重難點(diǎn)突破04雙變量與多變量問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納總結(jié) 2題型一：雙變量單調(diào)問題 2題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題 3題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題 5題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型 6題型五：雙變量不等式:剪刀模型 7題型六：雙變量不等式:主元法 8題型七：雙變量不等式:差值代換與比值代換 1003過關(guān)測試 11

破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.題型一：雙變量單調(diào)問題【典例1-1】（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，對任意，當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【典例1-2】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，證明：對任意，，．【變式1-1】已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，如果對任意，，求證：.【變式1-2】（2024·安徽·三模）設(shè)，函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式1-3】已知函數(shù).(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的方程；(2)判斷命題“對任意恒成立”的真假，并說明理由；(3)若對任意都有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【變式1-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，且．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題【典例2-1】設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，且，求的最小值.【典例2-2】（2024·高三·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，證明：．【變式2-1】已知函數(shù)，其中自然常數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實數(shù)的值；(2)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為，且，求證：．【變式2-2】（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線的方程，并判斷是否經(jīng)過一個定點(diǎn)；(2)若，滿足，且，求的取值范圍．【變式2-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，求證：．【變式2-4】已知函數(shù)．若有兩個零點(diǎn)，且，證明：．題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題【典例3-1】已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，且有兩個極值點(diǎn)，分別為和，求的最大值.【典例3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.【變式3-1】（2024·四川德陽·二模）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求的最小值.【變式3-2】（2024·廣東佛山·二模）已知.(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個極值點(diǎn)，，證明：.題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型【典例4-1】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)記函數(shù)的圖象為曲線C.設(shè)點(diǎn)，是曲線C上的不同兩點(diǎn).如果在曲線C上存在點(diǎn)，使得:①;②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)F(x)存在“中值相依切線”.試問:函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請說明理由.【典例4-2】已知函數(shù)，．(1)若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．(2)當(dāng)時，設(shè)的兩個極值點(diǎn)為，且，求的最小值．【變式4-1】已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，且．問：函數(shù)在點(diǎn)處的切線能否平行于軸？若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由．【變式4-2】（2024·廣東·二模）已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由.題型五：雙變量不等式:剪刀模型【典例5-1】已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）若方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：.【典例5-2】已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：；(3)求證：．【變式5-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．具體做法如下：如圖，設(shè)r是的根，首先選取作為r的初始近似值，若在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，稱是r的一次近似值；用替代重復(fù)上面的過程，得到，稱是r的二次近似值；一直重復(fù)，可得到一列數(shù)：．在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)近似值相等時，該值即作為函數(shù)的一個零點(diǎn)．(1)若，當(dāng)時，求方程的二次近似值（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(2)牛頓法中蘊(yùn)含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線，并證明：；(3)若，若關(guān)于的方程的兩個根分別為，證明：．題型六：雙變量不等式:主元法【典例6-1】（2024·高三·北京·開學(xué)考試）已知.(1)若，求在處的切線方程；(2)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)時，.【典例6-2】（2024·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)當(dāng)時，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；(3)若，求證：．【變式6-1】已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的最小值，并證明：當(dāng)時，．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）【變式6-2】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求證：，．【變式6-3】設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)設(shè)，若對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，證明：.題型七：雙變量不等式:差值代換與比值代換【典例7-1】已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，（i）求實數(shù)的取值范圍;（ii）求證:．【典例7-2】已知函數(shù)有三個極值點(diǎn)，，（）．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，求實數(shù)a的最大值．【變式7-1】（2024·安徽阜陽·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性．(2)已知是函數(shù)的兩個零點(diǎn)．（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍．（ⅱ）是的導(dǎo)函數(shù)．證明：．【變式7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若，為的零點(diǎn)，且，證明：．1．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)有三個極值點(diǎn).(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.2．（2024·四川·一模）已知函數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若有2個零點(diǎn)，證明：．3．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)為函數(shù)的兩個零點(diǎn)且，證明：．4．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)，時，證明：.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有3個極值點(diǎn)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：．6．已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，若有且只有兩個極值點(diǎn)，且，證明：.7．（2024·福建龍巖·二模）已知函數(shù)，．(1)若滿足，證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線；(2)若，且，證明：．8．（2024·新疆·三模）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明．9．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，試比較與的大小；(2)若斜率為的直線與的圖象交于不同兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.10．已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)若函數(shù)是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的兩個極值點(diǎn)分別為，（），求的范圍．11．設(shè)函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的極小值；（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.13．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若存在兩個極值點(diǎn)，且，求的取值范圍.14．已知函數(shù)，其中為常數(shù)．曲線過點(diǎn)，曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱．(1)求的值;(2)記．（i）討論在區(qū)間上的單調(diào)性;（ii）若存在兩個極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．15．已知函數(shù)．（