第4節隨機事件概率1/28最新考綱1.了解隨機事件發生不確定性和頻率穩定性，了解概率意義以及頻率與概率區分；2.了解兩個互斥事件概率加法公式.2/281.概率與頻率(1)頻率：在相同條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現次數nA為事件A出現頻數，稱事件A出現百分比fn(A)＝

為事件A出現頻率.(2)概率：對于給定隨機事件A，因為事件A發生頻率fn(A)伴隨試驗次數增加穩定于概率P(A)，所以能夠用

來預計概率P(A).知

識

梳

理頻率fn(A)3/282.事件關系與運算包含B?AA＝B并事件4/28交事件(積事件)若某事件發生當且僅當且，則稱此事件為事件A與事件B交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必定事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?P(A∪B)＝1事件A發生事件B發生5/283.概率幾個基本性質(1)概率取值范圍：

.(2)必定事件概率P(E)＝

.(3)不可能事件概率P(F)＝

.(4)互斥事件概率加法公式①假如事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝

.②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝

.0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)6/28[慣用結論與微點提醒]1.頻率伴隨試驗次數改變而改變，概率是一個常數.2.對立事件是互斥事件特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”必要不充分條件.7/281.思索辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)事件發生頻率與概率是相同.(

) (2)在大量重復試驗中，概率是頻率穩定值.(

) (3)若隨機事件A發生概率為P(A)，則0≤P(A)≤1.(

) (4)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎概率小于乙中獎概率.(

)

答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×診

斷

自

測8/282.(教材習題改編)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，事件“最少有一名女生”與事件“全是男生”(

) A.是互斥事件，不是對立事件 B.是對立事件，不是互斥事件 C.既是互斥事件，也是對立事件 D.既不是互斥事件也不是對立事件

解析

“最少有一名女生”包含“一男一女”和“兩名女生”兩種情況，這兩種情況再加上“全是男生”組成全集，且不能同時發生，故“最少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件，也是對立事件.

答案

C9/28答案

A10/284.某射手在一次射擊中，射中10環，9環，8環概率分別為0.2，0.3，0.1，則此射手在一次射擊中不超出8環概率為(

) A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9

解析依題設知，此射手在一次射擊中不超出8環概率為1－(0.2＋0.3)＝0.5.

答案

A11/285.(·北京東城區調研)經統計，在銀行一個營業窗口天天早晨9點鐘排隊等候人數及對應概率以下表：則該營業窗口早晨9點鐘時，最少有2人排隊概率是________.解析由表格知，最少有2人排隊概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.答案

0.74排隊人數01234≥5概率0.10.160.30.30.10.0412/28考點一隨機事件間關系【例1】(1)袋中裝有3個白球和4個黑球，從中任取3個球，則：①恰有1個白球和全是白球；②最少有1個白球和全是黑球；③最少有1個白球和最少有2個白球；④最少有1個白球和最少有1個黑球.

在上述事件中，是對立事件為(

) A.① B.② C.③ D.④13/2814/28解析

(1)最少有1個白球和全是黑球不一樣時發生，且一定有一個發生.故②中兩事件是對立事件.③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是對立事件，所以是對立事件只有②，選B.答案

(1)B

(2)A15/28規律方法1.準確把握互斥事件與對立事件概念(1)互斥事件是不可能同時發生事件，但也能夠同時不發生.(2)對立事件是特殊互斥事件，特殊在對立兩個事件不可能都不發生，即有且僅有一個發生.2.判別互斥、對立事件方法判別互斥事件、對立事件普通用定義判斷，不可能同時發生兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.16/28【訓練1】

從1，2，3，4，5這五個數中任取兩個數，其中：①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；②最少有一個是奇數和兩個都是奇數；③最少有一個是奇數和兩個都是偶數；④最少有一個是奇數和最少有一個是偶數.上述事件中，是對立事件是(

) A.① B.②④ C.③ D.①③

解析從1，2，3，4，5這五個數中任取兩個數有3種情況：一奇一偶，兩個奇數，兩個偶數.

其中“最少有一個是奇數”包含一奇一偶或兩個奇數這兩種情況，它與兩個都是偶數是對立事件.

又①②④中事件能夠同時發生，不是對立事件.

答案

C17/28考點二隨機事件頻率與概率【例2】

(·全國Ⅲ卷)某超市計劃按月訂購一個酸奶，天天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出酸奶降價處理，以每瓶2元價格當日全部處理完.依據往年銷售經驗，天天需求量與當日最高氣溫(單位：℃)相關.假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區間[20，25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份訂購計劃，統計了前三年六月份各天最高氣溫數據，得下面頻數分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天數21636257418/28以最高氣溫位于各區間頻率預計最高氣溫位于該區間概率.(1)預計六月份這種酸奶一天需求量不超出300瓶概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天進貨量為450瓶時，寫出Y全部可能值，并預計Y大于零概率.所以這種酸奶一天需求量不超出300瓶概率預計值為0.6.19/28(2)當這種酸奶一天進貨量為450瓶時，若最高氣溫低于20，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高氣溫位于區間[20，25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高氣溫不低于25，則Y＝450×(6－4)＝900，所以，利潤Y全部可能值為－100，300，900.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，所以Y大于零概率預計值為0.8.20/28規律方法

1.概率與頻率關系頻率反應了一個隨機事件出現頻繁程度，頻率是隨機，而概率是一個確定值，通慣用概率來反應隨機事件發生可能性大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率預計值.2.隨機事件概率求法利用概率統計定義求事件概率，即經過大量重復試驗，事件發生頻率會逐步趨近于某一個常數，這個常數就是概率.提醒概率定義是求一個事件概率基本方法.21/28【訓練2】

(·武漢調研)某鮮花店將一個月(30天)某品種鮮花日銷售量與銷售天數統計以下表，將日銷售量在各區間銷售天數占總天數值視為概率.(1)求這30天中日銷售量低于100枝概率；(2)若此花店在日銷售量低于100枝時候選擇兩天做促銷活動，求這兩天恰好是在日銷售量低于50枝時概率.日銷售量(枝)(0，50)[50，100)[100，150)[150，200)[200，250]銷售天數3天5天13天6天3天22/28解(1)設鮮花店日銷售量為x枝，(2)日銷售量低于100枝共有8天，從中任選兩天做促銷活動，共有28種情況；日銷售量低于50枝共有3天，從中任選兩天做促銷活動，共有3種情況.23/28考點三互斥事件與對立事件概率【例3】

(一題多解)經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候人數對應概率以下：排隊人數012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候概率；(2)最少3人排隊等候概率.24/28解記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一記“最少3人排隊等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二記“最少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.25/2826/28【訓練3】

某商場有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎事件