高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省惠州市博羅縣2023-2024學年高二下學期期中質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共有8小題，每小題6分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把它選出后在答題卡規定的位置上用鉛筆涂黑.1.已知，則x的取值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因為，所以或，解得．經檢驗，滿足題意.故選：B．2.下列求導數運算錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】,故A正確；，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：C3.若展開式的常數項為160，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】二項式展開式通項為，令，則常數項為，解得.故選：A.4.已知函數，則（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】由，得，令，則，解得，故選：A5.開學典禮上甲、乙、丙、丁、戊這5名同學從左至右排成一排上臺領獎，要求甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有1名同學的排法有（）種．A.12 B.16 C.20 D.24【答案】C【解析】若甲與丙之間為乙，即乙在甲、丙中間且三人相鄰，共有種情況，將三人看成一個整體，與丁戊兩人全排列，共有種情況，則此時有種排法；若甲與丙之間不是乙，先從丁、戊中選取1人，安排在甲、丙之間，有種選法，此時乙在甲的另一側，將四人看成一個整體，考慮之前的順序，有種情況，將這個整體與剩下的1人全排列，有種情況，此時有種排法，所以總共有種情況符合題意.故選：C．6.下圖示函數的導函數的圖象，給出下列命題：①，是函數的極小值點；②是函數的極大值點；③在處切線的斜率大于零；④在區間上單調遞增．則正確命題的序號是（）A.①② B.①④ C.②③ D.③④【答案】C【解析】①當時，且左右兩側同時為正，此時單調遞增，無極值點，當時，且左右兩側同時負，此時單調遞減，無極值點，故①錯誤；②當時，且左側為正，右側為負，此時在的左側為單調遞增，右側為單調遞減，故是函數的極大值點，故②正確；③由圖知，根據導數的幾何意義知，在處切線的斜率大于零，故③正確；④當時，，故在為單調遞減，故④錯誤；綜上可知，②③正確故選：C．7.我國中醫藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化敗毒方、宣肺敗毒方.若某醫生從“三藥三方”中隨機選出兩種，事件表示選出的兩種中至少有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，所以.故選：D8.泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式，得名于英國數學家泰勒．根據泰勒公式，有，其中，，，．現用上述式子求的值，下列選項中與該值最接近的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得當時，于是,故選：D.二、多項選擇題：共3小題，每小題滿分18分，共18分.在每題四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，取,則，則A正確；對B，根據二項式展開通式得的展開式通項為，即，其中所以，故B正確；對C，取，則，則，故C錯誤；對D，取，則，將其與作和得，所以，故D正確；故選：ABD.10.袋中有大小相同8個小球，其中5個紅球，3個藍球．每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．記“第一次摸球時摸到紅球”為事件，“第一次摸球時摸到藍球”為事件，“第二次摸球時摸到紅球”為事件，“第二次摸球時摸到藍球”為事件，則下列選項中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，因為，，所以，故D正確．故選：ABD．11.定義階導數的導數叫做階導數（，），即，分別記作.設函數，不等式對任意恒成立，則實數的取值可能為（）A. B.1 C. D.【答案】BD【解析】因為，所以，所以，，所以，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，令，，則，，，令，得，當時，；時，，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以，即，故選:BD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共16分.把答案填在答題卷相應橫線上.12.已知函數，則函數的圖像在處的切線方程為______．【答案】【解析】由，得，則，所以函數的圖象在處的切線方程為，即．故答案為：．13.從七名運動員中選出名參加米接力賽，其中運動員不跑第一棒，運動員不跑第二棒，則不同安排方案有____________種.【答案】【解析】若運動員跑第一棒，則從剩下的六名運動員中任選三名跑另外三棒，有種；若運動員不跑第一棒，也不能跑第二棒，則從除外的五名運動員中，任選一名跑第一棒，有，從除和已經排好的人以外的五名運動員中任選一名跑第二棒，有，再從剩下的五名運動員中任選兩名跑另外兩棒，有種，故不同安排方案有種.故答案為：.14.若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為______．【答案】．【解析】由可得當時，，即，令，易知恒成立，即在R上單調遞增，由可得；故，可得，即，又是單調遞增函數，故可得，令，則，當時，，此時在上單調遞增；當時，，此時在上單調遞減，故，可得．故答案：．四、解答題：本題共5個小題，共77分.把答案填在答題卷相應空白上.15.已知函的圖象過點，且．（1）求的值：（2）求函數的單調區間．解：（1）由題意得，，因為，所以，所以；（2）由（1）得，，當或時，，當時，，故的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．16.北京時間2021年8月8日，歷時17天的東京奧運會落下帷幕，中國代表團以38金、32銀、18銅打破4項世界紀錄，創造21項奧運會紀錄的傲人成績，順利收官．作為“夢之隊”的中國乒乓球隊在東京奧運會斬獲4金3銀的好成績，參賽的7名選手全部登上領獎臺．我國是乒乓球生產大國，某廠家生產了兩批同種規格的乒乓球，第一批占，次品率為：第二批占，次品率為．為確保質量，現在將兩批乒乓球混合，工作人員從中抽樣檢查．（1）從混合的乒乓球中任取1個．（i）求這個乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率．（2）從混合的乒乓球中有放回地連續抽取2次，每次抽取1個，記兩次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次數為X，求隨機變量X的分布列．解：（1）（i）∵第一批占，次品率為；第二批占，次品率為，∴這個乒乓球是合格品的概率.（ii）已知取到的是合格品，它取自第一批乒乓球的概率；（2）由題意可得，X的所有可能取值為0，1，2，；；；故X的分布列為：X012P0.360.480.1617.已知函數．（1）討論的極值；（2）求在上的最小值．解：（1）由題意知：的定義域為，；當時，，恒成立，在上單調遞增，無極值；當時，若，；若，；在上單調遞減，在上單調遞增；的極小值為，無極大值；綜上所述：當時，無極值；當時，的極小值為，無極大值.（2）當時，在上恒成立，在上單調遞增，；當時，若，；若，；在上單調遞減，在上單調遞增，；當時，在上單調遞減，；綜上所述：在上的最小值.18.某商家為了促銷，規定每位消費者均可免費參加一次抽獎活動.活動規則如下：在一不透明的紙箱中有9張相同的卡片，其中3張卡片上印有“中”字，3張卡片上印有“國”字，另外3張卡片上印有“紅”字.消費者從該紙箱中不放回地隨機抽取3張卡片，若抽到的3張卡片上都印有同一個字，則獲得一張20元代金券；若抽到的3張卡片中每張卡片上的字都不一樣，則獲得一張10元代金券；若抽到的3張卡片是其他情況，則不獲得任何獎勵.（1）求某位消費者在一次抽獎活動中抽到的3張卡片上都印有“中”字的概率.（2）記隨機變量為某位消費者在一次抽獎活動中獲得代金券的金額數，求的分布列和數學期望.（3）該商家規定，消費者若想再次參加該項抽獎活動，則每抽獎一次需支付5元.若你是消費者，請從收益方面來考慮是否愿意再次參加該項抽獎活動，并說明理由.解：（1）記“某位消費者在一次抽獎活動中抽到的3張卡片上都印有‘中’字”為事件，則.所以某位消費者在一次抽獎活動中抽到的3張卡片上都印有“中”字的概率是（2）隨機變量的所有可能取值為，則，，.所以的分布列為01020.（3）記隨機變量為消費者在一次抽獎活動中的收益，則，所以，因此我不愿意再次參加該項抽獎活動.19.如圖，對于曲線，存在圓滿足如下條件：①圓與曲線有公共點，且圓心在曲線凹的一側；②圓與曲線在點處有相同的切線；③曲線的導函數在點處的導數（即曲線的二階導數）等于圓在點處的二階導數（已知圓在點處的二階導數等于）；則稱圓為曲線在點處的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑．（1）求拋物線在原點的曲率圓的方程；（2）求曲線的曲率半徑的最小值；（3）若曲線在和處有相同的曲率半徑，求證：．解：（1）記，設拋物線在原點的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．則，，故，，即，所以拋物線在原點的曲率圓的方程為；（2）設曲線在的曲率半徑為．則法一：，由知，，所以，故曲線在點處的曲率半徑，所以，則，則，當且僅當，即時取等號，故，曲線在點處的曲率半徑．法二：，，所以，而，所以，解方程可得，則，當且僅當，即時取等號，故，曲線在點處的曲率半徑．（3）法一：函數的圖象在處的曲率半徑，故，由題意知：令，則有，所以，即，故．因為，所以，所以，所以．法二：函數的圖象在處的曲率半徑，有令，則有，則，故，因為，所