高中數學選修4-5復習資料內容:

1、知識點復習整理（多套）

2、章末練習題及期末測試題（多套）

3、導學案，教案

高中數學選修4—5知識點

1、不等式的基本性質

①（對稱性）a>bob>a

②（傳遞性）a>h,h>c^>a>c

（3）（可加性）a>hoa+c>h+c

（同向可加性）a>b,c>d^>a+c>b+d

（異向可減性）a>byc<d^a-c>b-d

④（可積性）a>b,c>。=ac>be

a>b,c<0ac<be

⑤（同向正數可乘性）a>b>O,c>d>0ac>bd

（異向正數可除性）a>0>0,0<c<dnq>3

⑥（平方法則）a>b>O=>an>b\neN,S.n>Y）

⑦（開方法則）a>fe>O=>V?>'4b（neN,S.n>1）

⑧（倒數法貝!J）4Z>b>0=>—<—；fi</?<0=>—>-

abab

2、幾個重要不等式

?a2+b2>2ab（a,b&R）,（當且僅當a時取"="號）.變形公式：

②（基本不等式）號N瓢（a,beR+）,（當且僅當時取到等號）.

變形公式：a+b>2>fabab<[a+^.

-------------------I2J

用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大）,要注意滿足三個條件“一

正、二定、三相等”.

③（三個正數的算術一幾何平均不等式）竺手N痂（a、b、ceR+）（當且

僅當a=O=c時取到等號）.

@cr+力2+c2Nab+bc+ca（a,bwR）

(當且僅當a=b=c時取到等號).

⑤/+人3+<??3abe(a>0,b>0,c>0)

（當且僅當。=6=。時取到等號）.

⑥若加7>0,則？+（當僅當a=b時取等號）

ah

若ab<0,則2+—2（當僅當a=b時取等號）

ab

4bb+miQ+〃a/廿小，,八八八、

⑦一<----<1<-------<—,（其中〃>力>0,m>0,n>0）

aa+mb+nb

規律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.

⑧當a>0H寸,=f>片?〈-〃或r>〃；

NV。ofo一。V%&

⑨絕對值三角不等式時—同W|a±A歸問+網.

3、幾個著名不等式

①例4』而哈廳…’當且僅當T時

取"="號）.

（即調和平均W幾何平均W算術平均W平方平均）.

變形公式：

2

（a^b'\er+b2八2、（〃+4

I2J22

②基平均不等式：

4?+..?+%~N—(q+/+.??+a〃)2.

n

③二維形式的三角不等式：

++&+0zJa-々y+Ui-%/（芯，%々，%eR）?

④二維形式的柯西不等式：

（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2{a,b,c,deR）.當且僅當M=/?c時，等號成立.

⑤三維形式的柯西不等式：

2

(aj+42+%2)3」+/7/+42)之(q6+a2h2+a3b3).

⑥一般形式的柯西不等式：

（cij+ct2+…++b；+…+b；）2（44+a2bz+…+。也了.

⑦向量形式的柯西不等式：

設是兩個向量，則|a/卜同耳當且僅當夕是零向量，或存在實數3

使&=%￡時，等號成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

設q<a2<...<an,bt<b2K...42為兩組實數.是白也，…也的任一

排列，則儂”+02bxi+…+4偽4a?+a2c2+…+a“c”<姐+a2b2+...+anbn.(反序

和W亂序和W順序和），當且僅當4=4="?=。,,或4=4=?“=仇時，反序和等于

順序和.

⑨琴生不等式：（特例：凸函數、凹函數）

若定義在某區間上的函數/（x）,對于定義域中任意兩點&Xe產修）,有

「產+%工/（為）+/（±）或f盧+X?八丹）+/區）則稱f（x）為凸（或凹）函數.

2222

4、不等式證明的幾種常用方法

常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；

其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法

等.

常見不等式的放縮方法：

①舍去或加上一些項，如（a+/）2+z>（a+5）2；

②將分子或分母放大（縮小）,

如—<[1>]2_2=J_<2

k*2<k{k-\Y左2,上伏+1)，2々-4+4=4(孤+^/^T

1,2

(ZeN*/>l)等.

y/k\fk+J"+1

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式G?+bx+c>0（或<0）

(aw(),△=店-4">0)解集的步驟:

化化二次項前的系數為正數.

判

二判斷對應方程的根.

求

求對應方程的根.

四畫：畫出對應函數的圖象.

五解集：根據圖象寫出不等式的解集.

規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊.

6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿(奇穿偶切),結合原式不

等號的方向，寫出不等式的解集.

7、分式不等式的解法:先移項通分標準化,則

44>0o/(x).g(x)>0

g(x)

(“<或W”時同理)

/(x)>°

----------2Uv

g(x)-lg(x)wO

規律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.

8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解

(1)7f(x)>a(a>0)=，")

J(x)>a

⑵<ci(a>0)<=><i

/(X)<a-

/U)>0

或/⑴2。

⑶"(x)>g(x)g(x)>0[g(x)<0

J(x)>[g(x)?

/U)>0

⑷"(x)<g(x)o〈g(x)>0

J(X)<[g(X)F

/W>0

(5)"(x)>Jg(x)o-g(x)N0

/(x)>g(尤)

規律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求

解

了指數不等式的解法：

⑴當a>1時，af(x)>agW=/'(x)>g(x)

⑵當0<a<1時,afM>agM=f(x)<g(x)

規律：根據指數函數的性質轉化.

10、對數不等式的解法

/W>o

⑴當a>1時，log./(x)>log.g(x)o<g(x)>0

/(x)>gCr)

/U)>0

⑵當0<a<1時,log,f(x)>log“g(x)=?g(x)>0

|/(x)<g(x)

規律：根據對數函數的性質轉化.

11、含絕對值不等式的解法：

a(a>0)

⑴定義法:

-a(a<0)

⑵平方法：|/(x)|<|g(x)|of-(x)<g2(x).

⑶同解變形法，其同解定理有：

0|JC|<a<=>-a<x<a(?>0);

②W2a。x2a或x<-a(a>0);

③|/(x)區g。)o-g(x)</(x)<g(x)(g。)2。)

④|/(x)|>g(x)=/(x)>g(x)映<x)<-g(x)(g(x)>0)

規律：關鍵是去掉絕對值的符號.

12、含有兩個(或兩個以上)絕對值的不等式的解法：

規律：找零點、劃區間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含參數的不等式的解法

解形如公2+汝+00且含參數的不等式時，要對參數進行分類討論，分類

討論的標準有：

⑴討論a與。的大小；

⑵討論△與0的大小；

⑶討論兩根的大小.

14、恒成立問題

⑴不等式以2+區+。>0的解集是全體實數(或恒成立)的條件是:

①當a=0時=>/?=(),0();

②當awO時

A<0.

⑵不等式a?+笈+。<0的解集是全體實數(或恒成立)的條件是:

①當a=0時=>b-0,c<0;

a<0

②當a工0時=>?

A<0.

⑶f（x）<a恒成立<=><a;

/（無）<a恒成立=/（x）max<a;

⑷/（x）>a恒成立o/（x）1n>a；

/（x）>a恒成立<=>/（x）min>a.

15、線性規劃問題

⑴二元一次不等式所表示的平面區域的判斷：

法一：取點定域法：

由于直線Ax+By+C=0的同一側的所有點的坐標代入Ar+為+C后所得

的實數的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側任取一特殊點

（面,%）（如原點），由Aro+B）b+C的正負即可判斷出加+B）'+C>（）（或<°）表

示直線哪一側的平面區域.

即：直線定邊界，分清虛實；選點定區域，常選原點.

法二：根據Ax+B），+C>0（或<0）,觀察B的符號與不等式開口的符號，

若同號，Ax+8），+C>0（或<（））表示直線上方的區域；若異號，則表示直線上

方的區域.

即：同號上方，異號下方.

⑵二元一次不等式組所表示的平面區域：

不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的公共部分.

⑶利用線性規劃求目標函數z=瓜+S，為常數）的最值：

法一：角點法：

如果目標函數z=Ax+By（x、y即為公共區域中點的橫坐標和縱坐標）的

最值存在，則這些最值都在該公共區域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代

入目標函數，得到一組對應z值，最大的那個數為目標函數z的最大值，最小的

那個數為目標函數z的最小值

法二：畫一一移一一定——求：

第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線/o：Ax+8y=O,

平移直線（據可行域，將直線平行移動）確定最優解；第三步，求出最優解

(x,y);第四步，將最優解(x,y)代入目標函數z=Ax+By即可求出最大值或最小

值.

第二步中最優解的確定方法：

利用z的幾何意義：y=-?x+三，三為直線的縱截距.

BBB

①若B>0,則使目標函數z^Ax+By所表示直線的縱截距最大的角點處，z

取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最小值；

②若8<0,則使目標函數z=Ax+By所表示直線的縱截距最大的角點處，z

取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，2取得最大值.

⑷常見的目標函數的類型：

①“截距”型：z=Ar+By;

②“斜率”型：z=?或z=T：

xx-a

③“距離”型：Z=f+/或Z=G+y2；

z=(x-a)?+(y-b)2或z=^/(x-a)2+(y-b~)2.

在求該“三型”的目標函數的最值時，可結合線性規劃與代數式的幾何意義求解，

從而使問題簡單化.

選修4-5不等式選講

基礎知識?自主學習

［要點梳理知識回頑埋清教材

1.兩個實數大小關系的基本事實

a>g>；a=b巖；a<b<^.

2.不等式的基本性質

(1)對稱性:如果公山,那么________；如果________,那么cob.BPa>bo__

(2)傳遞性:如果a>b,b>c,那么_______.

(3)可加性：如果。>6,那么____________.

(4)可乘性:如果。>中,c>0,那么________；如果c<0,那么_________

(5)乘方：如果a>b>0,那么a"________bn{nGN,n>l).

(6)開方：如果”>b>0,那么缶y[h(nGN,n>l).

3.絕對值三角不等式

(1)性質1：\a+b\^.

(2)性質2：同一向<.

性質3：W|a-.

4.絕對值不等式的解法

⑴含絕對值的不等式因與x|>a的解集

不等式a>0a=0a<0

M<a

W>a

(2)欣+目Wc(c>0)和(c>0)型不等式的解法

①|ar+<co；

②|辦+臼三co.

(3)\x-a\+\x-b\^c和仇一”|+僅一6|Wc型不等式的解法

①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；

②利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；

③通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現了函數與方程的思想.

5.基本不等式

(1)定理：如果〃，bCR,那么。2+。222。方，當且僅當。=/?時，等號成立.

(2)定理(基本不等式)：如果“，h>0,那么等、版當且僅當_______時，等號成

立.也可以表述為：兩個的算術平均它們的幾何平均.

(3)利用基本不等式求最值

對兩個正實數x,y,

①如果它們的和S是定值，則當且僅當________時，它們的積P取得最________值；

②如果它們的積P是定值，則當且僅當________時，它們的和S取得最值.

6.三個正數的算術一幾何平均不等式

(1)定理如果4,b,C均為正數，那么“+：+'玉瓦當且僅當_________時，等號

成立.

即三個正數的算術平均它們的兒何平均.

(2)基本不等式的推廣

對于〃個正數⑶，的…，如，它們的算術平均它們的幾何平均，即…+即

勺042…斯,

當且僅當________________時，等號成立.

7.柯西不等式

⑴設a,b,c,d均為實數，則(°2+/)(/+冷》(℃+她2,當且僅當以/=乩時等號成立.

(2)設a”az，az，…，a,?b\,ht，h3,…，兒是實數，則(/+應3---1■屈)曲+優H----1"居汾(a自

+a262H---Ha滴”)2,當且僅當"=0(i=1,2,―,〃)或存在一個數使得出=的(，=1,2,…,

")時，等號成立.

(3)柯西不等式的向量形式：設a,少是兩個向量，則|a/|W|a|W，當且僅當/?是零向量，或

存在實數%,使a=3時，等號成立.

8.證明不等式的方法

(1)比較法

①求差比較法

知道a>b^a—b>0,a<b^a—b<0,因此要證明a>b,只要證明即可，這種方法稱

為求差比較法.

②求商比較法

由表1且a>0,b>0,因此當a>0,4?0時要證明。>匕，只要證明即可，這

種方法稱為求商比較法.

(2)分析法

從待證不等式出發，逐步尋求使它成立的，直到將待證不等式歸結為一個已成

立的不等式(已知條件、定理等).這種證法稱為分析法，即“執果索因”的證明方法.

(3)綜合法

從已知條件出發，利用不等式的有關性質或定理，經過推理論證，推導出所要證明的不等式

成立，即“由因尋果”的方法，這種證明不等式的方法稱為綜合法.

(4)反證法的證明步驟

第一步：作出與所證不等式的假設；

第二步：從條件和假設出發，應用正確的推理方法，推出矛盾的結論，否定假設，從而證明

原不等式成立.

(5)放縮法

所謂放縮法，即要把所證不等式的一邊適當地,以利于化簡，并使它與不

等式的另一邊的不等關系更為明顯，從而得到欲證不等式成立.

(6)數學歸納法

設｛凡｝是一個與自然數相關的命題集合，如果：(1)證明起始命題P(或Po)成立；(2)在假設

以成立的前提下，推出以+1也成立，那么可以斷定｛P.｝對一切自然數成立.

|夯基釋疑夯實基礎突破疑難

1.不等式|2x—1|一|x—2|<0的解集為.

2.不等式l<|x+l|<3的解集為.

3.(?福建改編)設不等式|x-2&3WN*)的解集為A,且養A,券A.則〃的值為.

/7

4.已知4、b、m均為正數，且T則M、N的大小關系是________.

M=b,b+m

5.設￡1=幣一巾,b—y[()—y[5,c=市一加，則a,b,c的大小關系為.

題型分類?深度剖析

題型一含絕對值的不等式的解法

例1(?課標全國)已知函數_/(x)=k+a|+|x—2|.

(1)當a=—3時,求不等式23的解集；

(2)若人x)W|x—4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.

思維升華解絕對值不等式的基本方法：

(1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉化為解不含絕對值符號的普通不等式；

(2)當不等式兩端均為正號時，可通過兩邊平方的方法，轉化為解不含絕對值符號的普通不

等式；

(3)利用絕對值的幾何意義，數形結合求解.

跟蹤訓練1已知函數y(x)=|x—a|.

(1)若不等式式x)W3的解集為{x|-1WXW5},求實數a的值；

(2)在(1)的條件下，若對一切實數x恒成立，求實數"?的取值范圍.

題型二柯西不等式的應用

例2己知3/+2丫2遼6,求證：2x+yW，TL

思維升華使用柯西不等式時，關鍵是將已知條件通過配;奏，轉化為符合柯西不等式條件的

式子，二維形式的柯西不等式(42+人)(。2+屋)》(改+慶/)2,當且僅當ad=6c時等號成立.

跟蹤訓練2若3元+4y=2,試求『+V的最小值.

題型三不等式的證明方法

例3已知b,c￡（0,+°°）,且a+O+c=l,

求證：（1）（5-1>q一1>（：一1）28；

（2h/^+福+正〈小.

思維升華用綜合法證明不等式是“由因導果”，分析法證明不等式是“執果索因”，它們

是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所

以在實際應用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互

轉化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關系，可以增加解題思路，開闊視野.

設a,b,c>0,Kah+hc+ca=\.

求證:（l）a+/j+c2小；

⑵潴+狀+書》小（犯+福+6

思想與方法

絕對值不等式的解法

典例:（10分）解不等式W+ll+lx—1]23.

思維啟迪本題不等式為|x-a|+|x-b|）c型不等式，解此類不等式有三種方法：幾何法、

分區間（分類）討論法和圖象法.

規范解答

解方法一如圖所示，設數軸上與一1,1對應的點分別為A,B,那么A,B兩點的距離和

為2,因此區間上的數都不是不等式的解.設在A點左側有一點4,到A,B兩點的

距離和為3,4對應數軸上的乂

[4分]

3

-1-x~\~1-x—3,得x=-y

同理設3點右側有一點8到A,8兩點距離之和為3,囪對應數軸上的乂???工-1+不一（一

3

1）=3.；?元=2.

從數軸上可看到，點A,卅之間的點到A,8的距離之和都大于3；點4的左邊或點明的

右邊的任何點到A,B的距離之和都大于3.［8分］

3-3

-

所以原不等式的解集是（一8,--U+8向

2210

_

方法二當xW-l時，原不等式可化為

3

一（x+1）—（x—1）23,解得：xW—1［3分］

當一14V1時，原不等式可以化為

x+1一（工一1）23,即223.不成立，無解.［6分］

當時，原不等式可以化為

x+1+x—1N3.所以x>|.［9分］

綜上，可知原不等式的解集為卜IxW

方法三將原不等式轉化為|x+1|+|大一1|-320.

構造函數y=|x+l|+|x—1|-3,

-2x—3,xW—1；

即y=<—1，-la<l;B分］

2x—3,

作出函數的圖象，如圖所示：

函數的零點是一3家53-

33

--

從圖象可知,22

即|x+l|+|x—1|-320.

3-

U

所以原不等式的解集為（-8,2--5，+8）口0分］

_

溫馨提醒這三種方法是解|x+a|+|x+旬2c型不等式常用的方法，方法一中關鍵是找到特

殊點，方法二中的分類討論要遵循“不重不漏”的原則，方法三則要準確畫出函數圖象，并

準確找出零點.

思想方法?感悟提高

方法與技巧

1.解絕對值不等式主要是通過同解變形去掉絕對值符號轉化為一元一次和一元二次不等式

（組）進行求解.

含有多個絕對值符號的不等式，一般可用零點分段法求解，對于形如|x—a|+|x-'b|>小或|x

一d|+|x一旬〈根為正常數），利用實數絕對值的幾何意義求解較簡便.

2.不等式的證明方法靈活，要注意體會，要根據具體情況選擇證明方法.

3.柯西不等式的證明有多種方法，如數學歸納法，教材中的參數配方法（或判別式法）等，

參數配方法在解決其它問題方面應用比較廣泛.柯西不等式的應用比較廣泛，常見的有證明

不等式，求函數最值，解方程等.應用時，通過拆常數，重新排序、添項，改變結構等手段

改變題設條件，以利于應用柯西不等式.

失誤與防范

1.理解絕對值不等式的幾何意義.

2.掌握分類討論的標準，做到不重不漏.

3.利用基本不等式必須要找準“對應點”，明確“類比對象”，使其符合幾個著名不等式

的特征.

4.注意檢驗等號成立的條件，特別是多次使用不等式時，必須使等號同時成立.

A組專項基礎訓練

1.己知集合A={x￡R||x+3|+|x-4|<9},8={xeR|x=4/+]—6,re（O,+^）],求集合

AQB.

2.（?江蘇）已知。2比>0,求證：2〃3一"22"2—。2b.

3.若〃、b、c均為實數，且〃=，-2>+去&=y2—2z+^,c=z?—2x+*.求證：。、〃、c中

至少有一個大于0.

4.（?課標全國H）設〃、b、c均為正數，且o+〃+c=l,證明：（l）〃A+Z?c+acwg；（2玲++

+1

a

5.設不等式|2x-1|<1的解集為M.

(1)求集合M;

⑵若a,bEM,試比較ab+1與a+6的大小.

6.(?遼寧)已知函數兀r)=|x—a|,其中”>1.

(1)當“=2時，求不等式兀r)24一|x—4|的解集；

(2)已知關于x的不等式|/(2x+a)—4x)|W2的解集為{x|lWxW2},求a的值.

B組專項能力提升

1.若“GN*,S"=N1X2+12X3T--N〃(〃+1),求證：，。；.

2.(?課標全國I)已知函數段)=|2xT|+|2x+a|,g(x)=x+3.

(1)當〃=—2時，求不等式y(x)<g(x)的解集；

(2)設°>一1,且當xe-f.{J時，於)Wg(x),求“的取值范圍.

3.(?福建)已知函數/)=m-|x-2|,mGR,且(+2)20的解集為

⑴求機的值；

(2)若a,b,cWR-,且；+表+(=m，求證：a+2Z?+3c》9.

4.設a,b,c為正實數，求證：/+/+5+abc》2小.

答案

要點梳理

1.a—b>0a—b=Oa—b<0

2.(\)b<ab<ah<a(2)〃>c(3)a+c>b+c(4)ac>bcac<hc(5)>(6)>

3.WM+\b\(2)\a+b\\a\~\b\\a\+\b\

4.(l){x|一00或無V—〃}

{x|x￡R且xWO}R

(2)①一②2c或ax~\~b&—c

5.(2)2a=b正數不小于(即大于或等于)

(3)①尸y大②x=y小

6.(1)2a=h=c不小于

(2)不小于2ai=a2=---=an

8.(\)?a-b>0②|>1(2)充分條件

(4)相反(5)放大或縮小

夯基釋疑

1.{x|-l<x<l}2.(-4,-2)U(0,2)

3.14.M〈N5.a>b>c

題型分類?深度剖析

—2x+5,xW2,

例1解(1)當“=—3時，段)=<1，2<x<3,

,2x—5,x23.

當xW2時，由式x)》3得一Zv+523,解得xWl；

當2a<3時，/外23無解；

當x23時，由力>)23得2%—523,解得x24.

所以大x)》3的解集為{x|xWl或x24}.

(2次。W|x-41alx-4|-|x-2|2|x+a|.

當xe[l,2]時，\x-4\-\x-2\^\x+a\

<=>4—x—(2—x)2b+a|o—2—a.

由條件得一2-aWl且2—a，2,即一3WaW0.

故滿足條件的。的取值范圍為[-3,0].

跟蹤訓練1解方法一(1)由./(x)W3得|x-a|W3,解得a-3WxWa+3.

又已知不等式於)W3的解集為國一lWx<5},

a-3=—\9

所以"3=5,解得“二Z

(2)當。=2時，兀0=以一2],設g(x)=/㈤+4+5),

—2x—1,x<—3,

于是g(x)=|x-2|+|x+3|="5，-3WxW2,

、2x+1,x>2.

所以當歡一3時，g(x)>5；

當一3這xW2時,g(x)=5；

當x>2時，g(x)>5.

綜上可得，g(x)的最小值為5.

從而，若?x)+./(x+5)2"2,即g(x)2"對一切實數x恒成立，則加的取值范圍為(-8,5].

方法二(1)同方法一.

(2)當〃=2時，J(x)=\x-2\.

設ga)=/u)+yu+5).

由仇一2|+|工+3|2|。一2)-3+3)|=5(當且僅當一3?無在2時等號成立)，得g(x)的最小值為

5.

從而，若?r)+y(x+5)2/w,即g(x)2相對一切實數x恒成立，則，〃的取值范圍為(-8,5].

例2證明由于2尤+尸金

由柯西不等式(4仍1+“2岳產<(曷+尾)(房+虎)得

71

(2x+y>W跖產+(g)21(3f+2y2)

4111

<(W+7)X6=N~X6=11,

32o

?，?|2x+y|W*\/TT,.?.2x+yW*\/71.

跟蹤訓練2解由柯西不等式(32+49(『+卡)2(3工+4y)2,①

4

得25(/+)2)24,所以/+尸2萬.

不等式①中當且僅當]時等號成立，f+丁取得最小值,

3上+4y=2,x=25y

由方程組1x_y解得

3=4，8

產西

因此當>=裊寸，r+y2取得最小值，最小值為余.

例3證明(l)Va,b,c￡(0,+<?),

a~\~b^2\[ab9b+c^2y[bc,c+a^2\[cat

(卜川-1)《-1)

(Z?+c)(〃+c)(a+b)

abc

與L,=8.

⑵???〃，b,ce(o,+8),

.\a+b^2y[ab,b+c^2y[bc9c+a22\[^i,

2(a+b+c)^2-\[ab+2y[bc+2y[ca,

兩邊同加Q+6+C得

3(a+b+c)^a+b+c+2y[ab+2y[bc+2y[ca

=(W+筋+必產

又a+h+c=1,/.(y/a+yfh+y[c)2^1：3,

.\y]a+y[h+y[c^yf3.

跟蹤訓練3證明(1)要證〃+6+c，小，

由于mb,c>0,因此只需證明(〃+b+c)223.

即證：儲+〃+廿+2(乃+機、+M)，3,

而ab+bc+ca=1,

故需證明：層+廬+/+2(ab+be+cd)23(ab+he+cd).

艮口證：cr+tr+c^^ab+bc+ca.

“2+屆廬+/d+次

而這可以由ab+bc+ca^-—+-—+—5—=a2+b2+c2(當且僅當a=b=c時等號成

立)證得.

.?.原不等式成立.

(2)出+忠+/

在(1)中已證a+b+c2本.

因此要證原不等式成立，只需證明六》歷+也+,?

即證ay[bc+by/ac+c\/ab^1,

艮口證a\[bc+b\[ac+c\[ab^ab+bc+ca.

而crjbc=ylab-ac^：^^ae,

1—ab-Vbc1—hc+ac

etc'.2，cyJabW—2—?

crjbc+by/ac+c\[ab^ab+bc+ca(a=Z?=c=號■時等號成立).

...原不等式成立.

練出高分

A組

1.解|x+3|+|x—4|W9,

當x<-3時，-x-3—(x-4)W9,

即一4Wx<—3；

當一3WxW4時，x+3-(x-4)=7W9恒成立；

當x>4時，x+3+x—4W9,

即4<xW5.

綜上所述，4={R-4WxW5}.

又?.?x=4f+；—6,ZG(O,+°°),

x>4/--—6=—2,當時取等號.

：.B={x\x^-2],

.,.An8={x|-2WxW5}.

2.證明2/-b3-(lab1-a2h)=2a(〃-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-與(a+b)(2a

+b).

因為所以a—b20,a+b>0,2a+b>0,

從而(〃一6)(a+b)(2a+b)N0,即2/—〃，2aB—crh.

3.證明假設a、b、c都不大于0,

即a這0,bWO,cWO,所以〃+b+cWO.

而a+b+c=g-2y+?+

(y2_2z+§+(z2—2x+1)

=(A2—2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+n

22

=(x-1)+(}^—l)+(z—1)2+TT—3.

所以a+Z?+c>0,這與〃+Z?+cWO矛盾，故〃、b、c中至少有一個大于0.

4.證明(1)由次+序22〃6,從+/22bc,H+cPezac得

cr-^b^-^cr^ah+hc+ca.

由題設得(a+b+c)2=1,

即a1+b1+c1+2ah+2hc+2ca=\.

所以3(R?+/?C+CQ)W1,

即ab+bc+ca^：^.

Wb2c2

(2)因為石+力22m—+c^2b,"+a，2c,

〃2於廿

故石+]+￡+(〃+〃+c)22(〃+b+c),

〃262/

即X+于小+c.

所哈生源

5.解⑴由口一1|<1得一1<2工一1<1,解得0<x<L

所以M={RO<xvl}.

(2)由(1)和〃，可知0<〃<1,0<〃<1.

所以("+1)—(〃+力=3—1)3—1)>0.

故ab~\~\>a~\-b.

6.解(1)當。=2時，

—21+6,xW2,

共用+僅一4|=，2,2<x<4,

、2x—6,x24.

當x<2時，由“x)24—|x—4|得一2x+624,解得xWl；

當2<x<4時，段)24一|%—4|無解;

當x24時，由y(x)24—|x—4|得2x—624,解得x25；

所以?r)24一僅一4|的解集為{x|xWl或x25}.

(2)記/?。)=/(〃+〃)一%)，

—2a,xWO,

貝〃(x)="4x—2m0VxVa,

2a,x^a.

.?GF。-1一一。+1

由|/z(x)|W2,解付2WxW“2.

又已知|〃(幻|<2的解集為{犬|1Wx<2},

a~\

T-=1,

,于是4=3.

a+I

{2=2,

B組

1.證明Vn(?+l)>n2,

,,,n(n+1)

Sn>1+2+…+〃=2'

r?；—n+n+l2n+1,1

又yjn(n+l)<豆=-5-=n+/,

S〃<(1+；)+(2+；)+?,,+(〃~\~2)

n(n+1)7:n2+2n(〃+

=-2-+]=2~~<""2-'

當a=~2時，不等式7U)<g(x)化為|2x—l|+|2x—2|—x—3<0.

設函數)，=由一1|+3一2|一1一3,

~5x,x<2，

則y--x-2,拄=1,

、3x—6,x>\,

其圖象如圖所示，由圖象可知，當且僅當x6(0,2)時，y<0,

所以原不等式的解集是口|04<2}.

(2)Va>—1,則一畀,

：.tf(x)=\2x-l\+\2x+a\

—4x+\~aG<-9

=<a+1(一9局

[4x+a-1

當一/g時，j(x)=a+\,

即〃+々%+3在不￡—2,，上恒成立.

a4

]+3,即

4-

-

???。的取值范圍為(3-

-

3.(1)解因為yu+2)=機一㈤，

兀x+2)20等價于國《九

由|x|Wm有解，得小20,且其解集為

｛川一.

又|尢+2)20的解集為［―1,1］,故m=1.

(2)證明由⑴知!+/+*=1，

又。，6,cGR',由柯西不等式得a+2/?+3c=(a+2b

+拜總)1.

iii3H_i~r

4.證明因為m兒c是正實數，由算術一幾何平均不等式可得本+3+323弋方令會,

即3+E+*急

1113

所以7+"+/+"歷》東+乃仁

而焉+跟》27急abc=2小,

當且僅當a=b=c且出?。=小時，取等號.

所以點+表+3+欣"小.

復習課

提綱挈領復習知識

整合?網絡構建］

，對稱性a>?>=a

傳遞性b.}K>C=C>I;

加（減）<JL>F-a-；:>h-i：.a—?￡>?>—<,

乘（除）a>b,4:>()=■ar>hr.i〃>b.iVO=〃，Vb(.

不等式的基本性質，工一.、

乘方：a?CQ”>?（〃GN,G2）

開方：">b>0=石>麻區、?，拉2）

相加：<￡>h,；>d=a-rrZ>b-rd

相乘：c>￡>0,U>06bd

不等式'定理1：J-京》2aMa./<R）（當且僅當a=b時,等號成立）

基本不等式

定理2：十］>J茄（當且僅當〃=方時,等號成立）

不

等產》加（CrER-.當且僅當"=2’時.等號成立）

式

和

絕三個正數的算術一幾何平均不等式<推廣:生

—?,、“1,“2，…，a“￡R—，當且僅當

對

值

/時?等號成立）

不

等

:定理1：a—al+：?）.（當且僅■當a■。時?等號成立）

式

絕對值三角不等式<定理2:a-r.&a-1>—1—；?（當且僅當（g—1,）QL42。時?等號成立）

推論：a—b&a-h&n—h

絕對值不等式<'>“型

.1.'<〃型

,、,,j分區間（分類）討論法

CJ.T—卜》；：型1

絕對值不等式的解法<一，解法〈數形結合法

a/r十上4；：型

、,.幾何法

knl+Lrf型?

.->—?1+I.T-bWr：型.

警示?易錯提醒］

1.不等式性質的兩個易錯點.

⑴忽略不等式乘法中“大于0”這一條件.

⑵求相關式子的取值范圍時，常常因變形不等價導致錯誤.

2.應用基本不等式求最值的三個注意點.

（1）“一正”：各項或各因數都是正數.

（2）“二定”：積（或和）為定值.

（3）“三等”：等號成立的條件.

3.絕對值不等式的兩個注意點.

（1）解絕對值不等式、關鍵是應用絕對值定義或絕對值的性質去

掉絕對值符號.

（2）在應用零點分段法分類討論時，要注意做到分類標準統一，

分類方法既不重復又不遺漏，在應用平方法時，要注意同解變形.

總結歸納專題突破

專題一基本不等式的應用

在用基本不等式求最值時，“正數”“相等”等條件往往容易從

題設中獲得或驗證，而“定值”則需要一定的技巧和方法.常用的方

法有“加一項、減一項”“配系數”“拆項法”“1的代換”等.

例1］已知求函數y=,二;的最小值.

X2-2*+2(x-1)

''2x—22(x—1)4.（*T）+占Ri,

當且僅當x-l=±j,即x=2時，等號成立,

所以當x=2時，y有最小值，最小值為1.

歸納升華

1.利用基本不等式求最值的條件是“一正、二定、三相等”，

“一正”是指各項均為正數；“二定”就是若積為定值則和有最小值,

若和為定值則積有最大值；“三相等”就是必須驗證等號成立的條件,

若等號不在給定的區間內，通常利用函數的單調性求最值.

2.基本不等式的功能在于“和”與“積”的相互轉化，使用基

本不等式求最值時，給定的形式不一定能直接適合基本不等式，往往

需要拆添項或配湊因式（一般是湊和或積為定值的形式），構造出基本

不等式的形式再進行求解.

1Q—

變式訓練］已知x>0,y>0,且;+;=1,求x+y的最小值.

Xy

19

解：法一：因為x>0,j>0,-+-=1,

“y

"學+1022

所以x+y=L(x+y)=g+孤+y)=3

4-10=6+10=16,

y9x19

當且僅當上="，且,+?=1,

xyxy，

所以當x=4,y=12時，x+y有最小值為16.

1Q

法二：因為由1+;=1得(工一1)。-9)=9(定值),

*y

且x>0,j>0,

所以x>l,y>9,

所以x+y=(x—1)4~(y—9)+1022)(x—1)(j—9)+10=16,

x-l=v-9,

當且僅當,、，、時，等號成立,

(X-1)(j—9)=9

所以x+y有最小值為16.

專題二絕對值三角不等式的應用

絕對值三角不等式指的是舊|一網區|。土"W|a|+|b|.這是一類特殊

的不等式,它反映的是實數和與差的絕對值與絕對值的和差之間的關

系，常用于解決最值問題、不等式恒成立問題及不等式的證明.

例2］求函數y=|x-2|+|x+5|的最小值.

解：j=|x—2|+|x+5|^|(x—2)—(x+5)