第2講函數應用專題二函數與導數1/48熱點分類突破真題押題精練2/48Ⅰ熱點分類突破3/48熱點一函數零點1.零點存在性定理假如函數y＝f(x)在區間[a，b]上圖象是連續不停一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0根.2.函數零點與方程根關系函數F(x)＝f(x)－g(x)零點就是方程f(x)＝g(x)根，即函數y＝f(x)圖象與函數y＝g(x)圖象交點橫坐標.4/48例1

(1)方程ln(x＋1)－

＝0(x>0)根存在大致區間是A.(0,1) B.(1,2)C.(2，e) D.(3,4)答案解析√則f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln2－2<0，而f(2)＝ln3－1>0，所以函數f(x)零點所在區間為(1,2).所以B選項正確.5/48(2)(屆河北滄州一中月考)已知定義在R上偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則方程f(x)＝log3|x|解個數是A.0 B.2 C.4 D.6答案解析√思維升華解析利用函數奇偶性、周期性在同一平面直角坐標系中畫出函數y＝f(x)，y＝log3|x|圖象，結合圖象能夠看出：兩個函數y＝f(x)，y＝log3|x|有四個不一樣交點，即方程f(x)＝log3|x|有四個解，故選C.6/48思維升華函數零點(即方程根)確實定問題，常見有(1)函數零點大致存在區間確實定.(2)零點個數確實定.(3)兩函數圖象交點橫坐標或有幾個交點確實定.處理這類問題慣用方法有解方程法、利用零點存在判定或數形結正當，尤其是方程兩端對應函數類型不一樣方程多以數形結正當求解.7/48跟蹤演練1

(1)函數f(x)＝2x＋2x零點所在區間是A.[－2，－1] B.[－1,0]C.[0,1] D.[1,2]答案解析√解析f(－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f(－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f(0)＝20＋0>0，由零點存在性定理知，函數f(x)零點在[－1,0]內，故選B.8/48(2)(屆甘肅高臺縣一中檢測)已知函數f(x)滿足：①定義域為R；②?x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③當x∈[－1,1]時，f(x)＝－|x|＋1，則方程f(x)＝log2|x|在區間[－3,5]內解個數是A.5 B.6 C.7 D.8答案解析√解析畫出函數圖象如圖所表示，由圖可知，共有5個解.9/48熱點二函數零點與參數范圍處理由函數零點存在情況求參數值或取值范圍問題，關鍵是利用函數方程思想或數形結合思想，構建關于參數方程或不等式求解.10/48例2

(1)(屆山東菏澤一中宏志部月考)已知偶函數f(x)滿足f(x－1)＝

，且當x∈[－1,0]時，f(x)＝x2，若在區間[－1,3]內，函數g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3個零點，則實數a取值范圍是______.答案解析(3,5)思維升華思維升華方程f(x)＝g(x)根個數即為函數y＝f(x)和y＝g(x)圖象交點個數.11/48解析∵偶函數f(x)滿足f(x－1)＝

，且當x∈[－1,0]時，f(x)＝x2，∴函數f(x)周期為2，在區間[－1,3]內函數g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3個零點等價于函數f(x)圖象與y＝loga(x＋2)圖象在區間[－1,3]內有3個交點.12/48(2)已知實數f(x)＝

若關于x方程f

2(x)＋f(x)＋t＝0有三個不一樣實根，則t取值范圍為____________.答案解析(－∞，－2]思維升華思維升華關于x方程f(x)－m＝0有解，m范圍就是函數y＝f(x)值域.13/48解析方法一原問題等價于f

2(x)＋f(x)＝－t有三個不一樣實根，即y＝－t與y＝f

2(x)＋f(x)圖象有三個不一樣交點.當x≥0時，y＝f

2(x)＋f(x)＝e2x＋ex為增函數，在x＝0處取得最小值2，與y＝－t只有一個交點.當x<0時，y＝f

2(x)＋f(x)＝lg2(－x)＋lg(－x)，依據復合函數單調性，其在(－∞，0)上先減后增.所以，要有三個不一樣交點，則需－t≥2，解得t≤－2.14/48方法二設m＝f(x)，作出函數f(x)圖象，如圖所表示，則當m≥1時，m＝f(x)有兩個根，當m<1時，m＝f(x)有一個根，若關于x方程f

2(x)＋f(x)＋t＝0有三個不一樣實根，15/48則等價為m2＋m＋t＝0有兩個不一樣實數根，且m≥1或m<1，當m＝1時，t＝－2，此時由m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2，滿足f(x)＝1有兩個根，f(x)＝－2有一個根，滿足條件；當m≠1時，設h(m)＝m2＋m＋t，則h(1)<0即可，即1＋1＋t<0，解得t<－2，綜上，實數t取值范圍為t≤－2.16/48跟蹤演練2

(1)已知函數f(x)＝

若關于x方程f(x)－k－k＝0有唯一一個實數根，則實數k取值范圍是_______________.答案解析[0,1)∪(2，＋∞)17/48結合圖象能夠看出當0≤k<1或k>2時符合題設.18/48(2)(·全國Ⅲ)已知函數f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a等于答案解析√19/48解析方法一f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函數g(t)為偶函數.∵f(x)有唯一零點，∴g(t)也有唯一零點.又g(t)為偶函數，由偶函數性質知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝

.故選C.20/48方法二

f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.當且僅當x＝1時取“＝”.－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當且僅當x＝1時取“＝”.若a＞0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零點，則必有2a＝1，即a＝.若a≤0，則f(x)零點不唯一.故選C.21/48熱點三函數實際應用問題處理函數模型實際應用問題，首先考慮題目考查函數模型，并要注意定義域.其解題步驟是：(1)閱讀了解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出對應數學問題.(2)數學建模：搞清題目中已知條件和數量關系，建立函數關系式.(3)解函數模型：利用數學方法得出函數模型數學結果.(4)實際問題作答：將數學問題結果轉化成實際問題作出解答.22/48思維升華關于處理函數實際應用問題，首先要耐心、細心地審清題意，搞清各量之間關系，再建立函數關系式，然后借助函數知識求解，解答后再回到實際問題中去.例3

(屆湖北孝感市統考)經測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(升)與速度x(千米/小時)(50≤x≤120)關系可近似表示為：解答思維升華(1)該型號汽車速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？23/48解當x∈[50,80)時，當x∈[80,120]時，函數單調遞減，故當x＝120時，y有最小值10.因為9<10，故當x＝65時每小時耗油量最低.24/48(2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？思維升華對函數模型求最值慣用方法：單調性法、基本不等式法及導數法.解答思維升華25/48①當x∈[50,80)時，當x＝120時，l取得最小值10.因為10<16，所以當速度為120千米/小時時，總耗油量最少.26/48跟蹤演練3

(屆運城期中)為了保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門支持下，進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉化為一個可利用化工產品.已知該單位每個月處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間函數關系可近似表示為y＝

x2－200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用化工產品價值為100元.(1)該單位每個月處理量為多少噸時，才能使每噸平均處理成本最低？解答27/48解由題意可知，二氧化碳每噸平均處理成本為28/48(2)該單位每個月能否贏利？假如贏利，求出最大利潤；假如不贏利，則國家每個月最少需要補助多少元才能使該單位不虧損？解答29/48解設該單位每個月贏利為S，因為400≤x≤600，所以當x＝400時，S有最大值－40000.故該單位不贏利，需要國家每個月最少補助40000元，才能不虧損.30/48Ⅱ真題押題精練31/48真題體驗1.(·天津改編)已知函數f(x)＝(ω>0，x∈R).若f(x)在區間(π，2π)內沒有零點，則ω取值范圍是______________.答案解析12332/48因為函數f(x)在區間(π，2π)內沒有零點，12333/48所以函數f(x)在區間(π，2π)內沒有零點時，12334/482.(·山東改編)已知當x∈[0,1]時，函數y＝(mx－1)2圖象與y＝

＋m圖象有且只有一個交點，則正實數m取值范圍是_______________.(0,1]∪[3，＋∞)答案解析12335/4812336/48要使f(x)與g(x)圖象在[0,1]上只有一個交點，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去).總而言之，m∈(0,1]∪[3，＋∞).12337/488答案解析12338/48解析因為f(x)∈[0,1)，則只需考慮1≤x<10情況，在此范圍內，x∈Q，且x?Z時，若lgx∈Q，則由lgx∈(0,1)，12339/48所以lgx?Q，所以lgx不可能與每個周期內x∈D對應部分相等，只需考慮lgx與每個周期內x?D部分交點，畫出函數草圖.圖中交點除(1,0)外其它交點橫坐標均為無理數，屬于每個周期內x?D部分，12340/48則在x＝1附近僅有1個交點，所以方程解個數為8.12341/48押題預測答案解析押題依據函數零點是高考一個熱點，利用函數圖象交點確定零點個數是一個慣用方法.押題依據1231.f(x)＝2sinπx－x＋1零點個數為A.4 B.5 C.6 D.7√42/48123解析令2sinπx－x＋1＝0，則2sinπx＝x－1，令h(x)＝2sinπx，g(x)＝x－1，則f(x)＝2sinπx