江蘇省蘇州市2024-2025學年高一下學期期中調研數學試題一、單選題1．函數的最小正周期是（

）A． B． C． D．2．在平行四邊形中，（

）A． B．C． D．3．已知，則（

）A． B． C． D．4．函數圖象的一個對稱中心是（

）A． B． C． D．5．中，，那么（

）A． B． C． D．或6．某簡諧運動可以用函數表示，把該函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，則函數的初相等于（

）A． B． C． D．7．“七巧板”是我國古代勞動人民的偉大發明，被譽為“東方魔方”.某同學制作了一個“七巧板”玩具，如圖所示.其中正方形的邊長為4，點分別是線段的中點，則（

）A． B． C．14 D．208．在平面直角坐標系中，曲線與單位圓的交點個數為（

）A．7 B．8 C．9 D．10二、多選題9．在中，（

）A．若，則B．若，則為等腰三角形C．若，則為鈍角三角形D．若是銳角，，則為銳角三角形三、未知10．已知平面內兩個非零向量與，則（

）A．B．C．存在以為邊長的三角形D．兩個不等式與中至少能成立一個11．已知函數，則（

）A．是偶函數B．是周期函數C．當時，在區間上有最大值D．當時，恒成立12．如圖，某休閑用地的中央區域是邊長為2（百米）的等邊三角形，外圍是以，為圓心，2（百米）為半徑的圓弧.管理部門在矩形的三邊安裝燈帶（其中在圓弧上，都在線段上），記.(1)寫出燈帶的總長度關于的函數，并求出該函數的值域；(2)管理部門還準備在矩形的內部建造一個圓形噴泉，試求圓形噴泉半徑的最大值.四、填空題13．函數在一個周期內的圖象如圖所示，則.14．在內部（不包括邊界）有點，滿足，請寫出一個滿足題意的實數的值.（只要填寫一個即可）15．鈍角能使得等式成立，則該鈍角的值等于.五、解答題16．在中，，設.(1)用分別表示；(2)若，求.17．在中，角的對邊分別為.三個內角滿足.(1)求角的值；(2)如果，并且，求的周長.18．已知函數.(1)求函數的值域；(2)若，求的值.19．已知函數是正整數，.(1)求函數的值域；(2)記，解不等式；(3)當時，求的最大值和最小值.題號123456789答案BACDACCBACD1．B【詳解】因為函數，所以，故函數最小正周期為.故選：B.2．A根據平面向量運算法則計算即可判斷每個選項的正誤.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：A.3．C利用向量坐標乘法和減法法則得到答案.【詳解】.故選：C4．D利用正弦型函數的對稱性求解.【詳解】令，解得，當時，，所以函數圖象的一個對稱中心是.故選：D.5．A根據正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理，得，則，即，因為，所以，則.故選：A.6．C根據題意，利用三角函數的圖象變換，得到，進而求得的初相，得出答案.【詳解】由函數的圖象向右平移個單位后，得到函數，所以函數的初相等于.故選：C.7．C以為原點，建立平面直角坐標系，求得，結合向量的數量積的坐標運算公式，即可求解.【詳解】以為原點，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標系，如圖所示，因為正方形的邊長為4，且點分別是線段的中點，可得，則，所以.故選：C.8．B求出的最小正周期，同一坐標系內畫出單位圓和的圖象，可以看出共有8個交點.【詳解】的最小正周期為，其中，故在單位圓上方，同一坐標系內畫出單位圓和的圖象，在左右兩邊會有兩個交點，為④和⑤，可以看出共有8個交點.故選：B9．ACD由正弦定理求得，得到，可判定A正確；由，得到或，得到為等腰或直角三角形，可判定B錯誤；由，結合，得到，判定C正確；由，得到，得到，得到，可判定D正確.【詳解】對于A，設的外接圓的半徑為，若，由正弦定理得，則，所以，所以A正確；對于B中，因為，可得，且，若，可得或，即或，所以為等腰或直角三角形，所以B錯誤；對于C中，因為，可得，若，則，可得，即為鈍角，所以為鈍角三角形，所以C正確；對于D中，因為，可得若，可得，由函數在上為單調遞增函數，所以，即，又因為，則，所以為銳角三角形，所以D正確.故選：ACD.10．AC【解析】略11．ACD【解析】略12．(1)，其中；(2)（百米）【詳解】（1）在直角三角形中，有，于是，由對稱性得，所以，所以燈帶長，其中.所以奵帶總長度的值域是.（2）最大的圓的直徑是矩形的兩邊中的較小者，，所以.令，所以，解得（舍）或，所以.記銳角滿足，于是時，單調遞增；時，單調遞減，的最大值等于.所以圓形噴泉半徑的最大值為（百米）.13．根據給定的函數圖象求出函數的解析式，進而求出函數值.【詳解】觀察函數圖象，得，函數的最小正周期，解得，由，得，而，則，則，所以.故答案為：14．（答案不唯一，只要介于0和1即可）分別取是的三等分點，連接，得到四邊形為平行四邊形，設，得到，根據行四邊形法則，要使得在內部，在點在線段上運動，得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取點為的三等分點（靠近點），可得，再取點為的三等分點（靠近點），點為的三等分點（靠近點），分別連接，則，所以四邊形為平行四邊形，由，可得，即，設，可得，由平行四邊形法則，當點在上運動時，可得點在直線，要使得在內部（不包含邊界），在點在線段上運動（不包含端點），所以，解得，所以其中一個可以是.故答案為：（答案不唯一，只要介于0和1即可）15．根據給定條件，將正切化成正余弦，再利用輔助角公式變換即可.【詳解】依題意，，而是鈍角，所以.故答案為：16．(1)(2)（1）利用向量的線性運算可求得；（2）利用向量的數量積的運算律求解即可.【詳解】（1）由，所以，所以，.（2）因為，所以，所以.17．(1)(2)（1）在中，利用及和差角的正弦公式，可得到，再結合角的范圍，即可求出角的值；（2）利用余弦定理及題目條件，即可求出邊，進而求出的周長.【詳解】（1）在中，因為，所以.因為，所以，即，所以，即，又因為是三角形的內角，所以，所以.（2）由余弦定理可得，因為，，所以，又因為，所以，解得或（舍去），所以，所以的周長為.18．(1)(2)（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數，再利用正弦函數的性質求出指定區間上的值域.（2）由（1）的信息，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦求解.【詳解】（1）依題意，，由，得，則，所以函數的值域是.（2）由（1）得，而，則，因此，，，所以.19．(1)；(2)；(3)答案見解析.（1）利用二倍角公式化簡函數解析式，利用換元法得到二次函數，利用函數單調性求值域；（2）利用三角恒等變換化簡不等式，降次解不等式即可；（3）先分析時，利用函數的單調性求最大值和最小值，再分類討論為奇數和偶數時，利用函數單調性結合倍數關系求最大值和最小值.【詳解】（1）由題意，，記，有開口向下，對稱軸為，所以，時，單調遞增，時，單調遞減，故的最大值等于的最小值等于，所以的值域為.（2）由題意，，于是，解得因為，所以則或者，所以，即，所以原不等式的解集為.（3）當時，函數在上單調遞增，所以的最大值為，最小值為.當時，函數所以函數的最大，最小值均為1.當時，函數在上單調遞增，所以的政大值為，最小值為.當時，函數在上單調遞減，所以的最大值為，最小值為.下面討論正整數的情形：當為奇數時，，