高級中學名校試題PAGEPAGE1貴州省銅仁市2025屆高三下學期第三次模擬考試（4月）數學試題一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設集合，，則中元素的個數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于不等式，可得，解得，所以，，元素個數為.故選：B2.若復數純虛數，則實數（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】已知是純虛數，則實部，解得，且虛部，經檢驗滿足，故選：D3.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量在上的投影向量為．，，則故選：A．4.在處理一組數據時，若未計入數值9，計算所得的平均值為9，方差為3．若將數值9納入分析，則該組數據（）A.平均數等于9，方差等于3 B.平均數等于9，方差小于3C.平均數大于9，方差小于3 D.平均數小于9，方差大于3【答案】B【解析】設末計入9時的數據有個，這些數的和為，那么加入9后，數據總和為，數據個數變為，新的平均數為．根據方差公式，加入9后，，且分母增大，所以方差變小.故選：B．5.隨機變量，若，則的展開式中的系數為（）A.12 B.15 C.16 D.20【答案】B【解析】因為隨機變量，正態曲線關于對稱，由，可得，即，解得．則展開式的通項為，令，得，所以的系數為.故選：B．6.在三棱錐中，已知平面，，．若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為平面，，，，所以，即．把三棱錐補成長方體，長方體的體對角線就是外接球的直徑．根據長方體體對角線公式，則，球的體積.故選：C．7.已知是雙曲線的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支分別交于兩點．若，且，則的漸近線夾角的正切值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為，，，在中，，所以，，則由雙曲線定義可得，，又，即，，聯立可解得：，．由勾股定理可知：，即，由平方關系可知：，雙曲線漸近線方程為，設的傾斜角為，則，漸近線夾角（指銳角）的正切值為：.故選：C．8.已知函數，．用表示的最大值，記．若對任意，恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，故，從而對和均有.這表明在和上均單調遞增，從而在上遞增.由于，故.①若，則，且等號至多對成立，所以在上單調遞減.這就意味著對有，對有，從而始終有成立，滿足條件；②若，取，使得，則對有，從而在上遞增.這就意味著有，，所以，不滿足條件.綜合①②兩個方面可知，實數的取值范圍為.故選：D.二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數，則（）A.的最小正周期為 B.是的對稱軸C.在區間上單調遞增 D.是有實根的充要條件【答案】AC【解析】對于進行化簡，根據平方差公式可得．對于A，根據余弦函數的周期公式，可得最小正周期，故A正確．對于B，，而余弦函數對稱軸處函數值應為，所以不是的對稱軸，故B錯誤．對于C，當時，，此時在上單調遞增，所以在區間上單調遞增，故C正確．對于D，的值域是，所以是有實根的充要條件，故D錯誤．故選：AC.10.已知圓，圓，則（）A.B.若，則圓與圓有且僅有1個公共點C.若圓與圓的相交弦長為4，則D.當時，若動圓與圓外切，同時與圓內切，則點的軌跡方程為【答案】ABC【解析】對于圓，轉化為標準方程，因為半徑，所以，A正確,若，圓，圓心，半徑,圓，圓心，半徑．兩圓心間距離，則兩圓外切，所以兩圓有且僅有1個公共點，B正確，若圓與圓的相交弦長為4，因為圓的直徑為4，所以相交弦為圓的直徑，即兩圓的公共弦所在直線過圓的圓心，由兩式相減可得，，將代入得，C正確，當時，圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑．設動圓的半徑為，因為動圓與圓外切，同時與圓內切，則，，所以，根據橢圓的定義可知點的軌跡是以，為焦點的橢圓，，可得，其軌跡方程為，D錯誤．故選：ABC.11.已知點在焦點為的拋物線上，其中是各項均不為零的數列且．若，則（）A. B.數列為等差數列C. D.【答案】ACD【解析】拋物線的焦點為，，拋物線方程為，又在拋物線上，則，，根據拋物線的定義，拋物線上點到焦點的距離等于到準線的距離，準線方程為，則，即，又，，則，A正確．對于數列，，不是常數，數列不是等差數列，故B錯誤．當時，，當時，，綜上，故C正確，，故D正確．故選：ACD三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數的一個零點為3，則的單調減區間是______．【答案】【解析】已知函數的一個零點為3，所以將代入函數得，即，解得．所以，所以，令，即，解得，所以的單調減區間是.故答案：.13.數列滿足，若，則______．【答案】【解析】因為，所以，則，不妨取，．由，可得，，，，可發現數列是以4為周期的周期數列．，所以，則．故答案為：14.一袋中裝有2個紅球，3個黑球，現從中任意取出一球，然后放回并放入2個與取出的球顏色相同的球，再從袋中任意取出一球，然后放回并再放入2個與取出的球顏色相同的球，一直重復相同的操作，則第二次取出的球是黑球的概率為______；在第一次取出的球是紅球的條件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率為______．【答案】①.②.【解析】記表示第次取到黑球，，；，，，.故答案為：.四、解答題（共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知在中，，其中內角的對邊分別為．（1）求角的大小；（2）若為的中點，且，求的最大值．解：（1）由正弦定理（為外接圓半徑），將，代入，可得，化簡后得到，即．根據余弦定理，把代入可得．因為，所以；（2）在中，根據余弦定理．因為為中點，設，已知，則，即．根據基本不等式（當且僅當時取等號）．所以，即，當且僅當時取等號．將代入，可得，解得，，滿足條件，所以的最大值為18．16.已知函數．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若函數有極小值，且極小值不大于0，求實數的取值范圍．解：（1）求曲線在處的切線方程：當時，．對求導，可得．把代入和．切線方程的點斜式為（其中為切點坐標，為切線斜率），所以切線方程為，即．（2）對求導得．當時，，則在上單調遞增，無極值，不符合題意．當時，令，即，解得．當時，單調遞減；當時，，單調遞增．所以在處取得極小值，．因為的極小值不大于0，即．令，對求導得．令，解得．當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以在處取得最大值．且當或時，，因此對于，均有所以實數的取值范圍是．17.如圖，在三棱柱中，四邊形是棱長為2的菱形，，點是棱上的動點，恒成立．（1）若分別為線段的中點，求證：直線平面；（2）已知三棱柱的體積為2，求面與面夾角的余弦值．（1）證明：連接、，在三棱柱中，側面為平行四邊形，因為是中點，則為與的交點，為棱的中點，因為是中點，所以，又平面，平面，所以直線平面；（2）解：因為點是棱上的動點，恒成立，平面，所以平面，因為平面，所以，因為三棱柱的體積為，設三棱柱的高為，所以，因為四邊形是棱長為2的菱形，，所以，所以，所以平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，，，設平面的法向量，則，取，所以，設平面的法向量，則，取，所以，設面與面夾角為，則，所以面與面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為，短軸長為6，過右焦點的直線與交于兩點．（1）求的標準方程；（2）已知點，（ⅰ）當時，求面積的取值范圍；（ⅱ）當時，證明：．解：（1）因為橢圓的短軸長，所以．又離心率，且，把代入，得，再結合，即，可得，解得，，所以橢圓的標準方程為．（2）（ⅰ）當時，右焦點坐標為，顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，，．聯立，消去得．，則，．．點到直線的距離．．令，則，因為（當且僅當即時取等號），所以．（ⅱ）當直線的斜率為0時，直線的方程為，此時，，則，則；當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，，，由（i）知，，，則，，則，令，由，則該函數是開口向上的二次函數，則，所以恒成立，又，則.綜上所述，.19.近年來，睡眠質量對健康的影響備受關注，研究表明，良好的睡眠習慣可以顯著降低焦慮和抑郁的發生率，同時提高免疫力．（1）某社區為推廣健康睡眠，開展了“早睡一小時”活動，鼓勵居民每晚提前一小時入睡．下表為活動開展后近5個月社區居民的睡眠改善情況統計．月份12345睡眠質量顯著改善人數280250200160110若睡眠質量顯著改善人數與月份變量()具有線性相關關系(月份變量依次為)，請預測第6個月睡眠質量顯著改善的大約有多少人？（2）該社區將參加“早睡一小時”活動的居民分成了甲、乙、丙三組進行挑戰賽，其規則如下：挑戰權在任何一組，該組都可向另外兩組發起挑戰，首先由甲組先發起挑戰，挑戰乙組、丙組的概率均為，若甲組挑戰乙組，則下次挑戰權在乙組．若挑戰權在乙組，則挑戰甲組、丙組的概率分別為；若挑戰權在丙組，則挑戰甲組、乙組的概率分別為．(ⅰ)經過3次挑戰，求挑戰權在乙組的次數的分布列與數學期望；(ⅱ)定義：已知數列，若對于任意給定的正數(不論它多么小)，總存在正整數，使得當時，(是一個確定的實數)，則稱數列為“聚點數列”，稱為數列的聚點．經過次挑戰后，挑戰權在甲組的概率為，證明數列為“聚點數列”，并求出聚點的值．附：回歸方程中斜率和截距