高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省廣州市2025屆高三下學期綜合測試（一）數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數滿足，則的虛部為（）A. B.1 C. D.i【答案】B【解析】因為，所以，所以的虛部為1.故選：B2.已知集合，若，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，因，則，則實數的取值范圍是.故選：D.3.在平行四邊形中，點是邊上的點，，點是線段的中點，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】因為點是線段的中點，所以，又，所以，所以，故選：C4.已知球的表面積為，一圓臺的上、下底面圓周都在球的球面上，且下底面過球心，母線與下底面所成角為，則該圓臺的側面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出示意圖如圖所示：設球的半徑為，由題意可得，所以是等邊三角形，所以，所以，因為球的表面積為，所以，解得，所以，所以，所以圓臺的側面積為.故選：B.5.已知點在雙曲線上，且點到兩條漸近線的距離之積等于，則的離心率為（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】設.∵點在雙曲線上，，即.又雙曲線的兩條漸近線分別為和，點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為：，，即.又，，，.故選：D.6.已知實數滿足，則下列不等式可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設函數，作出函數圖象如下，設，對A，當時，直線與函數的圖象交點的橫坐標為，由函數圖象可知，，A錯誤；對C，當時，直線與函數的圖象交點的橫坐標為，由函數圖象可知，，C錯誤；因為，所以，設，作出函數的圖象如下，對B，當時，直線與函數的圖象交點的橫坐標為，由函數圖象可知，，B正確；對D，當時，直線與函數的圖象交點的橫坐標為，由函數圖象可知，，D錯誤；故選:B.7.已知，曲線與相鄰的三個交點構成一個直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設曲線與相鄰的三個交點為，，解得，不妨取，則，所以，則，由題意得為直角三角形，所以，即，解得，故選：A．8.定義域為的偶函數在上單調遞減，且，若關于的不等式的解集為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為為偶函數，所以，則，由，得，又因為函數在上單調遞減，且，則函數在上單調遞增，則時，，當時，，則當時，，當時，，所以的解集為，的解集為，由于不等式的解集為，當時，不等式為，此時解集為，不符合題意；當時，不等式解集為，不等式解集為，要使不等式的解集為，則，即；當時，不等式解集為，不等式解集為，此時不等式的解集不為；綜上所述，，則，當且僅當，即，時等號成立，即的最小值為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某位射擊運動員的兩組訓練數據如下：第一組：10，7，7，8，8，9，7；第二組：10，5，5，8，9，9，10．則（）A.兩組數據的平均數相等B.第一組數據的方差大于第二組數據的方差C.兩組數據的極差相等D.第一組數據的中位數小于第二組數據的中位數【答案】AD【解析】第一組數據從小到大排序為：，其平均數為，其方差為，其極差為，其中位數為：；第二組數據從小到大排序為：，其平均數為，其方差，其極差為，其中位數為：所以AD正確，BC錯誤；故選：AD.10.已知函數在處取得極大值，的導函數為，則（）A.B.當時，C.D.當且時，【答案】ACD【解析】由，則，則函數的定義域為，則，，則，因為函數在處取得極大值，所以，即，此時，則，令，得或；令，得，所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增，則函數在處取得極大值，符合題意，即，故A正確；由上述可知函數在上單調遞減，當時，，則，故B錯誤；由，則，，所以，故C正確；因為，，則，又函數在上單調遞增，則，所以，又，則，故D正確.故選：ACD11.如圖，半徑為1的動圓沿著圓外側無滑動地滾動一周，圓上的點形成的外旋輪線，因其形狀像心形又稱心臟線．已知運動開始時點與點重合．以下說法正確的有（）A.曲線上存在到原點的距離超過的點B.點在曲線上C.曲線與直線有兩個交點D.【答案】BCD【解析】設與切于點，則始終關于點對稱.所以當切點繞逆時針轉動弧度時，致使點繞圓心也轉了弧度，，如圖，連接，，延長與軸交于點，過作軸于點，，，，則，即曲線的參數方程為，為參數，.對于A，，上不存在到原點的距離超過的點，A錯；對于B，若在上，則，由①解得或0，驗證知僅當時，代入②符合，在曲線上，故B正確；對于C，由，將曲線的參數方程代入得，即，，如下圖，分別作出與的大致圖象，可知兩函數圖象共有兩個交點，故C正確；對于D，，，，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_______．【答案】【解析】由，得，則，所以.故答案為：.13.將這9個數字填在的方格表中，要求每一行從左到右、每一列從上到下的數字依次變小．若將4填在如圖所示的位置上，則填寫方格表的方法共有_______種．【答案】12【解析】由每一行從左到右、每一列從上到下的數字依次變小，得在左上角，在右下角，如圖，排在位置，有種方法，從余下的4個數字中任取2個按從左到右由大到小排在位置，有種方法，最后兩個數字從上到下由大到小排在位置，有1種方法，所以填寫方格表的方法共有（種）.故答案為：1214.在正三棱錐中，，點在內部運動（包括邊界），點到棱的距離分別記為，且，則點運動路徑的長度為_______．【答案】【解析】由題意可知：，則，可知，因為三棱錐為正三棱錐，則點在底面內的投影為底面的中心，取中點，則，，設點在平面、平面和平面內的投影分別為、和，根據正三棱錐的結構特征，可以以為鄰邊作長方體，則平面，平面，則，即，同理可知：，由長方體的性質可知：，可得，即，又因為平面，平面，則，可得，可知點在以點為圓心，半徑的圓上，因為，可知與圓相交，設圓與交于兩點，則，可知為等邊三角形，則，結合對稱性可知點運動路徑的長度為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內角的對邊分別為，已知．（1）求證：；（2）若，求的面積．解：（1）因為，根據正弦定理得：又，所以，所以，即，所以，或（舍），所以.（2）根據正弦定理得，即，有余弦定理，得，解得或，當時，，，，則，，而，矛盾，舍去，故，所以的面積為16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側面是等邊三角形，三棱錐的體積為，點是棱的中點．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為底面為矩形，，所以，設三棱錐的高為，又三棱錐的體積為，所以，所以，又側面是等邊三角形，且，取的中點，連接，可得，從而為三棱錐的高，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中點，連接，則，故由（1）可以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角標系，則，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．17.個人相互傳球，傳球規則如下：若球由甲手中傳出，則甲傳給乙；否則，傳球者等可能地將球傳給另外的個人中的任何一個．第一次傳球由甲手中傳出，第次傳球后，球在甲手中的概率記為，球在乙手中的概率記為．（1）求；（2）求；（3）比較與的大小，并說明理由．解：（1）由題意知，，所以；（2）由題意知，，所以，所以，則；（3）由題意知，則，所以，（當時取等號）所以.18.已知動點到點的距離等于它到直線的距離，記動點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）為坐標原點，過點且斜率存在的直線與相交于兩點，直線與直線相交于點，過點且與相切的直線交軸于點．（i）證明：直線；（ii）滿足四邊形的面積為12的直線共有多少條？說明理由．解：（1）由拋物線的定義得動點的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，所以，即．（2）（i）證明：由題可知，直線的斜率存在且不為0，故設直線的方程為，則直線的斜率為，設直線與相交于兩點，不妨設，由得，，則，由得，，則點處的斜率為，則點處的切線方程為，令，得，即點，直線的方程為，令，得，即，所以直線的斜率，所以，即直線．（ii）連接，由（i）得，，所以，又因為，所以軸，即四邊形為平行四邊形，由得，，若四邊形的面積為12，則，整理得，令，則，設，則，所以在單調遞增，又，所以存在，使得，所以上單調遞減，在上單調遞增，又，，所以有2個零點，即有2個根，所以四邊形的面積為12的直線共有2條．19.已知且，集合，其中．若存在函數，其圖象在區間上是一段連續曲線，且，則稱是的變換函數，集合是的子集．例如，設，此時函數是的變換函數，是的子集．（1）判斷集合是否是的子集？說明理由；（2）判斷是否為集合的變換函數？說明理由；（3）若，則，試問是否存在函數，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，說明理由．解：（1