§8.6熱點專題——立體幾何中熱點問題熱點一空間幾何體表面積和體積空間幾何體表面積和體積是每年高考必考內(nèi)容，高考對它考查形式由原來簡單套用公式求解，逐步變?yōu)槿晥D與柱、錐、臺、球綜合問題，題型現(xiàn)有選擇、填空題，也與空間位置關(guān)系證實相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中．1/42【例1】

(1)(·邢臺模擬)一個幾何體三視圖如圖所表示，則該幾何體體積是(

)2/42A．64

B．72C．80D．112【答案】

B3/42(2)(·新課標全國卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，BE⊥平面ABCD.4/425/426/427/42【方法規(guī)律】

求錐體體積時，等體積轉(zhuǎn)化是慣用方法，轉(zhuǎn)化標準是其高易求，底面積在已知幾何體某一面上．求不規(guī)則幾何體體積，慣用分割或補形思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體方便于求解．8/42變式訓(xùn)練1．(·遼寧大連雙基檢測)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為3菱形，∠ABC＝60°.PA⊥平面ABCD，且PA＝3.E為PD中點，F(xiàn)在棱PA上，且AF＝1.9/42(1)求證：CE∥平面BDF；(2)求三棱錐P-BDF體積．【解析】

(1)證實

取PF中點G，連接EG，CG.連接AC交BD于O，連接FO.由題意可得F為AG中點，O為AC中點，∴FO∥GC.因為G為PF中點，E為PD中點，∴GE∥FD.又GE∩GC＝G，GE，GC?平面GEC，F(xiàn)O∩FD＝F，F(xiàn)O，F(xiàn)D?平面FOD，∴平面GEC∥平面FOD.∵CE?平面GEC，∴CE∥平面BDF.10/4211/4212/42熱點二平行關(guān)系與垂直關(guān)系綜合問題空間中直線與平面位置關(guān)系是研究立體幾何關(guān)鍵問題，高考一直把直線與平面平行、垂直關(guān)系作為考查重點，尤其是以多面體(主要是柱體和錐體)為載體線面位置關(guān)系論證是每年高考必考內(nèi)容．13/42【例2】

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC中點．14/42(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E-ABC體積．【解析】

(1)證實

在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因為AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB?平面ABE.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.15/4216/4217/42【方法規(guī)律】

(1)線面、面面位置關(guān)系證實問題實質(zhì)是線線、線面、面面位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直判定定理和性質(zhì)定理進行證實．(2)線線位置關(guān)系是基礎(chǔ)，解題時注意①平面幾何中位置關(guān)系轉(zhuǎn)化，如：中位線、等腰三角形中線、平行線分線段成百分比等；②數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系轉(zhuǎn)化，如經(jīng)過計算得到線線垂直等．18/42變式訓(xùn)練2．(·浙江)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC射影為BC中點，D是B1C1中點．19/42(1)證實：A1D⊥平面A1BC；(2)求直線A1B和平面BB1C1C所成角正弦值．【解析】

(1)證實

設(shè)E為BC中點，由題意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因為AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分別為B1C1，BC中點，得DE∥B1B且DE＝B1B，從而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE為平行四邊形．于是A1D∥AE.20/42又因為AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足為F，連接BF.21/4222/42熱點三平面圖形翻折問題將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，這類問題稱為平面圖形翻折問題，常與空間中平行、垂直關(guān)系以及空間幾何體體積求法相綜合命題．23/4224/4225/4226/42【方法規(guī)律】

平面圖形翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系改變情況．普通地，翻折后還在同一個平面上性質(zhì)不發(fā)生改變，不在同一個平面上性質(zhì)發(fā)生改變．變式訓(xùn)練3．如圖1，在邊長為4菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點E，F(xiàn)分別在邊CD，CB上，點E與點C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF將△CEF翻折到△PEF位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如圖2所表示．27/4228/42(1)求證：BD⊥平面POA；(2)當PB取得最小值時，求四棱錐P-BDEF體積．【解析】

(1)證實

因為菱形ABCD對角線相互垂直，所以BD⊥AC，所以BD⊥AO.因為EF⊥AC，所以PO⊥EF.因為平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO?平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因為BD?平面ABFED，所以PO⊥BD.29/4230/4231/42熱點四線面位置關(guān)系中存在性問題這類探索性問題是近幾年在高考中常出現(xiàn)問題，主要有兩類問題：(1)探索條件，即探索能使結(jié)論成立條件是什么；(2)探索結(jié)論，即在給定條件下，命題結(jié)論是什么．【例4】

在如圖所表示多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形．32/42(1)若AC⊥BC，證實：直線BC⊥平面ACC1A1；(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證實你結(jié)論．【解析】

(1)證實

因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因為AB，AC為平面ABC內(nèi)兩條相交直線，所以AA1⊥平面ABC.因為直線BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.33/42又由已知，AC⊥BC，AA1，AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條相交直線，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)取線段AB中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1交點．由已知，O為AC1中點．34/4235/42【方法規(guī)律】

對于線面關(guān)系中存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在這假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足條件，若滿足則必定假設(shè)，若得出矛盾結(jié)論則否定假設(shè)．36/42變式訓(xùn)練4．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CD中點，G為棱CC′上動點．37/4238/42【解析】

(1)證實

如圖，連接BD.39/42因為AA′⊥平面ABCD，