高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省保定市2025屆高三第一次模擬考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，解得，所以，所以.故選：D2.已知向量，且，則的值為（）A.4 B. C.4或 D.2【答案】C【解析】，，兩邊平方后化簡可得或.故選：C3.設為等差數列的前項和，若，則（）A. B. C.12 D.14【答案】A【解析】設等差數列的公差為，由，得，解得，所以.故選：A4.設，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由指數函數的單調性可知：，又，所以，故選：B5.函數有且只有三個零點，則的取值可以是（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】令得，當時，，則，令，所以當時，，為增函數；當時，，為減函數，所以函數在處取得極大值，且，當時，；當時，，則，則時，，為減函數，當時，；綜上，與函數圖象有三個交點時，即函數有且只有三個零點時.所以的取值可以是.故選：D6.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，為的重心，且尚，則的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由題：，設，由拋物線定義知：，又為的重心，所以，所以，故選：B.7.已知三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球表面積（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，，，所以，所以.設外接圓半徑為，則.又平面，且，設三棱錐的外接球半徑為，則.所以三棱錐的外接球表面積為：.故選：D8.在中，，為邊的中點，且，則的最大值為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】因為為中點，所以，兩邊平方可得，已知，，則，所以，即，設，，則，令，則，代入可得：，將其看作關于的一元二次方程，因為存在，所以判別式，即，，，，解得，故的最大值為.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列選項正確的是（）A.設是隨機變量，若，則B.已知某組數據分別為1，2，3，5，6，6，7，9，則這組數據的上四分位數為6C.二項式展開式中的常數項為D.設是隨機變量，若，則【答案】AC【解析】A選項：若，則，A選項正確；B選項：1，2，3，5，6，6，7，9，這組數據已按從小到大排好序，共有8個數據，上四分位數是第百分位數，因為，結果是整數，所以百分位數是這組數據中第6個和第7個數的平均數，為，B選項錯誤；C選項：二項式的通項為，令，解得，展開式的第四項為常數項，為，C選項正確；D選項：若，則，所以中，，則，D選項錯誤.故選：.10.已知函數，則（）A.函數最小正周期為B.函數關于點中心對稱C.函數的圖像向左平移個單位，得到的函數圖像關于軸對稱D.函數在上不單調，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】函數，對于A選項：∵，∴，A選項正確；對于B選項：令，解得，∴是函數的一個對稱中心，B選項不正確；對于C選項：平移后的函數，函數圖像關于軸對稱，C選項正確；對于D選項：，當時，，∴，要想函數不單調，則，∴，D選項正確.故選：ACD.11.已知函數在上是增函數，在上是減函數，且方程有3個不等實根，它們分別為，，2，則（）A.實數為0 B.為定值C. D.【答案】ABD【解析】因為，所以.因為函數在上是增函數，在上是減函數，所以方程有兩個解：故A正確；其中一個根為0，即，另一根：.所以，又方程有3個不等實根，它們分別為，，2.所以.由為定值，故B正確.又.由.當時，，此時，所以只有兩個根，與有3個不等實根矛盾，所以.因為，因為，所以，無法確定，故C錯誤；因為，因為，所以，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分；共計15分.12.設是第二象限角，為其終邊上一點，且，則______．【答案】【解析】由題：，又是第二象限角，所以，所以，故答案為：.13.已知分別為雙曲線的左，右焦點，以為直徑的圓與其中一條漸近線在第一象限交于點，過點作另一條漸近線的垂線，點恰在此垂線上，則雙曲線的離心率為______．【答案】2【解析】如圖，設為與漸近線的交點，由題意：，，所以Q是線段的中點，所以.又直線，是雙曲線的漸近線，由雙曲線對稱性知，所以，所以，所以，所以離心率故答案為：214.現有n個串聯的信號處理器單向傳輸信號，處理器的工作為：接收信號——處理并產生新信號——發射新信號．當處理器接收到一個A類信號時，會產生一個A類信號和一個B類信號并全部發射至下一個處理器；當處理器接收到一個B類信號時，會產生一個A類信號和兩個B類信號，產生的B類信號全部發射至下一個處理器，但由接收B類信號直接產生的所有A類信號只發射一個至下一個處理器．當第一個處理器只發射一個A類信號至第二個處理器，按上述規則依次類推，若第n個處理器發射的B類信號數量記作，即，則______，數列的通項公式______．【答案】①.②.【解析】設第個處理器發射的類信號數量記作，則，由題意，當時，第個處理器發射的類信號數量為，即當時，，當時，，則，故當時，，可得，又，所以數列從第二項開始是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，當時，上式不成立，所以.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在四棱錐中，底面菱形，．（1）若，證明：平面平面；（2）若平面平面，且二面角的大小為，求的值．（1）證明：取的中點，連接，因為，所以，又因為，所以，因為，四邊形是菱形，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：過作于點，連接，由（1）可知，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，又二面角的大小為，所以，在中，可得，所以，在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以.16.已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）討論函數的單調性．解：（1）當時，函數，求導得，則，而，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）函數定義域為，求導得，當時，由，得；由，得，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，由，得或；由，得，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，，當且僅當時取等號，函數在上單調遞增；當時，由，得或；由，得，函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.17.為測試某人工智能機器人在動態環境中執行路徑規劃的能力，命令該人工智能機器人在動態環境中執行路徑規劃任務，任務規則如下：該機器人需要依次通過5個關鍵區域，成功通過3個區域即認為其完成任務，每個區域存在動態障礙物，機器人成功通過一個區域的概率為，被障礙物阻擋的概率為．每成功通過一個區域得6分，每被障礙物阻擋一次扣3分，每個區域的測試結果相互獨立，若機器人累計成功通過3個區域，任務提前結束，若機器人被障礙物阻擋的次數達到3次，則任務無法完成，任務結束．（1）若任務在過第4個區域后終止且人工智能機器人完成任務，求此事件的概率；（2）記任務結束時該人工智能機器人的總得分為X，求X的分布列和數學期望.解：（1）在過第4個區域后終止任務且人工智能機器人完成任務，所以機器人通過了第4個區域，且前3個區域通過2個區域、被阻擋1區域，故事件概率為.（2）由題意，總得分X的可能值為，前3次都成功通過，此時，則；前3次有2次成功通過、1次被阻擋，第4次成功通過，此時，則；前4次有2次成功通過、2次被阻擋，第5次成功通過，此時，則；前4次有2次成功通過、2次被阻擋，第5次被阻擋，此時，則；前3次有1次成功通過、2次被阻擋，第4次被阻擋，此時，則；前3次都被阻擋，此時，則；所以分布列如下，1815123則.18.已知橢圓過兩點，橢圓的所有外切矩形的頂點在一個定圓上，稱此圓為橢圓的蒙日圓．（1）求橢圓的標準方程；（2）矩形為橢圓的外切矩形，求矩形面積的取值范圍；（3）過橢圓的蒙日圓上一點作橢圓的兩條切線，切點分別為，且直線的斜率都存在，證明：為定值．（1）解：由題得，所以橢圓的標準方程為.（2）解：當外切矩形四邊所在切線存在斜率不存在時，此時矩形面積為；當外切矩形四邊所在切線斜率都存在時，則可設切線，聯立，則，由題可設切線，同理可得，切線和距離為；由題可設切線，聯立，則，由題可設切線，同理可得，切線和距離為；所以由對稱性可得矩形面積為，令，當且僅當即等號成立時，所以，則，綜上，矩形面積的取值范圍為.（3）證明：設切線，聯立，則，此時，所以斜率，同理可得，所以為定值.19.數學中的數除了實數，復數之外，還有四元數.一般地，形如的數為四元數，其中都是實數，都是虛數單位，這些虛數單位滿足.其中的模為，的