高級中學名校試題PAGEPAGE1貴州省黔東南苗族侗族自治州部分學校2025屆高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，全集，故.故選：C.2.拋物線的焦點為F，是拋物線C上一點，且，則焦點F到坐標原點O的距離是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】由題意可得，解得，則焦點F到坐標原點O的距離是2.故選：B3.產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)是衡量產(chǎn)品質(zhì)量水平的綜合指標.某廠質(zhì)檢員從一批產(chǎn)品中隨機抽取10件，測量它們的產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)，得到的數(shù)據(jù)分別為76，90，80，82，72，87，83，85，89，92，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（）A.83 B.84 C.87 D.88【答案】D【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為72，76，80，82，83，85，87，89，90，92，而，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是.故選：D4.已知直線與圓，則“”是“圓上恰有3個點到直線的距離為1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由圓上恰有3個點到直線的距離為1得到圓心到直線的距離為1，則，解得，則“”是“圓上恰有3個點到直線的距離為1”的充分不必要條件.故選：A.5若函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的單調(diào)遞減區(qū)間為D.的圖象與x軸的兩個交點A，B之間的最小距離是【答案】C【解析】因為，則最小正周期，故A錯誤；因為，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；令，解得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C正確；令，得，設(shè)，，則或，解得或，所以，故D錯誤.故選：C.6.在正四棱臺中，，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為，則該正四棱臺的表面積是（）A.36 B.40 C.52 D.56【答案】D【解析】過點作，垂足為H，則.因為側(cè)棱與底面所成角的余弦值為，所以，所以，則梯形的高，故該正四棱臺的表面積是.故選：D.7.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，為的平分線且與BC交于點D，，則面積的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，即，，，，為的平分線且與BC交于點，，，即，又，解得，當且僅當時等號成立，的面積，的面積的最小值為.故選：B.8.已知直線與雙曲線（，）的左，右兩支分別交于A，B兩點，F(xiàn)是雙曲線C的左焦點，且，則雙曲線C的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，因為直線的斜率為，所以.因為，所以，所以為等邊三角形，，所以，，.設(shè)雙曲線的右焦點為，連接.由對稱性可知.由雙曲線的定義可得，即，則.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)z滿足，則（）A. B.z的實部是C. D.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限【答案】AC【解析】由題意可得，則的實部是，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限，故A，C正確，B，D錯誤.故選：AC.10.若m，n分別是函數(shù)，的零點，且，則稱與互為“零點相鄰函數(shù)”.已知與互為“零點相鄰函數(shù)”，則a的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】易證是上的增函數(shù)，且，則.因為與互為“零點相鄰函數(shù)”，所以，即，解得.因，所以，所以在上有解，即在上有解.設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為當時，，且，如下圖，所以，即，解得.故選：ABC11.如圖，圓錐SO底面圓的圓心為O，AB是圓O的一條直徑，SA與底面所成角的正弦值為，，P是母線SA的中點，C是母線SB上一動點，則下列說法正確的是（）A.圓錐SO的母線長為12B.圓錐SO的表面積為C.一只螞蟻沿圓錐SO的側(cè)面上的曲線從點A爬到點P處，在螞蟻所爬的最短路徑中，這只螞蟻離圓錐SO的頂點S的最短距離是D.在圓錐SO內(nèi)放置一個可以繞著中心任意旋轉(zhuǎn)的正方體，則該正方體的體積的最大值是【答案】BCD【解析】如圖1，圓錐的軸截面為等腰三角形，則.因為與底面所成角的正弦值為，所以，所以，解得，故錯誤；如圖2，在圓錐的側(cè)面展開圖中，，則圓錐的側(cè)面積為，所以圓錐的表面積為，故B正確；如圖2，過點作，垂足為.在中，，由余弦定理可得，則，即，解得，故C正確；如圖1，設(shè)圓錐內(nèi)切球的球心為，過點作，垂足分別為，由題意可知，則，所以因為，所以，所以，解得.設(shè)該正方體棱長的最大值為，則，解得，所以該正方體的體積的最大值是，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則___________.【答案】【解析】因為，，所以，又，所以，解得.故答案為：13.現(xiàn)有6根小棒，其長度分別為1，2，3，4，5，6，從這6根小棒中隨機抽出3根首尾相接（不能折斷小棒），則能構(gòu)成三角形的概率是___________.【答案】【解析】從這6根小棒中隨機抽出3根，共有種不同的情況，其中能構(gòu)成三角形的情況有共7種，故所求概率為.故答案為：14.已知函數(shù)的最小值是，則___________.【答案】【解析】由題意可得.設(shè)，則，所以是偶函數(shù).當時，.設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.因為是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，由.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列.（2）求的通項公式.（3）若，求數(shù)列的前項和.（1）證明：因為，所以，所以.因為，所以，所以數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.（2）解：由（1）可得，則，故.（3）解：由（2）可得，則16.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.解：（1）當時，，則，從而，，故所求切線方程為，即（或）.（2）由題意可得.當，即時，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當，即時，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形是直角梯形，，，，.（1）證明：平面平面.（2）線段上是否存在點E，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.（1）證明：取棱的中點O，連接，設(shè)，則，，因為是等邊三角形，且O是的中點，所以.因為，所以，所以，則.因為平面，平面，且，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）解：取棱CD的中點F，連接OF，則兩兩垂直，以O(shè)為原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)，則，，，，則，，設(shè)，則，又，所以.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)直線與平面所成的角為，則解得或，故當或時，直線與平面所成角的正弦值為.18.某商場推出了購物抽獎活動，活動規(guī)則如下：如圖，在點A，B，C，D，E處各安裝了一盞燈，每次只有一處的燈亮起.初始狀態(tài)是點A處的燈亮起，程序運行次數(shù)的上限為（，），然后按下開始按扭，程序開始運行，第1次是與A相鄰點處的其中一盞燈隨機亮起，第n次是與第次燈亮處相鄰點的其中一盞燈隨機亮起.若在運行過程中，點A處的燈再次亮起，則游戲結(jié)束，否則運行n次后游戲自動結(jié)束.在程序運行過程中，若點A處的燈再次亮起，則顧客獲獎.已知顧客小明參與了該購物抽獎活動.（1）求程序運行2次小明獲獎的概率；（2）若，求小明獲獎的概率；（3）若，記游戲結(jié)束時程序運行的次數(shù)為X，求X的分布列與期望.解：（1）程序運行2次小明獲獎的情況有，這兩種，其概率.（2（1））當時，小明獲獎的情況如下：程序運行2次，小明獲獎；程序運行4次，小明獲獎.程序運行4次，小明獲獎的情況有，，，，這五種，其概率，故當時，小明獲獎的概率.（3）當時，的所有可能取值為2，4，5，6.由（1）可知，由（2）可知，當時，包含，，，這四種情況，其概率，.故X的分布列為X2456P故.19.已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別是是橢圓上一點，且.（1）求橢圓的標準方程.（2）過點的直線與橢圓交于兩點（異于頂點），直線分別交橢圓于兩點（異于）.①當直線的斜率不存在時，求的面積；②證明：直線過定點.解：（1）由題意可得，解得.故橢圓