第七章立體幾何

第一節(jié)X/空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖

0KEQIANSHUANGJILUOSH]麴熊一熊0演一演9會畫紂鼻魂硼

?>>綣過教材關(guān)

1.簡單幾何體

(1)簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：

①圓柱可以由短密繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到；

②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到；

③圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到,也可由平行

于圓錐底面的平面截圓錐得到;

④球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到.

⑵簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征：

①棱柱的側(cè)棱都平行且相等,上下底面是金笠的多邊形；

②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共點的三角形；

③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到,其上下底面是相似多邊形.

2.直觀圖

(1)畫法：常用斜二測畫法.

(2)規(guī)則：

①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，一軸、，軸的夾角為45。(或135。)，

z'軸與短軸和<軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段

在直觀圖中保持原長度丕變，平行于v軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

3.三視圖

(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正直[方、正左方、

正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

說明：正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖.

(2)三視圖的畫法

①基本要求：長對正,高平齊,寬相等.

②畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高,正俯一樣長,側(cè)俯一樣寬;看不到的線畫虛線.

［小題體驗］

1.若一個三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面

邊長分別為（）

「

2

」

-需

側(cè)

A.2,2^3

C.4,2

解析：選D由三視圖可知，正三棱柱的高為2,底面正三角形的高為2小，故底面邊

長為4,故選D.

2.（教材習(xí)題改編）如圖，長方體ABCD-A'B'CD'被截去一部分，其中EH//

A'D',則剩下的幾何體是,截去的幾何體是

答案：五棱柱三棱柱

用過易錯關(guān)

1.臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點.

2.空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同.

3.對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視

圖中，易忽視實虛線的畫法.

［小題糾偏］

1.用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是（）

AD

解析：選B俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B.

2.（數(shù)材習(xí)題改編）利用斜二測畫法得到的

①三角形的直觀圖一定是三角形；

②正方形的直觀圖一定是菱形；

③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；

④菱形的直觀圖一定是菱形.

以上結(jié)論正確的個數(shù)是.

解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯誤，是一般的平行四邊形；③錯誤，等

腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯誤.

答案：1

0KETANGKAODIANTUPO宜翳解0盒破闞0器畫典t＞會倒命題國元

考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（基礎(chǔ)送分型考點——自主練透）

［題組練透］

1.用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是（）

A.圓柱B.圓錐

C.球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體

解析：選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體.

2.給出下列幾個命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為

正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相

似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B①不一定，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤，

棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不

一定相等.

3.給出下列命題：

①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；

②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；

③在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

④存在每個面都是直角三角形的四面體.

其中正確命題的序號是.

:

解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，今~--41

但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成

的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面

的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD-AiBCiOi中的三棱錐

Ci-ABC,四個面都是直角三角形.

答案：②③④

［謹(jǐn)記通法］

解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題3個技巧

（1）把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實物，提高空間想象能力；

（2）緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型;

⑶通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析.

考點二空間幾何體的三視圖（重點保分型考點——師生共研）

［典例引領(lǐng)］

1.（2017?東北四市聯(lián)考）如圖，在正方體ABCO-A/iCiOi中，P是線段的中點，則

三棱錐P-AxBxA的側(cè)視圖為（）

解析：選D如圖，畫出原正方體的側(cè)視圖，顯然對于三棱錐3（C）點均消失

了，其余各點均在，從而其側(cè)視圖為D.

2.（2015?北京高考）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）

C.小D.2

解析：選C根據(jù)三視圖，可知幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐v

其中平面ABC。，且底面A3。是邊長為1的正方形，

V-ABCD,D/^.S\C

VB=1.所以四棱錐中最長棱為VD.連接5。，易知BD=p,在

VBD中,VD=\jVB2+BD2=\［3.

［由題悟法］

1.已知幾何體，識別三視圖的技巧

已知幾何體畫三視圖時，可先找出各個頂點在投影面上的投影，然后再確定線在投影

面上的實虛.

2.已知三視圖，判斷幾何體的技巧

（1）對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉.

（2）明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖.

（3）遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則.

［提醒］對于簡單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不

同.

［即時應(yīng)用］

1.（2016?沈陽市數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測）“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在

研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四

個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）

在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作

的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（）

解析：選B根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相

同時，俯視圖為B,故選B.

2.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（）

俯視圖

解析：選D由俯視圖是圓環(huán)可排除A、B、C,進一步將已知三視圖還原為幾何體,

可得選項D.

考點三空間幾何體的直觀圖（重點保分型考點——師生共研）

［典例引領(lǐng)］

有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是

直角梯形（如圖所示），ZABC=45°,A3=AD=1,DCLBC,則這塊菜

地的面積為.

解析：如圖，在直觀圖中，過點A作AE_LBC,垂足為E.

在RtZkABE中，AB=1,

而四邊形AECZJ為矩形,

：.EC=AD=1,：.BC=BE+EC=

由此可還原原圖形如圖

在原圖形中，A'D'=1,A'B'=2,B'C1,且4'D'//B'C,A'B

±B'C,

.?.這塊菜地的面積S=\(A'D'+B'C'B'=\X(1+1+用X2=2+W.

答案：2+乎

［由題悟法］

原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”

.坐標(biāo)軸的夾角改變

（1）“三變”,與y軸平行的線段的長度改變（減半）

.圖形改變

'平行性不變

（2）“三不變"'與x軸平行的線段長度不變

.相對位置不變

［即時應(yīng)用］

如圖，矩形。'A'B'C是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中。'A'=6cm,

O'C=2cm,則原圖形是（）

A.正方形

C.菱形D.一般的平行四邊形

解析：選C如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD=2O'D'

2X2^2=4-72cm,CD=C'D'=2cm.

AOC=y)OD2+CD2=^/(4^2)2+22=6cm,

：.OA=OC,故四邊形OABC是菱形.

—°gIKEHOUSANWHYANUAN毫硼纜01―繪0熊施統(tǒng)D金纜定孤魚心

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

1.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如圖所示，則該幾何體的俯視圖一定不可

能是（）

解析：選D幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全一樣，則幾何體從正面看和側(cè)面看的長度

相等，只有等邊三角形不可能.

2.下列說法正確的是（）

A.棱柱的兩個底面是全等的正多邊形

B,平行于棱柱側(cè)棱的截面是矩形

c.｛直棱柱｝=｛正棱柱｝

D.｛正四面體｝a｛正三棱錐｝

解析：選D因為選項A中兩個底面全等，但不一定是正多邊形；選項B中一般的棱

柱不能保證側(cè)棱與底面垂直，即截面是平行四邊形，但不一定是矩形；選項C中｛正棱柱｝

三｛直棱柱｝,故A、B、C都錯；選項D中，正四面體是各條棱均相等的正三棱錐，故正確.

3.某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是（）

側(cè)視圖

A.三棱錐B.四棱錐

C.四棱臺D.三棱臺

解析：選A因為正視圖和側(cè)視圖都為三角形，可知幾何體為錐體，又因為俯視圖為

三角形，故該幾何體為三棱錐.

4.在如圖所示的直觀圖中，四邊形O'A'B'C'為菱形且邊長女

為2cm,則在直角坐標(biāo)系尤Oy中，四邊形A5CO的形狀為,夕

面積為________cm2./___/.

/o'A'x'

解析：由斜二測畫法的特點知該平面圖形是一個長為4cm,寬為2

cm的矩形，所以四邊形A3C0的面積為8cm2.

答案：矩形8

5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩

形，俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，以這4個

點為頂點的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；②有三個面為直

側(cè)視圖

角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；③兩個面都是等腰直

角三角形的四面體.

其中正確命題的序號是?

解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖，

ABCD-AiBiCiDi,如圖，當(dāng)選擇的4個點是電,B,C,G時，可知①正

確；當(dāng)選擇的4個點是8,A,Bi,C時，可知②正確；易知③不正確.

答案：①②

二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)

1.已知底面為正方形的四棱錐，其中一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可

能是下列各圖中的（）

解析：選C根據(jù)三視圖的定義可知A、B、D均不可能，故選C.

2.如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，點。是△ABC的BC

邊中點，AB,分別與＜軸、/軸平行，則三條線段AB,AD,

4（7中（）

A.最長的是AB,最短的是AC

B.最長的是AC,最短的是A3

C.最長的是A3,最短的是AO

D.最長的是AC,最短的是40

解析：選B由條件知，原平面圖形中從而A5VAOVAC.

3.（2016?沈陽市數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一

個凸多面體的三視圖（兩個矩形，一個直角三角形），則這個幾何體可能為（）

A.三棱臺

C.四棱柱D.四棱錐

解析：選B根據(jù)三視圖的法則：長對正，高平齊，寬相等，可得幾何

體如圖所示，這是一個三棱柱.

4.（2016?淄博一模）把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，形成的

三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為（）

y[21正視圖

A-2B-2\

啦1'/

C.竽D.1俯視圖

解析：選D由正視圖與俯視圖可得三棱錐的一個側(cè)面與底面垂直，其側(cè)視圖

是直角三角形，且直角邊長均為半，所以側(cè)視圖的面積為s=；x乎X乎=；.

5.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個側(cè)面中面積最大

的是（）

側(cè)視圖

A.3B.2乖

C.6D.8

解析：選C四棱錐如圖所示，取AO的中點N,8c的中點M,連

接PM,PN,則PM=3,PN=y[5,SAMD=1X4XV5=2V5,

SAPAB=SAPDC=3X2X3=3,

SAPBC='^X4X3=6.

所以四個側(cè)面中面積最大的是6.

6.設(shè)有以下四個命題：

①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體;

②底面是矩形的平行六面體是長方體；

③直四棱柱是直平行六面體；

④棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點.

其中真命題的序號是.

解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體

的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，

故命題③是錯誤的；命題④由棱臺的定義知是正確的.

答案：①④

7.一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm,若兩底面圓心的連線長為12cm,

則這個圓臺的母線長為cm.

解析：如圖，過點A作交08于點C.

在Rt/XABC中，AC=12cm,BC=8~3=5(cm).

AB=y]122+52=13(cm).

答案：13

8.已知正四棱錐V-ABC。中，底面面積為16,一條側(cè)棱的長為2版,則該棱錐的高

為.

解析：如圖，取正方形ABCD的中心。，連結(jié)VO,AO,則VO就

是正四棱錐V-ABCD的高.

因為底面面積為16,所以4。=2耳1

因為一條側(cè)棱長為2^11.

所以VO=yJVA2—A02=y/44—8=6.

所以正四棱錐的高為6.

答案：6

9.已知正三角形ABC的邊長為2,那么△A3C的直觀圖B'C的面積為

解析：如圖，圖①、圖②所示的分別是實際圖形和直觀圖.

從圖②可知，A'B'=AB=2,

O'c=%c=半，

CD'=O'C01145。=共半=乎.

所以3y=3A'B'*C'D'=^X2X^-=^^.

答案:小

10.已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示.

VV

A

ZA

CL---1---、B

A正-視圖--側(cè)視圖

C

反

B

俯視圖

（1）畫出該三棱錐的直觀圖；

⑵求出側(cè)視圖的面積.

V

解：⑴直觀圖如圖所示.

（2）根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC=2小,4

二側(cè)視圖中VA=

呼X2拘小,B

：?SAVBC='^X2\[3X2yfi=6.

三上臺階，自主選做志在沖刺名校

1.用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體,該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該

幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是（）

ED

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.8B.7

C.6D.5

解析：選C畫出直觀圖，共六塊.

*//

2.（2017?湖南省東部六校聯(lián)考）某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的四個面的面積

中，最大的面積是（）

A.4#B.8小

C.4市D.8

解析：選C設(shè)該三棱錐為P-A5C,其中E4J■平面A5C,PA=4,則由三視圖可知4

A5c是邊長為4的等邊三角形，故PB=PC=4巾,所以SAABC=[X4X2#=4#,SAPAB

=SA/54C=1X4X4=8,SAPBC=\X4X(46>—2?=4市,故四個面中面積最大的為SAPBC

=4巾,選C.

3.如圖，在四棱錐P-A3C。中，底面為正方形，PC與底面A3C。垂

直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰

直角三角形.

正視圖側(cè)視圖

(1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積;

⑵求B4.

解：⑴該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對角線)邊長為的正方形，如圖,

6cmp(c)

其面積為36cm2.

(2)由側(cè)視圖可求得PD=y]PC2+CD2=yl62+62=6y[2.

由正視圖可知AD=6,

且AD_LPD,

所以在RtAAPD中，

PA=y/p^+ADi="7(6^2)2+62=6^3cm.

叵過教材關(guān)

1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

側(cè)面展開圖ni

巨@1_一冽二」彘/

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2JTHS圓錐側(cè)=匹紅S圓臺側(cè)=7t(r+r')1

2.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

幾何屋表面積體積

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2S底V=Sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面積S側(cè)S底V=^Sh

上下上下

臺體（棱臺和圓臺）S表面積=s側(cè)+s上+s下V=1(S+S+7$S)h

41

球S=4KR2V=^nR3

［小題體驗］

1.（2016?全國甲卷）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表

面積為（）

A.207rB.24n

C.28九D.327t

解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r,周

長為c,圓錐母線長為/,圓柱高為瓦由圖得r=2,c=2M=47t,h=4,由勾股定理得：I

=、22+(25F=4,S耒=兀/+，/1+3。/=4兀+16k+8兀=28兀.

2.（數(shù)材習(xí)題改編）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.

解析：由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊

為2,高為3的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故&=3,所以該幾何體的體積

=(jX2X^/3

答案：3小

3.正三棱柱ABC-481G的底面邊長為2,側(cè)棱長為小，。為中點，則三棱錐A-31DG

的體積為.

解析：在正三棱柱ABCA151G中，

'：AD±BC,AD±BBi,BBiDBC=B,，AOJ■平面310cl.

VA-BiDCi=|sABi￡)Ci-A￡)=1x；義2義小X小=1.

答案：1

用過易錯關(guān)

1.求組合體的表面積時，組合體的銜接部分的面積問題易出錯.

2.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)

特征認識不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤.

3.易混側(cè)面積與表面積的概念.

［小題糾偏］

1.（散材習(xí)題改編）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱體積之比

為,球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為.

答案：2：31：1

2.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是.

解析：由三視圖可知，該幾何體由一個正四棱柱和一個棱臺組成，其表面積S=3X4X2

+2X2X2+4X2^2X2+4X6+1x(24-6)X2X2=72+16^2.

答案：72+166

,廣凝自0慮^用口KETANGKAODIANTUPOB）fl斷°-闞0修周年0含閭命園題L

考點一空間幾何體的表面積（基礎(chǔ)送分型考點——自主練透）

［題組練透］

1.（易錯題）（2015?全國卷I）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑

為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若

該幾何體的表面積為16+20兀，則r=（）

A.1B.2

C.4D.8

解析：選B如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球

的半徑為r,圓柱的底面半徑為r,高為2r,則表面積5=；義4兀/

+7rr2+4r2+7T/-2r=（5rt+4）r2.正視方向

又S=16+20?r,.,.（5兀+4）/=16+20兀，，/=4,r=2,故選

2.（2015?福建高考）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（)

俯視圖

A.8+2^2

B.11+2^2

C.14+2-\/2

D.15

解析：選B由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖

所示.

2

直角梯形斜腰長為、T+I2=g,所以底面周長為4+也，側(cè)面積為2X(4+qi)=8+

2^/2,兩底面的面積和為2X；XlX(l+2)=3,所以該幾何體的表面積為8+2也+3=11+

2^2.

3.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的側(cè)面積為()

俯視圖

A.12^5B.24^2

C.24D.12^3

解析：選A由三視圖得，

這是一個正四棱臺，

由條件知斜高/i=^/22+l2=V5,

…「(2+4)X部

側(cè)面積S=-——尸」><4=12鄧r.

［謹(jǐn)記通法］

幾何體的表面積的求法

(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這是

解決立體幾何的主要出發(fā)點.

(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求

這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積.注意銜接部分的處

理，如“題組練透”第1題.

考點二空間幾何體的體積(重點保分型考點——師生共研)

［典例引領(lǐng)］

1.（2016?山東高考）一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何

體的體積為（）

解析：選C由三視圖知，四棱錐是底面邊長為1,高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可

得半球半徑為坐，從而該幾何體的體積為:xUXl+^X竽Xp⑶3=2+半儲

2.（2015?全國卷口）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，

則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

解析:選D由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大

角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐.設(shè)正方體的棱長

為1,則三棱錐的體積為

V1=1x|x1X1X1=1，

5/O

剩余部分的體積3-

V2=l7O=7O.

1

［由題悟法］

有關(guān)幾何體體積的類型及解題策略

常見類型解題策略

直接利用球的體積公式求解，在實際問題中要根據(jù)題

球的體積問題

意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑

根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套

錐體、柱體的體積問題

用公式求解

將三視圖還原為幾何體，利用空間幾何體的體積公式

以三視圖為載體的幾何體體積問題

求解

常用分割或補形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需

不規(guī)則幾何體的體積問題采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化

為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解

［即時應(yīng)用］

1.（2016?西安質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為（）

45

A.B.

32

7

C.D.3

3

解析：選A根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，

上部為三棱錐的組合體，如圖所示.則該幾何體的體積是V幾何體=V三棱柱

1114

+曠三棱錐=3、2*1乂1+5*3乂2乂1*1=不

2.（2017?云南省統(tǒng)檢）如圖是底面半徑為1,高為2的圓柱被削掉一

部分后剩下的幾何體的三視圖，則被削掉的那部分的體積為（）

俯視圖

」+25?一2

A.3B--3-

C.竽-2D.2TT—1

解析：選B由三視圖可知，

剩下部分的幾何體由半個圓錐和一個三棱錐組成，

其體積V=ix^X7tXl2X2+TX^X2X1X2=5+T,

被削掉的那部分的體積為7tXl2X2-(j+!)=^y^.

3.(2016?浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的表面積是

cm2,體積是cm3.

解析：由三視圖知該幾何體是一個組合體，左邊是一個長方體，交于一點的三條棱的

長分別為2cm,4cm,2cm,右邊也是一^個長方體，交于一^點、的三條棱的長分

別為2cm,2cm,4cm.［；

幾何體的表面積為(2X2+2X4+2X4)X2X2-2X2X2=72(cm2),\/"p—

體積為2X2X4X2=32(cm3).

答案：7232

考點三與球有關(guān)的切、接問題(題點多變型考點——多角探明)

［鎖定考向］

與球相關(guān)的切、接問題是高考命題的熱點，也是考生的難點、易失分點，命題角度多

變.

常見的命題角度有：

(1)正四面體的內(nèi)切球與四棱錐的外接球；

⑵直三棱柱的外接球；

(3)正方體(長方體)的內(nèi)切、外接球.

［題點全練］

角度一：正四面體的內(nèi)切球與四棱錐的外接球

L（2017?長春模擬）若一個正四面體的表面積為Si，其內(nèi)切球的表面積為$2,則要=

解析：設(shè)正四面體棱長為a,則正四面體表面積為Si=4-^--a2=y13a2,其內(nèi)切球半徑

為正四面體高的;，即坐〃=出〃，因此內(nèi)切球表面積為SzudTr/n""，貝償=’4=

44J12b冗、

6a

6V5

7t?

答案：呼

角度二：直三棱柱的外接球

2.已知直三棱柱A3C-A/1G的6個頂點都在球。的球面上，若A3=3,AC=4,AB

±AC,44i=12,則球。的半徑為（）

A.B.2y[ld

C.VD.3?

解析：選C如圖，由球心作平面A5C的垂線，則垂足為5c的中點

M.又AAf=，C=^,0M=%4=6,所以球。的半徑R=（M=^（^）2+62

_13

=萬，

角度三：正方體（長方體）的內(nèi)切、外接球

3.如圖，已知球。是棱長為1的正方體A5CD-A訪GA的內(nèi)切

球，則平面ACDi截球O的截面面積為（）

.A/6?n

A.6冗B.§

C.TD.善n

oJ

解析：選C平面AC01截球。的截面為△AC01的內(nèi)切圓.因

為正方體的棱長為1,所以4。=。。1=4。1=也，所以內(nèi)切圓的半徑

r=^Xtan30。=乎，

所以S=7tr2=7tX7=7n.

OO

［通法在握］

“切”“接”問題處理的注意事項

（1）“切”的處理

解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過

作截面來解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.

（2）“接”的處理

把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住

外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.

［演練沖關(guān)］

1.（2017?廣州市綜合測試）一個六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的

長都為1,頂點都在同一個球面上，則該球的體積為（）

5mn

6

解析：選D由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r=l,其高&=1,...球半

徑為R=\J1+；=坐,二該球的體積V=17t2?3=1x

2.（2016?河南省六市第一次聯(lián)考）三棱錐PABC中，AB=BC=yfl5,AC=6,PC_L平

面ABC,PC=2,則該三棱錐的外接球表面積為（）

解析：選D由題可知，ZkABC中AC邊上的高為劣15—32=,,球心O在底面ABC

222

的投影即為△ABC的外心。，itDA=DB=DC=x,：.x=3+（^6~x）,解得同

2

.?.甯=*2+任＞=/+1=緊其中R為三棱錐外接球的半徑），.?.外接球的表面積S=4nR

=7pr,故選D.

—0gKEHOUSANWEIYANUAN目硼繞0園國綴-銅窕縊°噂綴寬下陽

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

1.一個球的表面積是16冗，那么這個球的體積為（）

.16?32

A.371B.yn

C.16nD.24n

解析：選B設(shè)球的半徑為&因為表面積是16%所以4九中=16處解得尺=2.所以

體積j為4§4加火73=372-九.

2.（2016?長春市質(zhì)量檢測（二））

幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A32B.16-亨

A?T

C.f_8九

D.16—^-

解析：選C該幾何體可視為長方體挖去一個四棱錐所得，所以其體積為2X2X4-a

40

X2X2X2=y.故選C.

3.（2016?全國乙卷）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相

垂直的半徑.若該幾何體的體積是等，則它的表面積是（）

A.17nB.187r

C.2071D.287r

解析：選A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的;，

得到的幾何體如圖.設(shè)球的半徑為R,則?九，解得R=2.因

此它的表面積為.乂知肥+徐相二"九.故選A.

o4

4.（2016?北京高考）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為.

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

解析：由題意知該四棱柱為直四棱柱，其高為1,其底面為上底長為1,下底長為2,

高為1的等腰梯形，所以該四棱柱的體積為V=（1+^X1X1=1.

答案：;3

5.（2015?天津高考）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為

,m3.

俯視圖

解析：由幾何體的三視圖可知該幾何體由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成，其中圓錐的底面

半徑和高均為1,圓柱的底面半徑為1且其高為2,故所求幾何體的體積為

1Q

曠=§兀xyx1x2+兀xyx2=§兀.

小金8

答案：jTT

二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)

1.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3,圓臺的側(cè)面積為84兀,

則圓臺較小底面的半徑為（）

A.7B.6

C.5D.3

解析：選A設(shè)圓臺較小底面半徑為r,

則另一底面半徑為3r.

由S=7t（r+3r）-3=847r,解得r=7.

2.一個六棱錐的體積為2M5,其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六

棱錐的側(cè)面積為（）

A.6B.8

C.12D.24

解析：選C由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為力，側(cè)面的斜高為九’.

由題意，得^義6義坐義22X/?=2小,

h=l,

，斜高=#2+畫2=2,

.?.S?=6x1x2X2=12.故選C.

3.（2015?重慶高考）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

解析：選B由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱和半個圓錐組合而成的幾何體，其

體積為7rXl2X2+TX77rXl2X

23o

4.（2017?蘭州市實戰(zhàn)考試）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長

為1的兩個等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為（）

解析：選A由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為1的正

4近

A/3叼3

方體的外接球，其半徑為華,