高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省滄州市2025屆高三模擬預測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故或，則或，又，則.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】由，得．所以的虛部為，故選：D．3.已知，，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，得，，所以．故選：B．4.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．故選：A．5.定義在上的函數(shù)其導函數(shù)為，若為偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為為偶函數(shù)，則，兩邊同時求導得，將代入上式得，，得．故選：A.6.已知為等差數(shù)列，若，則（）A.36 B.48 C.60 D.72【答案】D【解析】已知為等差數(shù)列，．故選：D．7.某測試需測試者先后抽取三道題目回答，一旦某次答對抽到的題目，則測試通過，否則就一直抽題到第三次為止，已知甲答對該測試中每道題目的概率都是，若甲最終通過測試，則甲回答兩次的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意甲最終通過測試包括，第一次答對，其概率為，第二次答對，其概率為，第三次答對，概率為，記事件甲最終通過測試，事件甲回答兩次，則，，由條件概率公式可得.故選：B．8.已知橢圓，以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑作圓，以橢圓右頂點為圓心，以長軸長為直徑作圓，過動點作直線與圓切于點，作直線與圓切于點，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得圓，圓，設(shè)圓，的圓心分別為，．直線與圓切于點，作直線與圓切于點，在和中，，，則得，，整理得，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓落在圓，外面的部分．利用得，故實數(shù)取值范圍為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.據(jù)網(wǎng)絡(luò)平臺最新數(shù)據(jù)，截止到2025年3月14日14時10分，電影《哪吒之魔童鬧海》總票房（含點映、預售及海外票房）已超149.81億元，成為首部進入全球票房榜前六，登頂動畫票房榜榜首的亞洲電影．一團隊隨機抽取觀看該電影的某場觀眾中的100人為樣本，統(tǒng)計他們年齡并繪制了如圖所示頻率分布直方圖，則（）A.B.該場觀眾年齡平均數(shù)的估計值為30C.該場觀眾年齡眾數(shù)的估計值為35D.該場觀眾年齡60%分位數(shù)的估計值為34【答案】ACD【解析】∵，∴，A選項正確；，B選項錯誤；由頻率分布直方圖可知該場觀眾年齡眾數(shù)的估計值為35，C選項正確；∵，，∴該場觀眾年齡60%分位數(shù)的估計值為，∴，∴，D選項正確.故選：ACD.10.平面內(nèi)由滿足的點形成曲線（）A.上的點與原點的最近距離為 B.上的點與原點的最遠距離為C.的周長為 D.圍成區(qū)域的面積為【答案】BD【解析】由在曲線：上，故均在曲線上，故曲線關(guān)于坐標原點以及軸對稱，由對稱性，當，時，知曲線為，故為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限和軸軸上部分．由于經(jīng)過坐標原點，所以最遠距離為，因此，上的點與原點的最近距離為1，最遠距離為，故A錯，B正確，滿足的點組成如圖，可求得圍成的圖形的周長為四個半圓的周長，故長度為，圍成區(qū)域面積為，故C錯誤，D正確，故選：BD．11.如圖設(shè)二面角的大小為，在平面內(nèi)有一條射線，它和棱的夾角為，和平面所成的角為，射線在面內(nèi)射影和棱的夾角為，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】依題意，平面，平面，則，作于，連，因平面，于是平面，而平面，則，故是二面角的平面角，，，因此，，，，，，所以，，AD正確，BC錯誤故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的常數(shù)項為________．【答案】15【解析】由題意知，二項式定理展開式的通項公式為：，令，得，則常數(shù)項為：.故答案為：1513.已知函數(shù)，函數(shù)，且，則的最小值為________．【答案】【解析】由題意，設(shè)，，，故．設(shè)，，，在時，，所以在單調(diào)遞減．在時，，所以在單調(diào)遞增．所以，的最小值為．則的最小值為．故答案為：．14.若按照某對應(yīng)法則，平面點集中的每一點都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱為上的二元函數(shù)．且稱為的定義域，點對應(yīng)的為在點的函數(shù)值，記作．若點的橫，縱坐標，均為整數(shù)，稱點為整數(shù)點．現(xiàn)有，則函數(shù)的最小值為________，方程的整數(shù)點為________．【答案】①.②.，【解析】，因為，，所以的最小值為，此時，．又，若有解，故存在實數(shù)使有解，需滿足，整理得，滿足條件的整數(shù)，所以的整數(shù)解的，，解得或，則的整數(shù)解有，．故答案為：；；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某AI公司為了解用戶對于公司手機APP軟件使用的滿意情況，在五個不同地區(qū)隨機抽取用戶進行調(diào)研，調(diào)查結(jié)果如表：地區(qū)I區(qū)II區(qū)III區(qū)IV區(qū)V區(qū)調(diào)研用戶（人數(shù)）250100200500350滿意率0.50.30.70.60.5（某區(qū)滿意率是指：該區(qū)調(diào)研用戶中滿意人數(shù)與該區(qū)調(diào)研用戶總?cè)藬?shù)的比值）假設(shè)用戶是否滿意相互獨立．（1）從所有的調(diào)研用戶中隨機抽取1人，求這個用戶滿意的概率；（2）用上表數(shù)據(jù)中每地區(qū)使用軟件的滿意率估計該地區(qū)某用戶使用軟件滿意的概率．從I區(qū)所有使用該軟件的用戶和II區(qū)所有使用該軟件的用戶中各隨機抽取1人，設(shè)其中滿意的人數(shù)為，求的分布列和期望；解：（1）由題意知，樣本中五個地區(qū)的回訪用戶的總數(shù)是：，滿意的用戶人數(shù)，故所求概率為．（2）根據(jù)題意，．設(shè)事件為“從I區(qū)所有使用該軟件的用戶中隨機抽取的人滿意”，事件為“從II區(qū)所有使用該軟件的用戶中隨機抽取的人滿意”，且、為獨立事件．根據(jù)題意，估計為0.5，估計為0.3.則；；．的分布列為0120.350.50.15的期望．16.已知函數(shù)在點處的切線斜率為．（1）求在點處的切線方程；（2）若，求證：．（1）解：因為，則,，又在點處的切線斜率為，則，即，解得，所以，則，故在處的切線方程為．（2）證明：由（1）知，則，要證，即證，即，設(shè)，得，令，則，因為，故恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時，，時，，則在區(qū)間上單調(diào)增減，在區(qū)間上單調(diào)增增，所以的最小值為，所以．即.17.在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求證：；（2）若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．（1）證明：由得，由正弦定理得．，得，即．因為，為三角形內(nèi)角，所以，或（舍去），∴．（2）解：∵，由正弦定理，得，，∴．又∵，∴，得．因為為銳角三角形，則，且，則，，解得，．∴．所以周長的取值范圍為．18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，為直角，側(cè)面為等腰直角三角形，平面平面，且，．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在內(nèi)（不含邊界）是否存在點，使直線與直線、所成的角均為，若存在，求點到點的距離；若不存在，請說明理由．（1）證明：∵底面為直角梯形，，為直角，，，∴，，得，所以，又∵平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，∴，又∵側(cè)面為等腰直角三角形，，∴，，∴平面，又平面，所以．（2）解：（法一）由題意可知四邊形為直角梯形，延長，交與點，連接．則平面平面，過點作，垂足為，連接，由（1）知平面，平面，則，又，，所以平面，平面，則．所以為平面與平面夾角．在直角梯形中，，，，得，，，可解得，所以在中，，則平面與平面夾角的余弦值為．（法二）∵平面平面，平面平面，可過點作垂足為，由題意知為等腰直角三角形，故點為線段的中點，且，分別以過點與直線，平行的直線為軸，軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．（3）解：因點在內(nèi)（不含邊界），可設(shè)，，由（2）知，，，，則，，又直線與直線、均成角，則，又由題意知，所以，即，得，整理得，即或．又由，得，即，①當時，由，得到，解得或，當時，，因為點在內(nèi)（不含邊界），得，，．故，舍去．當時，，此時符合題意，，得到，②當時，得，所以，解得．此時．因為點在內(nèi)（不含邊界），得，，，故，舍去．綜上存在點在內(nèi)（不含邊界），使得直線與直線、均成角，且點到點的距離為．19.雙曲線過點，離心率，，為雙曲線的左右焦點．（1）雙曲線上一動點到右焦點的距離和點到直線的距離的比為定值，求的值；（2）當點在雙曲線右支上時，求內(nèi)切圓的標準方程；（3）作直線與的左支交于點，得到，然后作直線交雙曲的右支于，得到，再作直線與的左支交于點，得到，再作直線交雙曲的右支于，得到，依此方法一直繼續(xù)下去．設(shè)的內(nèi)切圓為，的內(nèi)切圓為，的內(nèi)切圓為，的內(nèi)切圓為，證明圓的周長和小于．（1）解：由題意可知，解得，，．所以雙曲線方程為．動點到右焦點距離和點到直線的距離的比為定值，得．兩邊平方得①又代入①得，解得．（2）解：的圓心記為，分別過點作垂直于于點，垂直于與點，垂直于與點，由題意可知，，，所以，∴，即是雙曲線的右頂點．可知的內(nèi)切圓圓心橫坐標均為2．由（1）知到右焦點的距離和點到直線的距離的比為定值．，則．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由等面積法得，得，所以的內(nèi)切圓圓心為，