第07講函數與方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：函數的零點與方程的解 4知識點2：二分法 4解題方法總結 5題型一：求函數的零點或零點所在區間 5題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍 6題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題 7題型四：嵌套函數的零點問題 7題型五：函數的對稱問題 9題型六：函數的零點問題之分段分析法模型 10題型七：唯一零點求值問題 10題型八：分段函數的零點問題 11題型九：零點嵌套問題 12題型十：等高線問題 13題型十一：二分法 1404真題練習·命題洞見 1505課本典例·高考素材 1606易錯分析·答題模板 17易錯點：不理解函數圖象與方程根的聯系 17答題模板：數形結合法解決零點問題 17

考點要求考題統計考情分析（1）零點存在性定理（2）二分法2024年II卷第6題，5分2024年天津卷第15題，5分2024年甲卷第14題，5分2023年天津卷第15題，5分2022年天津卷第15題，5分2021年天津卷第9題，5分2021年北京卷第15題，5分從近幾年高考命題來看，高考對函數與方程也經常以不同的方式進行考查，比如：函數零點的個數問題、位置問題、近似解問題，以選擇題、填空題、解答題等形式出現在試卷中的不同位置，且考查得較為靈活、深刻，值得廣大師生關注．復習目標：（1）理解函數的零點與方程的解的聯系.（2）理解函數零點存在定理，并能簡單應用.（3）了解用二分法求方程的近似解．

知識點1：函數的零點與方程的解1、函數零點的概念對于函數，我們把使的實數叫做函數的零點.2、方程的根與函數零點的關系方程有實數根函數的圖像與軸有公共點函數有零點.3、零點存在性定理如果函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，即存在，使得也就是方程的根.【診斷自測】已知函數是定義在R上的偶函數且滿足，當時，，則函數的零點個數為.知識點2：二分法1、二分法的概念對于區間上連續不斷且的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數零點的近似值.2、用二分法求函數零點近似值的步驟（1）確定區間，驗證，給定精度.（2）求區間的中點.（3）計算.若則就是函數的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數零點的近似值為（或）；否則重復第（2）~（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【診斷自測】用二分法研究函數的零點時，第一次經過計算得，，則其中一個零點所在區間和第二次應計算的函數值分別為（

）A．， B．，C．， D．，解題方法總結函數的零點相關技巧：①若連續不斷的函數在定義域上是單調函數，則至多有一個零點.②連續不斷的函數，其相鄰的兩個零點之間的所有函數值同號.③連續不斷的函數通過零點時，函數值不一定變號.④連續不斷的函數在閉區間上有零點，不一定能推出.題型一：求函數的零點或零點所在區間【典例1-1】已知函數則函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例1-2】函數的一個零點所在的區間是（

）A． B． C． D．【方法技巧】求函數零點的方法：（1）代數法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數.【變式1-1】定義在上的單調函數滿足：，則方程的解所在區間是（

）A． B． C． D．【變式1-2】已知函數，，的零點分別為a，b，c，則．【變式1-3】（2024·高三·山西太原·期中）已知是函數的零點，則.【變式1-4】（2024·四川成都·模擬預測）已知函數，，則函數的零點是．【變式1-5】設是函數的一個零點，若且，則下列結論一定錯誤的是（

）A． B．C． D．題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍【典例2-1】（2024·高三·浙江紹興·期末）已知命題：函數在內有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【典例2-2】（2024·四川巴中·一模）若函數在區間內恰有一個零點，則實數a的取值集合為（

）A． B．或.C． D．或.【方法技巧】本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數的等量關系，列關于參數的不等式，解不等式，從而解決.【變式2-1】（2024·山西陽泉·三模）函數在區間存在零點．則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2-2】設函數在區間上存在零點，則的最小值為（

）A． B．e C． D．【變式2-3】若方程在區間上有解，其中，則實數的取值范圍為．（結果用表示）題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖像經過四個象限，則實數的取值范圍是．【典例3-2】設函數是定義在R上的奇函數，對任意，都有，且當時，，若函數（其中）恰有3個不同的零點，則實數a的取值范圍為.【方法技巧】方程的根或函數零點的存在性問題，可以依據區間端點處函數值的正負來確定，但是要確定函數零點的個數還需要進一步研究函數在這個區間的單調性，若在給定區間上是單調的，則至多有一個零點；如果不是單調的，可繼續分出小的區間，再類似做出判斷.【變式3-1】（2024·河南·二模）已知函數是偶函數，對任意，均有，當時，，則函數的零點有個.【變式3-2】已知函數的四個零點是以0為首項的等差數列，則.【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）若函數有三個不同的零點，則實數的取值范圍是．【變式3-4】（2024·陜西商洛·模擬預測）已知關于的方程且有兩個不等實根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型四：嵌套函數的零點問題【典例4-1】設函數，若方程有6個不同的實數解，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·高三·河南·期末）已知函數，若方程有三個不同的實數解，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧】2、二次函數作為外函數可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數的基本功一定要扎實、過關.【變式4-1】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）已知函數，若關于的方程恰有3個不同的實數解，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-2】已知函數若方程有5個不同的實數解，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式4-3】（2024·高三·上海·期中）已知函數，，下列四個結論中，正確的結論有（

）①方程有2個不同的實數解；②方程有2個不同的實數解；③方程有且只有1個實數解；④當時，方程有2個不同的實數解.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個題型五：函數的對稱問題【典例5-1】已知函數，若的圖象上存在兩個點關于原點對稱，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·云南昭通·模擬預測）已知函數，若函數圖象上存在點且圖象上存在點，使得點和點關于坐標原點對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧】轉化為零點問題【變式5-1】（2024·四川內江·一模）已知函數，，，若與的圖象上分別存在點?，使得?關于直線對稱，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2024·四川·三模）定義在R上的函數與的圖象關于直線對稱，且函數為奇函數，則函數圖象的對稱中心是（

）A． B． C． D．【變式5-3】（2024·河北邯鄲·二模）若直角坐標平面內兩點滿足條件：①點都在的圖像上；②點關于原點對稱，則對稱點對是函數的一個“兄弟點對”（點對與可看作一個“兄弟點對”．已知函數，則的“兄弟點對”的個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型六：函數的零點問題之分段分析法模型【典例6-1】（2024·黑龍江·高三大慶市東風中學校考期中）設函數（其中為自然對數的底數），若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是A． B．C． D．【典例6-2】（2024·福建廈門·廈門外國語學校校考一模）若至少存在一個，使得方程成立．則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【方法技巧】分類討論數學思想方法【變式6-1】設函數（其中為自然對數的底數），若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式6-2】已知函數（其中為自然對數的底數）至少存在一個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型七：唯一零點求值問題【典例7-1】（2024·安徽蕪湖·二模）在數列中，為其前n項和，首項，且函數的導函數有唯一零點，則=（

）A．26 B．63 C．57 D．25【典例7-2】（2024·貴州畢節·模擬預測）若函數有唯一零點，則實數（

）A．2 B． C．4 D．1【方法技巧】利用函數零點的情況求參數的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構建不等式求解.（2）分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.（3）轉化為兩個熟悉的函數圖像的上、下關系問題，從而構建不等式求解.【變式7-1】在數列中，，且函數的導函數有唯一零點，則的值為（

）．A．1021 B．1022 C．1023 D．1024【變式7-2】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知函數分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，若函數有唯一零點，則正實數的值為（

）A． B． C． D．【變式7-3】（2024·江西·二模）已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，若函數有唯一零點，則實數的值為（

）A．或 B．或 C． D．題型八：分段函數的零點問題【典例8-1】已知函數，若實數，則函數的零點個數為（

）A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3【典例8-2】（2024·北京西城·一模）設，函數若恰有一個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧】已知函數零點個數(方程根的個數)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.【變式8-1】已知函數若函數有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-2】（2024·高三·北京通州·期末）已知函數（1）若，則的零點是.（2）若無零點，則實數的取值范圍是.【變式8-3】（2024·山西·模擬預測）已知函數若函數有三個零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-4】已知函數，令，則下列說法正確的（

）A．函數的單調遞增區間為B．當時，有3個零點C．當時，的所有零點之和為D．當時，有1個零點題型九：零點嵌套問題【典例9-1】設定義在R上的函數滿足有三個不同的零點且則的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【典例9-2】若關于的方程恰有三個不同的實數解，，，且，其中，則的值為（

）A．-6 B．-4 C．-3 D．-2【方法技巧】解決函數零點問題，常常利用數形結合、等價轉化等數學思想.【變式9-1】已知函數有三個不同的零點，且，則的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．36【變式9-2】已知函數有三個不同的零點，且，則的值為（

）A．3 B．4 C．9 D．16【變式9-3】（2024·四川成都·一模）已知函數有三個零點、、且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十：等高線問題【典例10-1】已知函數，若方程恰有四個不同的實數解，分別記為，，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例10-2】已知函數，若關于的方程有四個不同的實數解，，，，且，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．【方法技巧】數形結合數學思想方法【變式10-1】已知函數，若有四個不同的解且，則的取值范圍是．【變式10-2】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知函數，若方程有四個根，且，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【變式10-3】（2024·陜西商洛·一模）已知函數，若關于的方程有3個實數解，且則的最小值是（

）A．8 B．11 C．13 D．16【變式10-4】（2024·陜西渭南·一模）已知，若存在實數（），當（）時，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型十一：二分法【典例11-1】（2024·遼寧大連·一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導函數在附近一點的函數值可用代替，該函數零點更逼近方程的解，以此法連續迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【典例11-2】（2024·廣東梅州·二模）用二分法求方程近似解時，所取的第一個區間可以是（

）A． B． C． D．【方法技巧】所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數零點的近似值.【變式11-1】以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式11-2】用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為時，所需二分區間的次數最少為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式11-3】一塊電路板的線段之間有個串聯的焊接點，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法的思想檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測（）A．次 B．次C．次 D．次1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．22．（2024年天津高考數學真題）若函數恰有一個零點，則的取值范圍為．3．（2022年新高考天津數學高考真題）設，對任意實數x，記．若至少有3個零點，則實數的取值范圍為.4．（2022年新高考北京數學高考真題）若函數的一個零點為，則；．5．（2023年天津高考數學真題）設,函數,若恰有兩個零點，則的取值范圍為