高三數學第一輪復習基礎練習ABC

第一章集合

第一節集合的含義、表示及基本關系

A組

1.已知/={1,2},8={x|xCN},則集合N與8的關系為.

解析：由集合B={MxG/}知，5={1,2}.答案：A=B

2.若a6R},則實數。的取值范圍是.

解析：由題意知，有解，故q》0.答案：420

3.已知集合”=04y=x2-2x-l,xGR},集合8={x|-2Wx<8},則集合4與

B的關系是.

解析：y=x2-2x-1=(x-I)2-2^-2,.".A={y[y^-2],:.B壇A.

答案：B壇A

4.(2009年高考廣東卷改編)已知全集。=R,則正確表示集合”={-1,0,1}和N

={xF+x=O}關系的韋恩(Venn)圖是.

①②③④

解析：由N={x|f+x=0},得N={-l,0},則“EM答案：②

5.(2010年蘇、錫、常、鎮四市調查)已知集合4={小>5},集合8={小>“},

若命題“xG/”是命題"xGB”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是

解析：命題“xd/”是命題“xCB”的充分不必要條件，.../B,：.a<5.

答案：a<5

6.(原創題)已知加￡4〃￡5,且集合4={沖尸=2。,。￡2},3={沖:=20+1,4￡2},

又C={x|x=4a+1,aS],判斷加+〃屬于哪一個集合？

解：?,?設加=2。],a\GZ,又,：nGB,工，殳〃=2內+1，a2GZ,

?\m+n=2ml+。2)+1，而mJ.m+nGB.

B組

1.設a,人都是非零實數，y=裾+1+系可能取的值組成的集合是.

解析：分四種情況：(l)a>0且b>0;(2)a>0且b<0;(3)a<0且b>0;(4)a<0

且b<0,討論得y=3或y=-1.答案：{3,—1}

2.已知集合4={-1,3,2加-1},集合B={3,m2}.若BQA,則實數m=______.

解析：?.?BGZ,顯然病w-i且/W3,故毋=25-1,即(機-1)2=0,.?.機

=1.答案：1

3.設P,。為兩個非空實數集合，定義集合尸+Q={a+6|aGP,b^Q},若產

={0,2,5},0={1,2,6},則尸+0中元素的個數是個.

解析：依次分別取。=0,2,5;6=1,2,6,并分別求和，注意到集合元素的互

異性，：.P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案：8

4.已知集合{x*=1},集合N={x|ox=1},若NA/,那么。的值是.

解析：M={x|x=1或x=-1},NM,所以N=。時，4/=0；當時，x

=：=1或T,；.a=1或-1.答案:0,1,—1

5.滿足{1}呈/={1,2,3}的集合4的個數是個.

解析：/中一定有元素1,所以力有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案：3

6.已知集合4={x[x=a+]q￡Z},B={x\x=^—^bGZ),C={x|x=1+|,

c￡Z},貝IJ4、B、C之間的關系是.

解析：用列舉法尋找規律.答案:用B=C

7.集合/={x||x|W4,x€R},B^[x\x<a},則“集是"a>5”的.

解析：結合數軸若4=8㈡心4,故“4CB”是“a>5”的必要但不充分條

件.答案：必要不充分條件

8.(2010年江蘇啟東模擬)設集合〃={刑加=2",“6N,且膽<500},則〃中所

有元素的和為.

解析：V2"<500,."=0,1,2,3,4,5,6,7,8.中所有元素的和S=1+2+2?

+…+2s=511.答案：511

9.(2009年高考北京卷)設/是整數集的一個非空子集，對于左右4如果％—

A,且％+1陣4那么稱卜是Z的一個“孤立元”.給定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由

S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個.

解析：依題可知，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”，這

三個元素一定是相連的三個數.故這樣的集合共有6個.答案：6

10.已知/={x,xy,lg(xy)},8={0,|x|,y],且4=8,試求x,y的值.

解：由IgQy)知，xy>0,故xKO,xy^O,于是由4=8得1g(孫)=0,xy=\.

：.A={x,l,0},B={0,|x|,

于是必有|x|=1,fnxNU,故x=-1,從而y=-1.

11.已知集合4={X|X2-3X-10W0},

(1)若8={X|/M+1WXW2M-1},求實數機的取值范圍；

(2)若4=8,B={x\m-6^x^2m-l},求實數機的取值范圍；

(3)若4=8,3={x|〃?-6WxW2〃?一l},求實數切的取值范圍.

解：由力={x|?-3x-10W0},得/={x|-2WxW5},

二①若8=0,則機+1>2加-1,即機<2,此時滿足8U4

m+1W2m-1)

②若5W。，貝4-2〈根+1,解得2〈加W3.

2tn-1W5.

由①②得，加的取值范圍是(-8,3].

21n-1>m-6,m>-5,

(2)若4GB,則依題意應有,加-6W-2,解得<加W4,故3WmW4,

2m-125.、加23.

??m的取值范圍是[3,4].

Iw_6=_2>

(3)若4=8,則必有彳解得“￡。.，即不存在〃?值使得/=8.

2m-1=5,

12.已知集合力={x|f—3x+2W0},B={X|X2-(6/+l)x+a<0}.

(1)若/是8的真子集，求a的取值范圍；

(2)若8是4的子集，求。的取值范圍；

(3)若4=8,求“的取值范圍.

解：由f-3x+2W0,即a-l)(x-2)W0,得1WXW2,故/={x|lWxW2},

而集合B={x|(x-l)(x-a)WO},

(1)若/是8的真子集,即4B,則此時8={RlWx<a},故a>2.

(2)若8是N的子集，即8=4,由數軸可知lWaW2.

1G2

(3)若A=B,則必有a=2

第二節集合的基本運算

A組

1.(2009年高考浙江卷改編)設U=R,/={x|x>0},8={x|x>l},則/。[述=.

解析：luB={x|x<l},A(述={x[0<xWl}.答案：{x|0<rWl}

2.(2009年高考全國卷I改編)設集合Z={4,5,7,9},8={3,4,7,8,9},全集U=

AUB,則集合CM/n8)中的元素共有個.

解析：J05={4,7,9},ZU8={3,4,5,7,8,9},[江/08)={3,5,8}.答案:3

3.已知集合/={0,1,2},N={x|x=2a,a^M},則集合MCN=.

解析：由題意知，N={0,2,4},故MCN={0,2}.答案:{0,2}

4.(原創題)設“，8是非空集合，定義/⑧5={x|xCZU8且已知4

={x|0WxW2},8={Xy》0}，則/⑧8=.

解析：AUB=[0,+8),/AB=[0,2],所以/⑧8=(2,+°°).

答案：(2,+°°)

5.(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓

球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人

數為.

解析：設兩項運動都喜歡的人數為x,畫出韋恩圖

得到方程15-x+x+10-x+8=30=>x=3,...喜愛籃球運動但

不喜愛乒乓球運動的人數為15-3=12(人).答案：12

6.(2010年浙江嘉興質檢)已知集合4=任卜>1},集

合B={X]??WX<M+3}.

(1)當加=一1時，求ZC8,AUB；

(2)若8=",求用的取值范圍.

解：(1)當m=—\時，8={x|—1,.'.4。8={x|1〈啟2},AUB=

(2)若任/,則於1,即R的取值范圍為(1,+8)

B組

I.若集合加={xGR|-3Vx<1},N={xCZ|-lWxW2},貝I」A/CIN=.

解析：因為集合汽={-1,0,1,2},所以〃nN={-i,O}.答案：{-1,0}

2.已知全集。={一1。1,2},集合/={-1,2},8={0,2},則.

解析：CM={0,1}，故K〃)C8={O}.答案：{0}

3.(2010年濟南市高三模擬)若全集U=R,集合”={x|-2WxW2},N={xM

-3xW0},則〃n([網=.

解析：根據已知得A/D([M={x]-2WxW2}A{x|x<0或x>3}={x|-

2Wx<0}.答案：{x|-2Wx<0}

4.集合/={3,log2。},B={a,h},若4n8={2},貝lJ/U8=.

解析：由ZC8={2}得log2〃=2,；.a=4,從而6=2,UB={2,3,4).

答案：{2,3,4}

5.(2009年高考江西卷改編)已知全集U=/U8中有機個元素，((〃)U([u8)中

有"個元素.若4C8非空，則4nB的元素個數為.

?.?((〃)1^。4)=[認/08)中有〃個元素，；.工門8中有/X、

〃個元素.答案：m-nAIIB

6.(2009年高考重慶卷)設U={n\n是小于9的正整數},A\

={〃^5〃是奇數},5=5〃是3的倍數},則CM/U8)、—/：'、

解析：U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},8={3,6},：.AUB={1,3,5,6,7},

得{2,4,8}.答案：{2,4,8}

Y

7.定義/?8={Z|Z=Q+JJ,X^A,y&B}.設集合/={0,2},8={1,2},C={1},

則集合(Z?8)?C的所有元素之和為.

解析：由題意可求(N38)中所含的元素有0,4,5,則(/?8)?C中所含的元素有

0,8,10,故所有元素之和為18.答案：18

8.若集合{(x,y)|x+y—2=0且x—2y+4=0}{(x,y)[y=3x+6},則b—.

x+y-2=0,[x=0,

解析：由彳=>點(0,2)在y=3x+6上，：.h=2.

x-2y+4=0.[y=2.

9.設全集/={2,3,a+2a~3],A={2,|a+l|},。/={5},Af={x|x=log2|a|),

則集合M的所有子集是.

解析：?.,/”[//)=/,二{2,3,/+2。-3}={2,5,\a+1|},：.\a+\\=3,且

a2+2a-3=5,解得°=-4或q=2,.,.M={log22,log2|-4|}={1,2}.

答案：0,{1},{2},{1,2}

10.設集合Z={xF—3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)X+(?2-5)=0}.

(1)若"nB={2},求實數。的值；

(2)若4U8=4,求實數a的取值范圍.

解：由d-3x+2=0得x=1或x=2,故集合/={1,2}.

(1)：/C8={2},：.26B,代入8中的方程，得/+4°+3=0=>。=-1或

a=-3;當〃=-1時，B={x\x2-4=0}={-2,2},滿足條件；當“=-3時，B

={x\x2-4x+4=0}={2},滿足條件；綜上，a的值為-1或-3.

(2)對于集合8,4=4(。+l)2-4(/-5)=8g+3).'：A^B=A,：.BQA,

①當A<0,即a<-3時，8=0滿足條件；向當A=0,即a=-3時，3={2}

滿足條件；③當A>0,即a>-3時，8=4={1,2}才能滿足條件，則由根與系數

的關系得

s

[1+2=-2(。+1)q=-不，

,=412矛盾.綜上，4的取值范圍是aW-3.

[12=6Z--5

X142=7r,

ii.已知函數兀v)=的定義域為集合力,函數g(x)=ig(一刀之+比+”)

的定義域為集合B.

(1)當機=3時，求4n(CR8)；

(2)若2nB={x|-14<4},求實數，〃的值.

解：A={x\-l<x^5}.

⑴當加=3時,5={x|-l<x<3},則(R3={x|xW-1或x=3},

."0")={x|34W5}.

(2Y：A={x|-l〈xW5},AHB={x\-l<x<4},

.*.<-42+2X4+W=0,解得〃7=8,此時8={x|-2<x<4},符合題意.

12.已知集合4={xCR|辦2-3》+2=0}.

(1)若/=0,求實數。的取值范圍；

(2)若X是單元素集，求。的值及集合小

(3)求集合M={aeR|/#0}.

解：⑴/是空集，即方程"2-3x+2=0無解.

2

若4=0,方程有一解x=?不合題意.

9

若。#0,要方程辦2-3x+2=0無解，則△=9-8。<0,則a>d.

O

9

綜上可知，若4=0,則。的取值范圍應為

o

22

(2)當Q=0時，方程af-3x+2=0只有一根x=],A={]}符合題意.

9

當aNO時，貝IJA=9-8Q=0,即4=不時，

O

方程有兩個相等的實數根X=g,則％={$.

綜上可知，當4=0時，J={1}；當4=時，A=

⑶當0=0時，八{|}#。.當々W0時，要使方程有實數根，

9

則A=9-8-20,即a^Q.

O

綜上可知，a的取值范圍是。嗎，即A/={a￡R|4W0}={冰?，}

第二章函數

第一節對函數的進一步認識

A組

1.（2009年高考江西卷改編）函數y='—'13x+4的定義域為

-x2-3x+420,

解析：」=>xe［-4,0）U（0,l］

答案：［—4,0）U（0,1］

2.（2010年紹興第一次質檢）如圖，函數“x）的圖象是曲線

段。其中點O,A,8的坐標分別為（0,0）,（1,2）,（3,1）,

則X志）的值等于.

解析：由圖象知/（3）=1,/（彳夯）=<1）=2.答案：2

3。xWl,

3.（2009年高考北京卷）已知函數兀v）=若於）=2,則x=________.

—X,X>1.

X

解析：依題意得時，3=2,Ax=Iog32;

當x>l時，-x=2,x=-2(舍去).故x=log32.答案：log32

4.（2010年黃岡市高三質檢）函數/：{1,6}f{l,也}滿

足力/）］>1的這樣的函數個數有個—

解析：如圖.答案：1

5.（原創題）由等式1+<7透2+°2》+。3=。+1）3+/>1（%+1）2+

0（x+D+O定義一個映射a2,俏）=（伉，出，出）,則

人2,1，-1)=.

解析:由題意知x3+2x2+x-1=(x+I)3+b\(x+1)2+b2a+1)+岳,

令x=-1得：-1=①；

_]=]+仇+岳+①

再令x=0與1得

13=8+4仇+2bz+b3

解得仇=-1,bi=0.

答案:(—1,0,—1)

f1+^(x>l)，

6.已知函數4丫)=《》2+](TWxWl),（1）求負1一：^;［），/{小-2）］}的值；

、2x+3(x<-1).

3

(2)求人3x-1)；(3)若/3)=,求a.

解：小)為分段函數，應分段求解?

(1)V1-^-j-=l-(V2+l)=-啦<-1,.X-啦)=-2啦+3,

13

又??7(-2)=-1,./[/(-2)]=/(-1)=2,.VW-2)]}=1+2=2-

213x

(2)若3x-1>1,即X>T,/3x-1)=1+-----r=-----r;

J八3x-13x-1

3

若-1W3x-1Wl,即OWxW],y(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;

若3x-1v-1,即x<0,J(3x-1)=2(3冗-1)+3=6x+1.

r3%

???,/(3x-1)=

9x2-6x+2(OWxW2§),

L6x+1(x<0).

3

(3),?7(a)=》???Q>1或-IWaWl.

i3

當a>l時，有1+￡=/，.*.47=2；

當-11時，+1=I，，。=土坐.

:.a=2或土坐

B組

(2010年廣東江門質檢)函數二+lg(2x-l)的定義域是

1.

解析：由3x-2>0,2x-1>0,得答案：｛小>|7

—2x+1,(x<—1),

2.(2010年山東棗莊模擬)函數/(x)=—3,(—1WXW2),則刎|)+5))=一.

2x—1,(x>2),

解析：?.?-*1?，.,6)+5=-3+5=2,；-1W2W2,.7/(2)=-3,

?7/(-3)=(-2)X(-3)+1=7.答案:7

3.定義在區間(-1,1)上的函數<x)滿足賀x)-/(-x)=Ig(x+l),則兀0的解析式

為.

解析：：對任意的xW(-1,1),<-xG(-1,1),

由2/(x)-X-x)=lg(x+1),@

dj2/(-x)-fix)=lg(-x+1),②

①X2+②消去火-x),得訓x)=21g(x+l)+lg(-x+1),

?7/(x)=]lg(x+1)+|lg(l-x),(-1<X<1).

21

答案：y(x)=jig(x+i)+jig(i—x),(—i<x<i)

4.設函數y=/(x)滿足/(x+l)=/(x)+l,則函數y=/a)與y=x圖象交點的個數可

能是個.

解析：由"+1)=外)+1可得次1)=/(O)+l，X2)M0)+2,/3)=/(0)+3,???

本題中如果/(o)=o,那么y和y=x有無數個交點；若/(o)wo,則y=7U)

和》=%有零個交點.答案：0或無數

(2(x>0)

5.設函數人工)=2,人工/七八、，若次—4)=/(0),/-2)=-2,則人工)

[x+bx+c(xWO)

的解析式為外)=，關于％的方程兀0=%的解的個數為個.

解析：由題意得

J16-4ft+c=c=4

14-2b+c=-2[c=2'

(2(x>0)

+4x+2(xWO)

由數形結合得/(x)=x的解的個數有3個.

-12(x>0)

答案.3

X2+4X+2(X〈O)

6.設函數/x)=k)gM3>0,QWI),函數g(x)=—f+bx+c,若人2+啦)一/(市

+l)=；，g(x)的圖象過點4(4,-5)及8(—2,—5),貝ija=，函數/[烈切

的定義域為.

答案：2(-1,3)

X2—4x+6,X20

7.(2009年高考天津卷改編)設函數“八，則不等式幾)次1)

x+6,x<0

是

集

解

析：由已知，函數先增后減再增，當工20,外)次1)=3時，令")=3,

解

得.故次的解集為或

當x=1,x=3/(x)1)x>3.

A-<：O,x+6=3時，x=-3,故/(x)刁(1)=3,解得-3vx<0或x>3.

綜上，7(x)次1)的解集為｛x|-3<x〈l或x>3｝.答案：國一3<r<l或x>3｝

8.(2009年高考山東卷)定義在R上的函數加)滿足兀v)=

[log2(4—x),xWO,

1/(工一1)一加一2),則/(3)的值為

x>0,

解析：*.?火3)=火2)-/(1),又｛2)=/(1)-人0)，...火3)=-<0)，??/0)=log24

=2,.?./(3)=-2.答案：-2

9.有一個有進水管和出水管的容器，每單位時間進水量是一定的，設從某時刻

開始，5分鐘內只進水，不出水，在隨后的15分鐘內既進水，乂包水，得到時

間x與容器中的水量y之間關系如圖.再隨后，只放水不進水，水放完為止，則

這段時間內(即x220),y與x之間函數的函數關系是.

升/分鐘，則由題意得

5巧=2067]=4

50+153-6)=35'得則歹=35-3。-20),得歹=-3工+95,又

672=3

因為水放完為止，所以時間為竽，又知x220,故解析式為y=-3x+

95(2O0Wy).答案：尸一3x+95(20WxW亍)

10.函數/(x)=y(l_〃)x2+3(l_a)x+6.

(1)若｛x)的定義域為R,求實數。的取值范圍；

(2)若大功的定義域為［-2,1］,求實數。的值.

解：⑴①若1-/=0,即。=±1,

(i)若a=1時，=定義域為R,符合題意；

(ii)當a=-1時，?x)=76x+6,定義域為［-1,+°°),不合題意.

②若1-J/。，貝"g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6為二次函數.

由題意知g(x)2O對%6R恒成立，

1-a2>0,-l<a<l,

?,|AWO,l)(lla+5)W0,

-卡?《.由①②可得-卡WaWl.

(2)由題意知，不等式(1-/裙+3(1-a)x+610的解集為［-2,1］,顯然1-

且-2,1是方程(1-。2?2+3(1-0x+6=O的兩個根.

1-t?2<0,

ra<-1或。>1,

二、,-*-Sa=±2.：.a=2.

-2=._2,5

a〃<-五或4>1

<A=[3(1-a)]2-24(l-a2)>0'

11.已知/(x+2)=/(x)(xeR),并且當xe[7,l]時，/(x)=-f+],求當xG[2%

-1,2左+l]aeZ)時、/)的解析式.

解：由義x+2)=/(x),可推知；(x)是以2為周期的周期函數.當xe[2左-1,2左

+1]時,2k-14W2k+l,-lWx-2%Wl..\/(x-2A)=-(x-2%產+1.

又危)=/x-2)=fix-4)----fix-2k),

?,?7(^)=-(x-2A)2+1,x^[2k-1,2k+1],A-eZ.

12.在2008年11月4日珠海航展上，中國自主研制的ARJ21支線客機備受關

注，接到了包括美國在內的多國訂單.某工廠有216名工人接受了生產1000件

該支線客機某零部件的總任務，已知每件零件由4個C型裝置和3個H型裝置

配套組成，每個工人每小時能加工6個C型裝置或3個H型裝置.現將工人分

成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置，設加工C型裝置的工人有x位，

他們加工完C型裝置所需時間為g(x),其余工人加工完H型裝置所需時間為

力(x).(單位：h,時間可不為整數)

(1)寫出g(x),〃(x)的解析式；

(2)寫出這216名工人完成總任務的時間4x)的解析式；

(3)應怎樣分組，才能使完成總任務的時間最少？

解：(1)g(x)=2，°(0<X<216,xeN*),h(x)=(0<x<216,xeN*).

<2000

MF(0<x<86,xEN*).

(2)/(x)=jio。。(3)分別為86、130或87、129.

I216-x(87^x<216,xeN*).

第二節函數的單調性

A組

1.(2009年高考福建卷改編)下列函數危)中，滿足“對任意勺，X2d(0,+8),

當不a2時，都有/(XDMM)”的是.

①/(x)=F②/a)=(x-l)2③Ax)=e*④Ax)=ln(x+1)

解析：?.,對任意的Xi，%2G(0，+8),當X|<X2

時，都有｛ri)>/a2)，在(0,+8)上為減函數.答

案：①

2.函數./(x)(xeR)的圖象如右圖所示，則函數g(x)

=/(1ogd)(0q<l)的單調減區間是.

解析：V0<a<l,y=log亦為減函數，/.log^^［0,方時，g(x)為減函數.

由OWlogaxW］gWxWl.答案：［g,1］(或(W，1))

3.函數4+，15—3x的值域是.

解析：令x=4+sin%,a￡［0,市，y=sin。+小cosa=2sin(a+：),，1

答案：［1,2］

4.已知函數次》)=同+白(〃62在區間［0,1］上單調遞增，則實數。的取值范圍

解析：當好0,且e，+/20時，只需滿足e°+$20即可，則-1W“<O;當

°=0時，/)=|e1=e*符合題意；當a>0時，y(x)=e*+*則滿足/(x)=e*-g

20在xd［0』］上恒成立.只需滿足aW(eZ')min成立即可，故1,綜上TWaW1.

答案：一IWaWl

5.(原創題)如果對于函數道x)定義域內任意的x,都有為常數)，稱M

為負x)的下界，下界〃中的最大值叫做人x)的下確界，下列函數中，有下確界的

所有函數是.

'1(x>0)

Q/(x)=sinx；(2^(x)=lgx；(§Xx)=e':(?)/(x)=<0(x=0)

-1(x<—1)

解析：?.?sinx>-1,=siiu?的下確界為-1,即./(x)=siiu?是有下確界

的函數；??7(x)=lgx的值域為(-8,+oo),.\/(x)=lgx沒有下確界；=ev

的值域為(0,+8),.；危)=F的下確界為0,即/(x)=e*是有下確界的函數；

'1(x>0)fl(x>0)

'-"Ax)='0(x=°)的下確界為-l..\/(x)=<0(x=0)是有下確界的

、-1(x<-1)「1(x<-1)

函數.答案：①③④

6.已知函數4x)=d,g(x)=x—1.

(1)若存在xCR使/(x)</rg(x),求實數b的取值范圍；

(2)設F(x)=/x)-wg(x)+1-m-nf,且尸(x)|在［0,1］上單調遞增，求實數m

的取值范圍.

解：⑴Hx)</rg(x)xeR,x2-bx+b<0A=(-ft)2-4b>0b<0

或6>4.(2)F(x)=x2~mx+1-m~,A=w3-4(1-m2)=5m~-4,

①當AW0即-乎時，則必需

9。

-半WmWO.

.羋內平

②當A>0即m<-,設方程&r)=0的根為Xi，X2(X|<%2)?若

tn

■y'l,則X]WO.

2/

〃?22.

F(0)=1-,/wo

m

若'WO,則％2<0，

mr-

^WO2A/5、、、

-1Wzwv.綜上所述：-1W/wWO或zw22.

F(O)=l"2O

B組

1.(2010年山東東營模擬)下列函數中，單調增區間是(一8,0］的是.

?y=--?y=—(x—\)③y=d—2?y=—\x\

解析：由函數y=-|川的圖象可知其增區間為(-8,0］.答案：④

2.若函數/a)=bg2(f—QX+30在區間［2,+8)卜.是增函數，則實數。的取值

范圍是.

解析：令g(x)=f-辦+3〃，由題知g(x)在［2,+8)上是增函數，且g(2)>0.

,3W2，.…

.,?一4<oW4.答案：一4<oW4

.4-2a+3。>0,

3.若函數_Ax)=x+，(a>0)在(%+8)上是單調增函數，則實數。的取值范圍_.

解析：=Ax)=x+f(a>0)在(犯，+8)上為增函數，Ov〃W卷

答案：(0,磊］

4.(2009年高考陜西卷改編)定義在R上的偶函數人x),對任意x”念6［0,+

8)(xiWX2),有?淳)二」且)<0,則下列結論正確的是

必一修

①/(3)y-2)勺(1)②/(I)4一2)勺(3)

⑧A—2)勺(1)勺(3)(4)/(3)</(l)<A-2)

解析：由已知"￡等<0,得危)在xe[0,+8)上單調遞減，由偶函數性

質得寅2)=次-2)，即手3)勺(-2)飲1).答案：①

/(x<0),

5.(2010年陜西西安模擬)已知函數兀v)=,八一,…滿足對任意

(a-3)x+4a(x20)

x^x2,都有畫?@<0成立，則。的取值范圍是________

X\~X2

0<a<l,

解析：由題意知，/(x)為減函數，所以<。-3<0,解得0<aw".

.a°，(a-3)X0+4“，

6.(2010年寧夏石嘴山模擬)函數人勸的圖象是如下圖

所示的折線段。N8,點/的坐標為(1,2),點8的坐標

為(3,0),定義函數g(x)=Xx>(x-l),則函數g(.t)的最

大值為?

[2x(x-1)(0^x<l),

解析：g(x)[(r+3)(x7)(14W3),

當0Wx<l時，最大值為0;當1WXW3時，

在x=2取得最大值1.答案：1

7.(2010年安徽合肥模擬)已知定義域在[—1,1]上.的函數y=/(x)的值域為[—2,0],

則函數夕=/(8n及)的值域是.

解析：cos^/xG[-1,1],函數y=/)的值域為[-2,0],.,.y=/(cos也)的值

域為[-2,0].答案：[-2,0]

8.已知./(x)=logK+2,xW[l,9],則函數尸監)?+/")的最大值是.

解析：；函數y=[/(x)]2+加2)的定義域為

“WxW9,

屋々.*.xe[l,3]>令logjr=/,

[IWx?W9,

.\y=(f+2)2+2/+2=(f+3)2-3,.?.當f=1時，j^ax=13.答案：13

9.若函數加)=logQ2+x)(a>0,aWl)在區間(0,5內恒有.危)>0,則於)的單

調遞增區間為.

解析：令〃=2?+羽當xd(0,3時，〃6(0,1)，而此時危)>。恒成立，

"=2（x+；）2-則減區間為（-8,而必然有2￥+%＞0,即x＞0或xv

-呆必）的單調遞增區間為（-8,-1）.答案：（一8,一；）

10.試討論函數y=2（lo羲）2—2log1x+1的單調性.

解：易知函數的定義域為（0,+8）.如果令u=g（x）=log^x,y=j{u}=hr

~2u+1,那么原函數y=/[g（x）]是由g（x）與九。復合而成的復合函數，而〃=10房

%在x￡（0,+8）內是減函數，y=2〃2-2〃+1=2（〃-畀在〃右（一8,3）上是

減函數，在〃+8）上是增函數.又〃弓，即10羲弓，得Q乎；

上單調遞增.

11.（2010年廣西河池模擬）已知定義在區間（0,+8）上的函數/）滿足姆）=火修）

x2

一危2）,且當41時，加）＜0.

（1）求人1）的值；（2）判斷道X）的單調性；（3）若＜3）=-1,解不等式人博）＜一2.

解：⑴令xi=X2＞0,代入得＜1）=於1）-/|）=0,故/1）=0.

（2）任取X],x2e（0,+8）,且X1＞X2，則空》1,由于當x＞l時，y（x）vo,

所以媛）＜。，即加）-臟）＜。，因此仙）切）,

所以函數/（X）在區間（0,+8）上是單調遞減函數.

⑶由姆)=加)-加2)得忌寸9)一次3),而寅3)=7,所以49)-2.

A2D

由于函數於)在區間(0,+8)上是單調遞減函數，

由父兇)勺(9)，得沖>9,，x>9或x<-9.因此不等式的解集為｛x\x>9或-9｝.

X2+qx+b

12.已知：/(x)=log3—:—,xe(0,+oo),是否存在實數mb,使40同時

滿足下列三個條件：(1)在(0,1］上是減函數，(2)在［1,+8)上是增函數，(3)危)

的最小值是1.若存在，求出。、6；若不存在，說明理由.

解：??7(x)在(0,1］上是減函數，［1,+8)上是增函數，??/=1時，｛x)最小，

5一，c+g+bX2+ax?+b、一

役0cxi<乃《1，則火修)>?。?>即----!—>-----'—，恒(成立.

AjA2

由此得自口幽2>0恒成立.

RM

Vxi-X2<0,X\X2>0,.?.XIM一6<0恒成立，，b》l.

設1WX3<&,則X%)<人工4)恒成立.?,J."'"/［.―。)<o恒成立.

3X3A4

V%3-X4<0,xyX4>0,.??工K4>6恒成立??'.bWl.由621且bWl可知6=1,

?"=1.，存在4、b,使於)同時滿足三個條件.

第三節函數的性質

A組

1.設偶函數Xx)=log?|x-6|在(一8,0)上單調遞增，則人。+1)與義6+2)的大小

關系為.

解析：由危)為偶函數，知b=0,.\Xx)=lo&|x|,又加)在(-8,0)上單調

遞增，所以0<a<l,l〈a+1<2,則./(X)在(0,+8)上單調遞減，所以/(?+l)>/(fe

+2).答案：%+1)次6+2)

2.(2010年廣東三校模擬)定義在R上的函數/(x)既是奇函數又是以2為周期的

周期函數，則犬1)+/(4)+｛7)等于.

解析：7(x)為奇函數，且xdR,所以負0)=0,由周期為2可知，<4)=0,火7)

=*1),又由於+2)=/(x),令x=-1得<1)=<-1)=一｛1)=次1)=0,所以大1)

+/(4)+.*7)=0.答案：0

3.(2009年高考山東卷改編)已知定義在R上的奇函數")滿足次x-4)=-/(x),

且在區間［0,2］上是增函數，則八一25)、人11)、人80)的大小關系為.

解析：因為/(x)滿足,/-4)=-/)，所以./(X-8)=/(x),所以函數是以8為

周期的周期函數,則火-25)=寅-1),火80)=｛0),41)=人3),又因為兀0在R

上是奇函數，<0)=0,<^80)=/0)=0,X-25)-1)=-/I).而由於一4)

=--)得<11)=/(3)=-/-3)=-7(1-4)=7(1),又因為火x)在區間［0,2］上是增

函數，所以義1)次0)=0,所以一｛1)<0,即X-25)/80)飲11).

答案：負一25)勺(80)勺(11)

4.(2009年高考遼寧卷改編)已知偶函數.危)在區間［0,+8)上單調增加，則滿

足寅2x-1)勺4)的x取值范圍是.

解析：由于/(x)是偶函數，故=由/(|2x-1|)勺右)，再根據/(X)的單

調性得|2x-l尚解得我』答案：(；，|)

5.(原創題)已知定義在R上的函數外)是偶函數，對xdR,義2+x)=H2—x),

當人-3)=—2時，42011)的值為.

解析：因為定義在R上的函數y(x)是偶函數，所以y(2+x)=y(2-x)=_/(x-2),

故函數/(x)是以4為周期的函數，所以<2011)=加+502X4)=加)=人-3)=-

2.答案：一2

6.已知函數y=/(x)是定義在R上的周期函數，周期7=5,函數y=/(x)(-IWxWl)

是奇函數，乂知y=_/(x)在［0,1］上是一次函數,在［1,4］上是二次函藪，且在x—2

時函數取得最小值-5.(1)證明:負1)+<4)=0：(2)求y=/(x),xG［l,4］的解析式;

(3