計數原理與概率、隨機變量及其分布第九章第55講分類加法計數原理與分步乘法計數原理1/29考綱要求考情分析命題趨勢1.了解分類加法計數原理和分步乘法計數原理．2．會用分類加法計數原理或分步乘法計數原理分析和處理一些簡單實際問題.，全國卷Ⅱ，5T，全國卷Ⅱ，15T，廣東卷，12T利用計數原理、排列、組合知識求解排列、組合問題分值：5分2/29板塊一板塊二板塊三欄目導航板塊四3/291．兩個計數原理分類加法計數原理分步乘法計數原理條件完成一件事有______________.在第1類方案中有m種不一樣方法，在第2類方案中有n種不一樣方法完成一件事需要__________.做第1步有m種不一樣方法，做第2步有n種不一樣方法結論完成這件事共有N＝__________種不一樣方法完成這件事共有N＝________種不一樣方法兩類不一樣方案兩個步驟m＋n

m×n

4/291．思維辨析(在括號內打“√”或“×”)．(1)在分類加法計數原理中，兩類不一樣方案中方法能夠相同．(

)(2)在分類加法計數原理中，每類方案中方法都能直接完成這件事．(

)(3)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟方法是各不相同．(

)(4)在分步乘法計數原理中，事情是分兩步完成，其中任何一個單獨步驟都能完成這件事．(

)×

√√×

5/29解析：(1)錯誤．在分類時，兩類不一樣方案中方法不能相同，故錯誤．(2)正確．(3)正確．(4)錯誤．在分類乘法計數原理中，必須把每個步驟都完成才能完成這件事，故錯誤．6/292．從3名女同學和2名男同學中選1人主持主題班會，則不一樣選法種數為__________.解析：從5名同學中選1人有5種選法．3．在全部兩位數中，個位數字大于十位數字兩位數共有________個．解析：按個位數字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類．在每一類中滿足條件兩位數分別是1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．則共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)．5

36

7/294．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等數a，b組成復數a＋bi，其中虛數有__________.解析：∵a，b互不相等且為虛數，∴b只能從{1,2,3,4,5,6}中選一個，有6種．a從剩下6個選一個，有6種．∴由分步計數原理知虛數有6×6＝36(個)．36個

8/295．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不一樣數，使這三個數成等比數列，這么等比數列個數為__________.8

9/29利用分類加法計數原了解題時注意事項：(1)依據問題特點確定一個適當分類標準，分類標準要統一，不能遺漏；(2)分類時，注意完成這件事件任何一個方法必須屬于某一類，不能重復．一分類加法計數原理10/29【例1】(1)高三一班有學生50人，男生30人，女生20人；高三二班有學生60人，男生30人，女生30人；高三三班有學生55人，男生35人，女生20人．①從高三一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席，有_____種不一樣選法；②從高三一班、二班男生中，或高三三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有______種不一樣選法．(2)如圖，從A到O有______種不一樣走法(不重復過一點)．

165

80

5

20

11/29解析：(1)①完成這件事有三類方法：第一類，從高三一班任選一名學生共有50種選法；第二類，從高三二班任選一名學生共有60種選法；第三類，從高三三班任選一名學生共有55種選法，依據分類加法計數原理，任選一名學生任學生會主席共有50＋60＋55＝165(種)選法．②完成這件事有三類方法：第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法．綜上知，共有30＋30＋20＝80(種)選法．12/29(2)分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個點，有A→B→O和A→C→O2種不一樣走法；第三類，中間過兩個點，有A→B→C→O和A→C→B→O2種不一樣走法，由分類加法計數原理可得共有1＋2＋2＝5種不一樣走法．(3)當m＝1時，n＝2,3,4,5,6,7共6種；當m＝2時，n＝3,4,5,6,7共5種；當m＝3時，n＝4,5,6,7共4種；當m＝4時，n＝5,6,7共3種；當m＝5時，n＝6,7共2種，故共有6＋5＋4＋3＋2＝20(種)．13/29二分步乘法計數原理(1)利用分步乘法計數原理處理問題要按事件發生過程合理分步，即分步是有先后次序，而且分步必須滿足：完成一件事各個步驟是相互依存，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成．14/29【例2】(1)教學大樓共有五層，每層都有兩個樓梯，由一層到五層走法有(

)A．10種 B．25種C．52種 D．24種(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則不一樣報名方法有__________種．解析：(1)由一層到二層、由二層到三層、由三層到四層、由四層到五層各有2種走法，故共有2×2×2×2＝24種不一樣走法．(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，所以可由項目選人，每一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，依據分步乘法計數原理，可得不一樣報名方法共有6×5×4＝120種．D

120

15/29三兩個計數原理綜合應用利用兩個計數原了解題時注意事項(1)認真審題，分析題目標條件、結論，尤其要了解題目中所講“事情”是什么，完成這件事情含義和標準是什么．(2)明確完成這件事情需要“分類”還是“分步”，還是既要“分類”又要“分步”，并搞清“分類”或“分步”詳細標準是什么．16/29【例3】(·四川卷)用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字五位數，其中比40000大偶數共有(

)A．144個 B．120個C．96個 D．72個B

17/29【例4】某班一天早晨有4節課，每節都需要安排1名教師去上課，現從A，B，C，D，E，F6名教師中安排4人分別上一節課，第一節課只能從A，B兩人中安排一個，第四節課只能從A，C兩人中安排一人，則不一樣安排方案共有_______種．解析：①第一節課若安排A，則第四節課只能安排C，第二節課從剩下4人中任選1人，第三節課從剩下3人中任選1人，共有4×3＝12(種)排法．②第一節課若安排B，則第四節課可由A或C上，第二節課從剩下4人中任選1人，第三節課從剩下3人中任選1人，共有2×4×3＝24(種)排法．所以不一樣安排方案共有12＋24＝36(種)．36

18/29【例5】(1)如圖，矩形對角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現用5種不一樣顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊兩部分互異，則共有__________種不一樣涂色方法．(2)(·南京模擬)如圖，用4種不一樣顏色對圖中5個區域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區域涂一個顏色，相鄰區域不能涂相同顏色，則不一樣涂色方法有__________種．260

96

19/2920/2921/291．假如把個位數是1，且恰有3個數字相同四位數叫做“好數”，那么在由1,2,3,4四個數字組成有重復數字四位數中，“好數”共有(

)A．9個 B．3個C．12個 D．6個C

22/292．已知集合A＝{x|x＝a0＋a1×3＋a2×32＋a3×33}，其中ai∈{0,1,2}(i＝0,1,2,3)且a3≠0，則A中全部元素之和等于(

)A．3240 B．3120C．2997 D．2889解析：由題意可知，a0，a1，a2各有3種取法(均可取0,1,2)，a3有2種取法(可取1,2)，由分步乘法計數原理可得共有3×3×3×2種取法．故當a0取0,1,2時，a1，a2各有3種取法，a3有2種取法，共有3×3×2＝18種方法，即集合A中含有a0項全部數和為(0＋1＋2)×18；D

23/29同理可得集合A中含有a1項全部和為(3×0＋3×1＋3×2)×18；集合A中含有a2項全部數和為(32×0＋32×1＋32×2)×18；集合A中含有a3項全部數和為(33×1＋33×2)×27；由分類計數原理得集合A中全部元素之和S＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(32×0＋32×1＋32×2)×18＋(33×1＋33×2)×27＝18×(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2187＝2889.故選D．24/293．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b∈M，則：(1)y＝ax2＋bx＋c能夠表示多少個不一樣二次函數？其中偶函數有多少個？(2)y＝ax2＋bx＋c能夠表示多少個圖象開口向上二次函數？解析：(1)a取值有5種情況，b取值有6種情況，c取值有6種情況，所以y＝ax2＋bx＋c能夠表示5×6×6＝180(個)不一樣二次函數．若二次函數為偶函數，則b＝0，故有5×6＝30(個)．(2)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上時，a取值有2種情況，b，c取值都有6種情況，所以y＝ax2＋bx＋c能夠表示2×6×6＝72(個)圖象開口向上二次函數．

25/294．如圖所表示，將一個四棱錐每一個頂點染上一個顏色，并使同一條棱上兩端異色，假如只有5種顏色可供使用，求不一樣染色方法種數．解析：方法一以S，A，B，C，D次序分步染色，第一步，S點染色，有5種方法；第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，B點染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種染色方法；當A與C不一樣色時，因為C與S，B也不一樣色，所以C點有2種染色方法