿足是的復雜函數有（）（設均為非零實數）A.， B.，C.， D.，【答案】ABD【解析】對于A，存在正常數，取，對任意，，因此是的復雜函數，A是；對于B，存在正常數，取，對任意，令，求導得，令，求導得，函數在上遞增，，函數在上遞增，，則，因此，是的復雜函數，B是；對于C，，函數在R上單調遞增，值域為，因此不存在正常數，使得成立，而，即不存在正常數，使得成立，不是的復雜函數，C不是；對于D，存在常數，取常數，對任意，，因此是的復雜函數，D是.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的焦距為，則雙曲線C的漸近線方程為________．【答案】【解析】由題意可得：，且雙曲線的焦點在x軸上，則，故雙曲線C的漸近線方程為，即.故答案為：.13.設集合，，若，則______.【答案】【解析】在中，，則且，而，，顯然，因此，解得，所以.故答案為：14.已知函數在區間上有且僅有一個零點，且，則______.【答案】【解析】由，得，令，即，整理得，即，解得或，則或，或，當時，，由函數在上有且僅有一個零點，得，即，當時，，，此時或，使得，不符合要求；當時，或，當時，，函數在上無零點，當時，，當且僅當時，，符合要求，因此，，，，，，，，而，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數在處取得極值.（1）求，；（2）證明：時，.解：（1），故且，解得，故，，令得，令得，所以在處取得極值，滿足要求；（2）時，，令，，則，故在上單調遞減，則，所以，，證畢.16.如圖，圓柱中，是底面圓上的一條直徑，，分別是底面，圓周上的一點，，，且點不與，兩點重合.（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為是底面圓上的一條直徑，所以⊥，因為⊥底面圓，，所以⊥底面圓，因為底面圓，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以平面⊥平面；（2）解：因為⊥底面圓，圓，所以⊥，⊥，所以為二面角的平面角，故，又，所以為等邊三角形，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，設，故，，，，，設平面的法向量為，則，解得，令，得，故，設直線與平面所成角的大小為，則，直線與平面所成角正弦值為.17.記銳角內角，，的對邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）求的最大值.（1）證明：在中，由及正弦定理，得，則，而，則，于是，整理得，因此，所以.（2）解：在銳角中，由（1）知，，則，而，則，當且僅當時取等號，因此，，所以的最大值為1.18.已知數列滿足，.記的前項和為，且是以為首項，為公比的等比數列.（1）求，的值；（2）求的通項公式；（3）求的通項公式，并證明：.（1）解：由是以為首項，為公比的等比數列，得，則，而，所以.（2）解：數列中，，，當時，，，則，當為奇數，時，，滿足上式，因此當為奇數時，；當時，，，則，當為偶數，時，，滿足上式，因此當為偶數時，，所以的通項公式是.（3）證明：由（2）知，，當時，，而滿足上式，因此，，所以.19.過三角形的重心作一直線，若這條直線將該三角形分成面積比為的兩部分，則稱這條直線為型直線，其中，，且.等邊的邊長為，重心為點，以動點為圓心，為半徑作圓，該圓與線段相切，記點的軌跡為.（1）探究在中是否存在與相切的型直線，并證明；（2）若點在的2型直線上，在點處的切線與交于，兩點，求；（3）若的外接圓與直線相切，且與的一條型直線相切，求的最小值.（1）證明：存在與相切的型線，證明如下：以為軸，邊中線的中點為坐標原點，建立如圖所示直角坐標系，由題意可知圓與線段相切，所以到距離與到點的距離相等，所以軌跡為拋物線，因為為等邊三角形，所以邊的中線長為6，即，的軌跡方程為，且.根據三角形的性質，易得點的坐標為，所以設過點的直線為，聯立，消得，所以，解得，當時，直線為，點在直線上，此時直線分三角形面積之比為，同理，時，直線過點，也分三角形面積之比為，所以存在兩條2型線，得證.（2）解：設點的坐標為，則的重心為，因為點在的2型直線上，且因為，且，即分面積為，所以過的頂點，又因為，排除在、上