高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省湛江市霞山區(qū)2023-2024學年高二下學期5月期中聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡，上的指定位置.2．選擇題的作答；每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意,故選：A.2.設，在復平面內對應的點為，若，則點所在區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以點所在區(qū)域為兩個同心圓所形成的圓環(huán)，其中一個半徑為，另一個半徑為，則其面積為.故選：A.3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】．故選：C．4.在中，已知A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因為，所以設，，由余弦定理得，，所以，所以．故選：B．5.若直線與單位圓交于A，B兩個不同的點，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】若，則圓心到直線得距離，又半徑，，則，，故，即充分性成立；若，則是等腰直角三角形，，則圓心到直線得距離，即，得，則，即必要性不成立；綜上所述：是的充分不必要條件．故選：A．6.甲乙兩名大學生計劃今年五一假期分別從岳陽樓，常德桃花源，天門山，長沙橘子洲頭，茶峒古鎮(zhèn)五個不同的景區(qū)隨機選三個景區(qū)前往打卡旅游，則兩人恰好有兩個景區(qū)相同的選法共有（）A.36種 B.48種 C.60種 D.72種【答案】C【解析】先從5個景點選出2個相同的，有種，再從剩下的3個景點選兩個分配給甲乙二人，有，所以兩人恰好有兩個景區(qū)相同選法共有種.故選：C.7.若雙曲線的離心率為，右焦點為，點E的坐標為，則直線OE（O為坐標原點）與雙曲線的交點個數(shù)為（）A.0個 B.1個 C.2個 D.不確定【答案】C【解析】由雙曲線離心率為，得，則，，因此點E的坐標為，雙曲線C的漸近線斜率為，而直線的斜率，所以直線OE與雙曲線的交點個數(shù)為2個．故選：C.8.在數(shù)列中，已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖，則（）A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為72.5%B.講座后問卷答題的正確率的眾數(shù)為85%C.講座前問卷答題的正確率的方差大于講座后正確率的方差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】ABC【解析】對于A，講座前的中位數(shù)為，所以A正確；對于B，講座后問卷答題的正確率有4個85%，其余正確率的個數(shù)都小于4．所以講座后問卷答題的正確率的眾數(shù)為85%，所以B正確；對于C，講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的方差大于講座后正確率的方差，所以C正確；對于D，講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為，所以D錯誤．故選：ABC．10.函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π的部分圖象如圖，若A.B.C.的零點形成的集合為D.的單調遞減區(qū)間為【答案】ABD【解析】對于A，由已知得最小正周期，又，所以，故A正確；對于B，因為，所以，又因為，且由圖可知在單調遞增區(qū)間內，所以，故B正確；對于C，由選項A和B得，令得，，所以，故C錯誤；對于D，令，解得，所以當時，單調遞減，故D正確.故選：ABD.11.定義域為R的函數(shù)的導函數(shù)為f'x,若是奇函數(shù),,,且，，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，因為為奇函數(shù)且定義域為R，所以，所以A錯誤；對于B，令，則，解得．所以B正確；對于C，令得，，即，所以C正確；對于D，令得．，因為，，所以，所以，因為是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，若，則______．【答案】1【解析】因為，所以，所以．13.小明喜愛踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率為．若他下午去踢足球，則晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，則晚上去打羽毛球的概率為.已知小明在某個周末晚上去打羽毛球，則下午踢足球的概率為______．【答案】【解析】設小明周末晚間去打羽毛球為事件，下午去踢足球為事件，則，，依題意，.14.已知側棱長為l的正四棱錐的頂點都在直徑為6的同一球面上，則該正四棱錐的體積的最大值是______．【答案】【解析】l的取值范圍是，不妨設高為h，底面邊長為a，則，或，所以，，因為，故，，其中，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．所以．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的單調區(qū)間；（2）若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域為，，令得或．當(1,+∞)時，，當-1,1時，，所以的單調增區(qū)間為和(1,+∞)，減區(qū)間為-1,1．（2）由（1）得，在和上單調遞增，在上單調遞減，，，故，在上恒成立，即，故，即，即，解得或，故實數(shù)a的取值范圍為．16.如圖，在正三棱柱中，，O為AB的中點，D為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為，O為AB中點，所以，因為D為的中點，所以，在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故，又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面，又平面,故，因為，平面，故⊥平面．（2）如圖，取的中點為，連接，則，則平面ABC，因，故OB，OC，兩兩垂直，故可以直線OB，OC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.則，，．由（1）得，平面，則可作為平面的一個法向量．因，，則，，設平面的法向量為n=x,y,z，則，故可取．則平面與平面夾角的余弦值為．17.A，B兩人進行象棋友誼賽，雙方約定：在任意一局比賽中，一方獲勝、打成平局和失敗分別記分、m分和0分．比賽兩局，已知在每局比賽中A獲勝、打成平局和戰(zhàn)敗的概率分別為0.5，0.3，0.2．各局的比賽結果相互獨立．（1）若，求A兩局得分之和為5的概率；（2）若，用X表示B兩局比賽的得分之和，求X的分布列．解：（1）若，由已知條件得，A兩局得分之和為5等價于一勝一負，所以A兩局得分之和為5的概率為．（2）因為在一局比賽中A獲勝、打成平局和戰(zhàn)敗的概率分別為0.5，0.3，0.2，所以在一局比賽中B獲勝、打成平局和失敗的概率分別為0.2，0.3．0.5，若，則X的可能取值為0，3，6，9，12，，，，，，所以X分布列為X036912P0.250.30.290120.0418.已知拋物線的方程為y2=2pxp>0，直線與交于兩點，且．（1）求；（2）設的焦點為，直線與交于兩點，且以為直徑的圓經過，當時，求點到距離的取值范圍．解：（1）因為直線與C交于A，B兩點，且，所以，所以．（2）由已知得，F(xiàn)1,0，設Mx1由可得，，所以，，，因為以為直徑的圓經過，所以，所以，即，所以將，代入得，因為．所以，且，解得或，因為，所以，設點到直線的距離為，所以，令，所以．19.設等比數(shù)列：的公比為q，其中都為正奇數(shù)，a,b,c構成單調遞增的正項等差數(shù)列．（1）求證：；（2）求證：；（3）把用表示．解：（1）由題意知，又，可得，所以，又是正偶數(shù)，所以．（2）