第三章I一元函數的導數及其應用

第一節導數的概念及運算

課程標準

1.通過實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景,

知道導數是關于瞬時變化率的數學表達.通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義.

2.能根據導數定義求函數y=c,y=x,y=x2,y=x\j=py=W的導數.

3.能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，求簡單函數的導數；能

求簡單的復合函數（限于形如式ax+b））的導數，會用導數公式表.

基礎扎牢基礎不牢?地動山搖

［由教材回扣基礎］

1.函數y=/（x）在x=xo處的導數

如果當Ax-O時，平均變化率非無限趨近于一個確定的值,即含有極限，則

定義

稱y=/U）在x=x?處可導,并把這個確定的值叫做y=/（x）在x=xo處的導數（也

稱瞬時變化率）

z,一,,口口/Av屆+Ar)-

記法記作,r(Xo)或V|10,即，(xo)l-irya篇一史lim二

函數y=/lx）在X=XO處的導數/'（xo）就是過該點切線的斜率ko,即ko=!照

幾何

意義*x"（）+AAxx）一心）o

2.基本初等函數的導數公式

基本初等函數導函數

f（x）=c（c為常數）f'(x)=0

式x)=F(aGQ*)f(x)=axi2

?r)=sinxf(x)=cos_x

fix)=cosXf'(x)="sin_x

八x)=e，ra)=e

x

f(x)=a(a>09aWl)f(x)=aHn_n

f(x)=lnxf

/lx)=log<,x(a>0,aWl)，(x)-xlnfl

3.導數的運算法則

(i)[/u)士g(x)r=f(x)±g,(X)；

(2)[Ax)-g(x)]/=f'(x)g(x)+=x)j?‘(x)；

,f'(x)g(x)—f(x)g'(x)

(R(X)WO).

lg(x,)|2

4.復合函數的導數

復合函數y=Ag(x))的導數和函數“=g(x)的導數間的關系為=y"'如'，

即y對x的導數等于v對"的導數與〃對x的導數的乘積.

澄清微點?熟記結論

(1?‘(Xo)代表函數八*)在X=Xo處的導數值；(A*o))'是函數值_/(xo)的導數，且(/Uo))'

=0.

(2)奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數.周期函數的導數還是周期函數.

闞一斕

(4)曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個

公共點.

(5)函數y=/(x)的導數/'(x)反映了函數人外的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方

向，其大小,(燈|反映了變化的快慢，/(刈越大，曲線在這點處的切線越“陡峭”.

(6)在復合函數求導中要分清每一步求導是哪個變量對哪個變量的求導，不能混淆.

［練小題鞏固基礎］

一、準確理解概念(判斷正誤)

(1/(Xo)是函數y=/a)在X=xo附近的平均變化率.()

(2y(x)=sin(—x)的導數為(x)=cosx.()

(3)求/'(xo)時，可先求HM，再求/'(xo).()

⑷曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)7

二'練牢教材小題

1.(蘇教版選擇性必修①Pl93T2改編)若函數八x)=5(e是自然對數的底數)，則其導函

數/'(x)=()

1+x1-X八.

A.——B.——C.1+xD.1—x

ex

答案：B

2.(人數A版選擇性必修②P8n3改編)已知_/(x)=13-8x+2x2,f(x0)=4,則x0=

解析：(x)=-8+4x,：.f(xo)=-84-4x0=4,解得x(>=3.

答案：3

2

3.(人教A版選擇性必修②P78T3改編)曲線y=l一一^在點(一1,一1)處的切線方程為

XI/

2

解析：=.+2)2,k-1=2.故所求切線方程為2x—j+l=0.

答案：2x—j+l=0

4.(人教B版選擇性必修③P87T2改編)已知函數4x)的導函數為/'(x),且滿足/)=

2xf(l)+lnx,則，⑴二.

答案：一1

三'練清易錯易混

1.(混淆求導公式)(多選)下列導數的運算中正確的是()

A.(3*)'=3xln3

B.(x2lnx)'=2xlnx+x

/cosx\,xsinx-cosx

cE=P

D.(sinxcosx)r=cos2x

A.一，fcosx\,—xsinx-cosx一.一4Aq、

解-析：選ABD因為(「J'=---------J---------,所以C項錯誤，其余都正確.

2.(混淆點尸處的切線和過尸點的切線)函數八*)=*2+5的圖象在點(1,41))處的切線方

程為()

A.x-j+l=0B.3x-j-l=0

C.x—y—1=0D,3x—j+l=0

解析：選A函數｛x)=*2+；的導數為，(x)=2x-5,可得圖象在點(1,AD)處的切線

斜率為4=2—1=1,切點為(1,2),可得圖象在點(1,犬1))處的切線方程為》—2=*—1,即x

—y+l=0.故選A.

考法研透——方向不對?努力白費

命題視角一導數的運算(自主練通)

1.(多選)下列結論中正確的是()

A.若了=85p則<=±sin1

B.若〉=$加^2,則y'=2xcosx2

C.若y=ln5x,則/=.

D.若》=63貝!|y'=e2r

解析：選AB對于A,y'=—sin/O'=&inA正確；對于B,y'=cosx2-(x2)'

=2xcosx2,B正確；對于C,y'=^(5x)'=；,C錯誤；對于D,y'=6兒(2X)'=2e2x,

D錯誤.

2.(2022?長■沙一桃)等比數列｛斯｝中，訪=2,a?—4,函數/(x)=x(x—ai)(x—⑸…(工―。8),

則/'(0)=()

A.26B.29

C.212D.215

解析：選C/'(x)=(x—?h)(x—。2)…(x—a8)+x[(x—ai)(x—。2)。8)]',所以/'(0)

=41。2a3…48=(41a8/=(2><4)4=212.故選C.

3.已知函數式x)=In(2x-3)+axer,若/'(2)=1,則。=.

1__2

解析：f(x)=r__-；'(2x—3)'+ae*+ax?(ex)'=z~_~^+aeX-axex,故f(2)=2

ZtXJZ/X<5

2

+加一2—2優一2=2—ae-2=1,則^=e.

答案：e?

x2lnx-1

4.若fw=-----------□-，---則---.--r--(x)=

21122

解析：由已知人x)=x-lnx+(—??故，(x)=l-p+^5.

答案:T-V+V

L"點”就過］

(1)求導之前，應利用代數運算、三角恒等式等對函數進行化簡，然后求導，盡量避免不

必要的商的求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯.

(2)①若函數為根式形式，可先化為分數指數霹，再求導.②復合函數求導，應由外到內

逐層求導，必要時可進行換元.

命題視角二導數的幾何意義及應用

考法(一)求切線方程

［例1］(1)若經過點P(2,8)作曲線y=7的切線，則切線方程為()

A.12x-j-16=0

B.3x-j+2=0

C.12x-y+16=0或3*—7一2=0

D.12x-y-16=0或3x-y+2=0

2x—1

⑵(2021?全國甲卷)曲線產My在點(一1,一3)處的切線方程為.

(3)若直線j=x+l與曲線相切于點Af(l,2),則b+2c—;該曲

線上斜率最小的切線方程為.

I解析］(1)設切點為A(xo,則)，由定義可求得切線的斜率為4=3而在曲線上，.?.則

=x8,故切線方程為y—就=3xd(x-xo).又點P(2,8)在切線上，；.8—疝=3xd(2—xo),即就一

3蝴+4=0,；.(xo+l)(xo—2)2=(),解得x()=—1或孫=2.當xo=2時，所求切線的方程為y

-8=12(x-2),即12x-j-16=0;當x0=-l時，所求切線方程為j+l=3(x+l),即3x

一y+2=0.故選D.

...2x—12(x+2)—(2x—1)5.,,

(2)因為y=不懣?，所以y=-A~~(x+；)2=講方?當*=-1時，>=-3,y=5,

所以切線方程為y+3=5(x+l),即5x-y+2=0.

(3)由題可得，y'=3X2+25X.因為直線y=x+l與曲線y=x3+b/+c相切于點M(l,2),

所以4=1=3+23,解得占=一1.因為點M(l,2)在曲線上，所以2=1—1+c,解得c=2.所以

Z>+2c=3.因為y'=3*2—2x=3(x—余一；》一；，所以當x=；時，導數取到最小值一；，此

時切點為Q,引，所以斜率最小的切線方程為y—■=一〈(X—即為9x+27y—55=0.

［答案］(1)D(2)5x-j+2=0(3)39x+27j-55=0

［方法技巧］

(1)求曲線在點P(xo,%)處的切線，則表明尸點是切點，只需求出函數在尸處的導數，

然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導數不存在，則切線垂直于X軸，切線方程

為X=Xo?

(2)求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.切點不知道，要設

出切點，根據斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關鍵.

考法(二)求參數值或范圍

［例2］(1)已知曲線^=優*+*111丫在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,貝U()

A.a=e,b——1B.a=e,b=l

li

C.a=e~,b=lD.a=e~9b=-l

(2)(2022?淄博聯考諾函數於)=加x+2x2^ax的圖象上存在與直線2x—j=0平行的切

線，則實數〃的取值范圍是.

［解析］=碇"+加x+1,；?切線的斜率土=y'|x=i=ae+l,???切線方程為y—ae

ae+l=2,

=(〃e+l)(x—1),即y=(ae+l)x—L又,?,切線方程為y=2x+A,/?］即a=e-1,

S=T,

⑵直線2x-y=0的斜率A=2,又曲線/U)上存在與直線2x-y=0平行的切線，(x)

=：+4x—〃=2在(0+8)內有解，則a=4x+；—2,x>0.又4x+；2244M=4,當且僅當

時取“=”.2=2.，Q的取值范圍是［2,+°°).

［答案］(1)D(2)［2,+~)

［方法技巧］

利用導數的幾何意義求參數的基本方法

利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的

不等式(組)，進而求出參數的值或取值范圍.

提醒：(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；

(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.

［針對訓練］

1.若曲線y=e，在x=0處的切線也是曲線y=Inx+Z)的切線，則》=()

A.-1B.1C.2D.e

解析：選C令y=_A*)=eS：.f(x)=e,：.f(0)=1,；A0)=1,.?.曲線曠=^在x

=0處的切線方程為y=x+l.設切線y=x+l與曲線y=lnx+Z＞的切點坐標為(》i,,〃+1),

:

*'y'=~,.".y'\x=m=~=l,.,.機=1,；.切點坐標為(1,2),：.2=lnl+瓦:.b=2.

2.(2022?★島楔擬)(多選)若直線尸&+b是函數八x)圖象的一條切線，則函數段)可以

是()

A.yu)=:B._/u)=*4

C./(x)=sinxD.f[x)=ex

解析：選BCD直線的斜率為4=g,由/(x)=1的導數為/'(x)=一占即切

線的斜率小于o,故A不正確；由於)=爐的導數為尸(幻=4號而叱招，解得工=3，故

B正確；由/(x)=siiix的導數為/'(x)=cosx,而cosx=；有解，故C正確；由,人工)=0”的

導數為/'(x)=e，，而e*=；,解得了=一加2,故D正確，故選B、C、D.

3.已知直線＞=履+1與曲線3=必+°工+)相切于點4(1,3),貝!|2。+)=.

解析：由題意知，y=x3+or+力的導數y'=3x2+a,

li+a+b=3,k=2,

則，3Xl2+a=k,解得，a=—l,：.2a+b=l.

、A+1=3,力=3.

答案：1

4.已知r(x),g'(x)分別是二次函數八幻和三次函數g(x)的導函數，ytgXx)

且它們在同一直角坐標系內的圖象如圖所示.

(1)若#1)=1,則八-1)=.-JkTi

(2)設函數Mx)=,/U)—g(x),則ft(-l),M0),〃(1)的大小關系為

(用“V”連接).

解析：(1)由題圖可得(x)=x,(x)=x2,設大幻=0工2+力x+c(a#o),g(x)=dx3+ex2

22

+s+〃(d#0),則(x)=2ax+b=x9g'(x)=3dx+2ex+m=x,故〃=；,8=0,

e=，〃=0,.\")=%+<：3)=率3+”.由犬1)=1,得0=3.則兀0=$2+3,：.f(-l)=l.(2)h(x)

23

=f(x)—g(x)=^x-^x+c-n9則有/i(—l)=7+c-zi,h(0)=c—n,A(l)=；+c—〃?故/z(0)

/DOO

</l(l)</l(-l).

答案：(1)1(2)6(0)VEl)VA(T)

思維激活——靈活不足?難得高分

一題多變?練發散思維——兩曲線的公切線問題

［典型母題］

若直線y=kx+b是曲線y=\nx+2的切線，也是曲線y=ln(x+l)的切線，則b=

［解題觀摩］y=lnx+2的切線方程為y=；x+lnxi+1(設切點橫坐標為xi),j=ln(x+

1）的切線方程為y=-x+ln（X2+1）—_（設切點的橫坐標為X2）,...

X2I1X2I1

Xz+l*

解得xi=5,必=-5,/.6=lnxi+l=l-In2.

In尤1+1=加（必+1）—士立,

［發掘訓練］

1.(變條件、變結論)已知直線是曲線y=e”的切線，也是曲線y=lnx+/n的切線，

則實數m=.

解析：對于y=e)設切點為(麓，ert),因為=ex,所以切線斜率A=e〃，故切線方程

為y—e〃=e"(x—〃)，由已知得切線過點(0,0),所以一e〃=e〃(一〃)，故〃=1,所以左=e.對于y

=lnx+m9y'=1,設切點為(c,Inc+/〃)，由切線為產ex,得V+=c=：=e,所以c=；,

所以切點為Q,1),代入y=lnx+"z,得1=加1+機，所以m=2.

答案：2

2.(變條件)若本例條件“曲線y=lnx+2與曲線y=ln(x+l)”分別變為“曲線y=lnx

+3和y=ln(x+2)”，其他條件不變，則實數〃=.

解析：設切點坐標分別為(xi,Inxi+3),(X2,111(x2+2)),令.x)=lnx+3,g(x)=ln(x

+2),則/'(x)=［,/(x)=*I，可知：=孫；2'即力=必+2.過切點(xi,Inxi+3)表示

的切線方程為j—InXi-3=~(x—Xi),即j=~x+lnxi+2;過切點(必，ln(“2+2))表示的切

人■1?*,1

線方程為y—加(必+2)=工^工(X—必)，即乃；2“一X；2++刀2+2)=3-^：2+mX|,故

X,42

-T^=-2,解得M=-Q,故6=2+加(必+2)=2+111T.

X2I/QJ

答案：2+ln1

[升維訓練]

3.曲線了=-5*<0)與曲線y=lnx的公切線的條數為()

A.1B.2C.3D.0

解析：選A設(xi,yi)是公切線和曲線y=一1的切點，則切線斜率Ai=(一3,Ixr[=

點切線方程為y+]=%x—xi),整理得產治一嘉設(如,2)是公切線和曲線產加x的切

點，則切線斜率A2=(lnx)'\X=X2=~^~~9切線方程為y—lnx2='(x—M),整理得y=—?x+ln

**2*2*2

11222

*2-1.令；^=；7,——=lnx—1,消去X2得一；7=lnR-L設t=-xi>0,即Zlnf-]—1=0,

X]X2Xl2X\I

2

只需探究此方程解的個數.易知函數/U)=2】nx-嚏一1在(0,+8)上單調遞增，大1)=一3<0,

2

/(e)=l—：>0,于是/(x)=0有唯一解，于是兩曲線的公切線的條數為1.

4.已知/(x)=ex(e為自然對數的底數)，g(x)=lnx+2,直線，是/U)與g(x)的公切線，

則直線I的方程為.

解析：設/與/(x)=ex的切點為(xi,exi),與g(x)=lnx+2的切點為(》2,In刈+2),因

,..1..1lnxz+2—exi1加處+2也

為/(幻=*g'(x)=",所以叱1=二=——---,即工=,整理得(工2-1)(加

XX2X2X\X2X24十dInX2

M+1)=(),所以*2=1或X2=E?當X2=l時，切線方程為y—2=X—1,即y=x+l;當X2=：

時，切線方程為y—l=e(x—普，即7=6丫.綜上，直線/的方程為y=ex或y=x+l.

答案：y=ex或y=x+l

[融會貫通]

解決單一曲線的切線問題相對比較簡單，但對于兩條曲線的公切線問題的求解，顯然就

比單一曲線的切線問題要復雜得多，靈活得多，難度也大得多，具體的求解方法如下：

一是利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關系式求解；二是設公切線

/在曲線y=/U)上的切點為Pi(xi,人修))，在曲線y=g(x)上的切點為尸2(M，g(M)),則/'(處)

.、f(.Xl)—g(X2)

=g'(X2)=—~—,再解決相關問題.

X1—X2

［課時跟蹤檢測］

一、綜合練——練思維敏銳度

1.(2022?長沙長郡中學期中)若函數_/U),g(x)滿足犬x)+xg(x)=*2—1,且川)=1,則/'⑴

+g'(1)=()

A.1B.2C.3D.4

解析：選c因為函數1Ax),g(x)滿足Ax)+xg(x)=*2-i,且｛1)=1,所以yu)+g(i)

=#—1=0,則g(l)=—1.對/(x)+xg(x)=x2—1兩邊求導，得/'(x)+g(x)+xg'(x)=2x,

所以/'(l)+g(l)+g'(1)=2,所以，(l)+g‘(1)=3.故選C.

2.已知函數/U)的導函數為/'(x),且滿足關系式H工)=/+30(2)+lnx,則/'(2)

=()

99

A.-2B.2C.一彳D，

解析：選C因為於)=必+3城(2)+lnx,所以，(x)=2x+"⑵+匕所以/'⑵

19

=2X2+3f(2)+2,解得7?'(2)=一亍

3.(2022?郴州質量檢測)隨著科學技術的發展，放射性同位素技術已經廣泛應用于醫學、

航天等眾多領域，并取得了顯著的經濟效益.假設在放射性同位素社234的衰變過程中，其

含量M單位：貝克)與時間f(單位：天)滿足函數關系N(f)=No2S,其中No為1=0時銃234

的含量.已知，=24時，牡234含量的瞬時變化率為-81n2,則N(96)=()

A.12貝克B.24貝克

C.121n2貝克D.241n2貝克

解析：選B由N(t)=N02《可得N'(t)=N02sXln2X(-g,當t=24時，N'(24)

=M2頭Xln2X(-g=-81n2,解得No=2X8X24=384.所以N(f)=384X2會，當f=96

時，N(96)=384X2一二=384X2-4=24.故選B.

4.已知函數./U)=$2+cosx,則其導函數，(X)的圖象大致是()

=77—1<0,排除C,故選A.

5.已知,/i(x)=sinx+cosx，4+i(x)是人(x)的導函數，即方(用=力'(x),力(x)=//(x),…,

r

Mx)=fn(x),neN*,則6021口)=()

A.—sinx—cosxB.sinx-cosx

C.-sinx+cosxD.sinx+cosx

/

解析：選DV/i(x)=sinx+cosx9."./2(x)=/i(x)=cosx—sinx,f^x)=f2(x)=-sin

，

x-cosx9/4(x)=/3(x)=-cosx+sinx,fs(x)=f^(x)=sinx+cosx,???,工工白)的解析式

以4為周期重復出現，V2021=4X505+1,J.fio2i(x)=/i(x)=sinx+cosx,故選D.

6.(2020?全國I卷)函數大幻=/一2x3的圖象在點(1,大1))處的切線方程為()

A.y=—2x—lB.y=-2x+l

C.j=2x-3D.y=2x+l

解析：選BV/(x)=x4-2x3,：.f(^)=4^-6^2,：.f(1)=一2.又八1)=1一2=—1,

?,.所求的切線方程為j+l=-2(x—1),即y=—2x+l.故選B.

7.已知直線y=or是曲線y=lnx的切線，則實數。=()

解析：選C設切點坐標為(xo,Inxo),由y=lnx的導函數為=；知切線方程為y—

，nL*r。)，即T+mXLI.由題意可知、。’解得T.故選C.

Jn1=0,

8.已知曲線y=含在點尸(2,4)處的切線與直線I平行且距離為2下,則直線/的方程

為()

A.2x+j+2=0

B.2x+y+2=0或2x+y-18=0

C.2x-j-18=0

D.2x-y+2=0或2x-y-18=0

2(x^-2x22

解析：選Byr=-(X—])2_y'k=2=-(2—1)2=-2,因此A/=_2,設

12X2+4—l

直線/方程為了=-21+兒即2x+j-5=0,由題意得^——詆——[=2下,解得力=18或8

=-2,所以直線/的方程為2x+y-18=()或2x+y+2=0.故選B.

9.過曲線y=*2-2x+3上一點P作曲線的切線，若切點尸的橫坐標的取值范圍是[1,I],

則切線的傾斜角的取值范圍是()

A.[o,B.0,JC.[0,it)D胃，K)

3

解析:選B因為y'=2x—所以0W2x—2W1.設切線的傾斜角為“，則OWtan

jr

aWl.因為OWaWn,所以04(24不故選B.

10.若曲線y=Ax)=ln*+"始("為常數)不存在斜率為負數的切線，則實數a的取值范

圍是()

A.(一/+°°)B[—/+~)

C.(0,+8)D.[0,+°=>)

12ux^4~1

解析：選D，(")=1+2仆=---(x>0),根據題意有，(x)20(x>0)恒成立，所以

2好2+120(》>0)恒成立，即2〃2一恒成立，所以。20,故實數a的取值范圍為[0,

+°°).故選D.

11.我國魏晉時期的科學家劉徽創立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用

正〃邊形進行“內外夾逼”的辦法求出了圓周率元的精度較高的近似值，這是我國最優秀的

傳統科學文化之一.借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數圖象的切

線近似代替在切點附近的曲線來近似計算.設./(x)=ln(l+x),則曲線y=/(x)在點(0,0)處的切

線方程為,用此結論計算In2022-ln2021七.

解析：函數八x)=ln(l+x),則/'(x)=*pf(0)=1,1Ao)=0,.,.切線方程為y=x.

.?.ln2022—ln2O21=ln(l+J^0=/(tt[),根據“以直代曲"，x=J亓也非常接近切點

x=0..\可以將x=矗代入切線近似代替J(患)，即

答案：y=x2021

12.請寫出與曲線/(工)=/+1在點(0,1)處具有相同切線的一個函數(非常數函數)的解析

式為g(x)=.

解析(幻=3X2/(0)=0,曲線式丫)=/+1在點(0,1)處的切線方程為y=l.故在點(0,1)

處的切線方程為y=l的函數都是正確答案，如g(x)=*2+L

答案：/+1(答案不唯一)

13.曲線尸加(2*—1)上的點到直線2x-j+3=0的最短距離為.

解析：設曲線上過點P(xo,/)的切線平行于直線2x—y+3=0,即斜率是2,則y'|x=

2

x0=._,=2,解得xo=l,所以#=0,即點P(l,0).又點尸到直線2x-y+3=0的距離為

所以曲線y=ln(2x-l)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是港.

答案：V5

14.（2022?長沙期末）已知a,b為正實數，直線y=x-a+2與曲線_y=e”，-1相切，則

:+卷的最小值為.

解析：由y=x—。+2,得直線的斜率為1,由y=ex+"-1,得y'=e”乙因為直線y=x

—a+2與曲線y=e”，-1相切，令e-'=l,則x=一方，代入1,得y=0,所以切

點為（一仇0）,則一力一a+2=0,所以a+b=2.故，+）=；（4+。）?（：+哲=1+?+裊21+

2、醫嘉=2,當且僅當。=5=1時等號成立，此時取得最小值2?

\lJLU乙。UD

答案：2

15.設函數八工）=蹂一%曲線＞=＞/□）在點（2,彤））處的切線方程為7x-4y—12=0.

（1）求人x）的解析式；

（2）證明曲線式幻上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，

并求此定值.

*71h

解：（1）方程7x—4y—12=0可化為）=產-3,當x=2時，y=,?又因為，（%）=a+p,

a=1,3

解得所以大幻=工一,

2=3,

⑵證明：設尸（xo,yo）為曲線y=/U）上任一點，由＜=1+得知曲線在點P（xo,#）處的

切線方程為y-yo=（l+§（x—xo）,即y一^。一言）=（1+看）（工一"0）?令x=0,得丁=一￡，

所以切線與直線x=0的交點坐標為（o,—0,令y="，得y=x=2xo,所以切線與直線＞=^

的交點坐標為（2x（）,2xo）.所以曲線y=，/（x）在點P（xo,加）處的切線與直線x=0和y=x所圍成

的三角形的面積S=；|2xo|=6.故曲線y=/U）上任一點處的切線與直線x=0和y=x所

圍成的三角形面積為定值，且此定值為6.

16.已知函數,小0=?3+加；2+"在x=±l處取得極值，且在工=0處的切線的斜率為一

3.

（1）求Ax）的解析式；

（2）若過點4（2,"?）可作曲線y=/U）的三條切線，求實數機的取值范圍.

解：（1/（x）=3ax2+2〃x+c,

依題意F⑴=3a+23+c=。，f^O,

'lr（―l）=3a—2b+c=0[3a+c=0.

又/'(0)=-3,所以c=-3,所以a=l,所以,八⑹二必一？*.

(2)設切點為(xo,就一3xo),因為/'(x)=3*2—3,所以/'(xo)=3xd—3,所以切線方程為

y一(端一3xo)=(3蟠-3)(x—xo),又切線過點A(2,m),所以”?一(蛭-3xo)=(3x?-3)(2—xo),

所以,〃=—2H+6x9一6.令g(x)=-2/+63一6,則g'(x)=—6x2+12x=—[

6x(x—2),由g'(x)=0得x=()或x=2,g(x)“，M?=g(O)=-6,g(x)機大＜t=g(2)―甘襦--5

=2,畫出g(x)的草圖知，當一6＜機＜2時，g(x)=-2V+6x2—6有三個解，所W\

以m的取值范圍是(一6,2).

二、自選練——練高考區分度

1.(2022?廣州模擬)已知函數人x)在R上連續可導，/'(x)為其導函數，且yU)=ex+e-*

一/(1方(—),則/'(2)+/'(—2)一/‘(0)/'(1)=()

A.4e2+4e-2B.4e2—4e-2

C.0D.4e2

解析：選C由題知f(—x)=e~x+ex—f(iy(—x)"(e-x—ex)=f(x),即函數,/(x)是偶函

數.等式八一x)=Ax)兩邊同時對x求導得一/'(一x)=/'(x),即/'(一x)=-f(x),則/'(x)

是R上的奇函數，則/'(0)=0,f(-2)=-/(2),即/'(2)+/'(—2)=0,所以/'(2)+

，(-2)—『(0?'(1)=().故選C.

2.(2022?石家莊質檢)已知函數八*)=4焉，曲線y=/(x)上存在兩個不同點，使得曲

線在這兩點處的切線都與y軸垂直，則實數”的取值范圍是()

A.(―e2,+°°)B.(―e2,0)

C(-￡+°°)D.(T，())

解析：選D:曲線y=Ax)上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂

直，:(x)=a+(x—1)￡一*=0有兩個不同的解，即a=(l—X圮-”有兩個不同的解.設y=(l

—x)ex,貝4=(x—2)ex,???當x<2時，y'<0,當x>2時，yr>0,貝1y=(l—%足一，在(一

8,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，.??x=2時，函數y取得極小值一e-2.又???當%>2

時總有y=(l-x)er<0且八0)=1>0,...可得實數a的取值范圍是(一土，0).故選D.

3.已知曲線與_y=*2恰好存在兩條公切線，則實數a的取值范圍是()

A.[21n2-2,+~)B.(21n2,+~)

C.(-8,21n2-2]D.(-°0,21n2-2)

y=kx+b9

解析：選D由題意可設直線y=h+b(A>0)為它們的公切線，聯立，可得

y=x2

2+

x-kx—b=()9由4=0,得42+4)=0①.對y=ex+"求導可得y'=^°,令e”"=A,可得

x=lnk—a9?工切點坐標為(InA—〃，kink—ak+b),代入y=e*+。可得A=AIn%—②.

2

聯立①②可得k-{-4k+4ak-4k\n4=0,化簡得4+4a=41n土一4.令g(A)=41nk—k9則g'(A)

4

=工一1,令g’(的=0,得4=4,令/(6>0,得0vk4,令g‘(A)v0,得*>4?，g(的在(0,4)

內單調遞增，在(4,+8)內單調遞減，???g(A)max=g(4)=41n4—4,且無時,g(A)-8,

A—+8時，g(A)f—8.二?有兩條公切線，工方程4+4a=41nA—k有兩解,.\4+4a<41n4

-4,/.a<21n2—2.故選D.

4.(多選)已知Inxi一由一yi+2=0,處+272—4—21n2=0,記M=(X]—X2)2+(yi—以>，

則()

A.M的最小值為|B.當M最小時，必=學

C.M的最小值為玄

D.當M最小時，X2=

解析：選BC由加xi一1一yi+2=0,得yi=lnxi-xi+2,M=(xi—X2)2+(yi—ya)2的

最小值可轉化為函數j=lnx—x+2圖象上的點到直線x+2j—4—21n2=0上的點的距離的

最小值的平方.由y=lnX—x+2得y'=1—1,與直線x+2y—4—2加2=0平行的直線的斜

率為一；，則令:-1=一;，解得x=2,切點坐標為(2,In2),...點(2,1112)到直線工+2/

/X/

|2+21n2-4-21n2|2^5

-4-21n2=0的距離d=,,即函數y=lnx—x+2圖象上的點到直

，1+4―5

線x+2y—4—21n2=0上的點的距離的最小值為邛^,.?.M的最小值為/=點過點(2,In2)

與直線x+2j-4-21n2=0垂直的直線為j-ln2=2(x-2),即2x-j-4+ln2=0.由

x+2j—4-21n2=0,1212

解得工=M，即當M最小時，X2=M?故選B、C.

2x—y—4+ln2=0,

第二節導數在研究函數中的應用

課程標準

1.了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性；對于多項式函數，

能求不超過三次的多項式函數的單調區間.

2.了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；能利用導數求某些函數的極大值、

極小值以及給定區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值；體會導數與單調性、極

值、最大(小)值的關系.

第1課時系統知識牢基礎——導數與函數的單調性、極值與最值

知識點一利用導數研究函數的單調性

［由教材回扣基礎］

1.函數/(X)在某個區間m,內的單調性與/'(X)的關系

(1)如果如(x)>0,那么函數3>=1Ax)在區間上單調遞增.

(2)如果如那么函數〉=人幻在區間上單調遞減.

(3)如果/?'(x)=0,那么函數y=_Ax)在區間內是常數.

2.利用導數判斷函數單調性的一般步驟

⑴確定函數的定義域;

(2)求出導數/'(x)的零點;

(3)用，(x)的零點將八*)的定義域劃分為若干個區間，列表給出/'(x)在各區間上的正

負，由此得出函數)，=/(》)在定義域內的單調性.

3.用充分必要條件詮釋導數與函數單調性的關系

(1)/'(幻>0(<0)是在區間(a,b)內單調遞增(減)的充分不必