愛德思數學pure2試卷及答案一、選擇題（每題4分，共40分）1.計算下列極限：\[\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\]A.0B.1C.-1D.2答案：B2.確定下列函數的連續性：\[f(x)=\begin{cases}x^2&\text{if}x\leq1\\2x&\text{if}x>1\end{cases}\]A.在\(x=1\)處連續B.在\(x=1\)處不連續C.在所有實數上連續D.在所有實數上不連續答案：B3.計算下列積分：\[\int_{0}^{1}x^2\,dx\]A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.2答案：A4.確定下列級數的收斂性：\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\]A.收斂B.發散C.條件收斂D.絕對收斂答案：A5.計算下列微分方程的通解：\[y''+4y'+4y=0\]A.\(y=e^{-2x}\)B.\(y=e^{2x}\)C.\(y=e^{-2x}\)和\(y=e^{2x}\)D.\(y=\cos(2x)\)和\(y=\sin(2x)\)答案：D6.確定下列函數的單調性：\[f(x)=x^3-3x\]A.在\((-\infty,+\infty)\)上單調遞增B.在\((-\infty,+\infty)\)上單調遞減C.在\((-\infty,1)\)上單調遞增，在\((1,+\infty)\)上單調遞減D.在\((-\infty,1)\)上單調遞減，在\((1,+\infty)\)上單調遞增答案：D7.計算下列函數的極值：\[f(x)=x^4-4x^2+4\]A.最小值0，無最大值B.最大值0，無最小值C.最小值0，最大值4D.最大值4，最小值0答案：A8.確定下列函數的奇偶性：\[f(x)=x^5-x^3\]A.奇函數B.偶函數C.非奇非偶函數D.既是奇函數又是偶函數答案：A9.計算下列函數的不定積分：\[\int\frac{1}{1+x^2}\,dx\]A.\(\ln(1+x^2)\)B.\(\arctan(x)\)C.\(\ln(x)\)D.\(\arctan(1/x)\)答案：B10.確定下列函數的周期性：\[f(x)=\sin(x)+\cos(x)\]A.周期為\(2\pi\)B.周期為\(\pi\)C.非周期函數D.周期為\(\pi/2\)答案：A二、填空題（每題4分，共40分）11.計算下列極限：\[\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\]答案：\(e\)12.確定下列函數的零點：\[f(x)=x^3-3x^2+2\]答案：\(x=1\)和\(x=2\)13.計算下列函數的導數：\[f(x)=\ln(x)\]答案：\(\frac{1}{x}\)14.計算下列函數的二階導數：\[f(x)=e^x\]答案：\(e^x\)15.確定下列函數的增減區間：\[f(x)=x^3-6x^2+9x\]答案：在\((0,3)\)上遞增，在\((3,+\infty)\)上遞減16.計算下列函數的不定積分：\[\intx\cos(x)\,dx\]答案：\(x\sin(x)+\cos(x)+C\)17.確定下列函數的凹凸性：\[f(x)=x^4-4x^2\]答案：在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上凹，在\(x=0\)處凸18.計算下列函數的極值：\[f(x)=x^3-3x\]答案：最大值\(\frac{2\sqrt{3}}{9}\)在\(x=\sqrt{3}\)處，最小值\(-\frac{2\sqrt{3}}{9}\)在\(x=-\sqrt{3}\)處19.確定下列函數的奇偶性：\[f(x)=x^4+2x^2+1\]答案：偶函數20.計算下列函數的不定積分：\[\int\frac{1}{x^2}\,dx\]答案：\(-\frac{1}{x}+C\)三、解答題（每題10分，共20分）21.證明函數\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處連續，并求出其在\(x=0\)處的導數。證明：\[\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x^2=0=f(0)\]因此，\(f(x)\)在\(x=0\)處連續。求導：\[f'(x)=2x\]\[f'(0)=2\cdot0=0\]答案：函數\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處連續，其導數為0。22.解下列微分方程：\[y'+2y=e^{-2x}\]解：這是一個一階線性微分方程，我們可以使用積分因子法來解它。積分因子為\(e^{\int2\,dx}=e^{2x}\)。將方程兩邊乘以積分因子，得到：\[e^{2x}y'+2e^{2