第06講函數的圖象目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：掌握基本初等函數的圖像 4知識點2：函數圖像作法 4解題方法總結 6題型一：由解析式選圖（識圖） 7題型二：由圖象選表達式 9題型三：表達式含參數的圖象問題 13題型四：函數圖象應用題 18題型五：函數圖象的變換 21題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值 24題型七：利用函數的圖像解不等式 27題型八：利用函數的圖像求恒成立問題 30題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數 3404真題練習·命題洞見 3905課本典例·高考素材 4206易錯分析·答題模板 45易錯點：圖像的變換問題 45答題模板：圖像的變換問題 45

考點要求考題統計考情分析（1）函數圖像的識別（2）函數圖像的應用（3）函數圖像的變換2024年全國甲卷第7題，5分2024年I卷第7題，5分2023年天津卷第4題，5分2022年天津卷第3題，5分2022年全國乙卷第8題，5分2022年全國甲卷第5題，5分基本初等函數的圖像是高考中的重要考點之一，是研究函數性質的重要工具．高考中總以一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等的圖像為基礎來考查函數圖像，往往結合函數性質一并考查，考查的內容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以及靈活地應用圖像判斷方程解的個數，屬于每年必考內容之一．復習目標：（1）在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.（2）會畫簡單的函數圖象.（3）會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題.

知識點1：掌握基本初等函數的圖像（1）一次函數；（2）二次函數；（3）反比例函數；（4）指數函數；（5）對數函數；（6）三角函數．【診斷自測】函數的圖象是下列的（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數的定義域為，解得：，故B錯誤.，則函數為奇函數，故C，D錯誤；故選：A.知識點2：函數圖像作法1、直接畫①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質：奇偶性（或其他對稱性）、單調性、周期性、凹凸性；④特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；⑤特殊線（對稱軸、漸近線等）．2、圖像的變換（1）平移變換①函數的圖像是把函數的圖像沿軸向左平移個單位得到的；②函數的圖像是把函數的圖像沿軸向右平移個單位得到的；③函數的圖像是把函數的圖像沿軸向上平移個單位得到的；④函數的圖像是把函數的圖像沿軸向下平移個單位得到的；（2）對稱變換①函數與函數的圖像關于軸對稱；函數與函數的圖像關于軸對稱；函數與函數的圖像關于坐標原點對稱；②若函數的圖像關于直線對稱，則對定義域內的任意都有或（實質上是圖像上關于直線對稱的兩點連線的中點橫坐標為，即為常數）；若函數的圖像關于點對稱，則對定義域內的任意都有③的圖像是將函數的圖像保留軸上方的部分不變，將軸下方的部分關于軸對稱翻折上來得到的（如圖（a）和圖（b））所示④的圖像是將函數的圖像只保留軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關于軸對稱得到函數左邊的圖像即函數是一個偶函數（如圖（c）所示）．注：的圖像先保留原來在軸上方的圖像，做出軸下方的圖像關于軸對稱圖形，然后擦去軸下方的圖像得到；而的圖像是先保留在軸右方的圖像，擦去軸左方的圖像，然后做出軸右方的圖像關于軸的對稱圖形得到．這兩變換又叫翻折變換．⑤函數與的圖像關于對稱．（3）伸縮變換①的圖像，可將的圖像上的每一點的縱坐標伸長或縮短到原來的倍得到．②的圖像，可將的圖像上的每一點的橫坐標伸長或縮短到原來的倍得到．【診斷自測】若函數的定義域為，則函數與的圖象關于（

）A．直線對稱 B．直線對稱C．直線對稱 D．直線對稱【答案】C【解析】因為函數的圖象是的圖象向右平移1個單位得到的，的圖象是的圖象也向右平移1個單位得到的；又因為與的圖象是關于軸（直線）對稱，所以函數與的圖象關于直線對稱.故選：.解題方法總結（1）若恒成立，則的圖像關于直線對稱．（2）設函數定義在實數集上，則函數與的圖象關于直線對稱．（3）若，對任意恒成立，則的圖象關于直線對稱．（4）函數與函數的圖象關于直線對稱．（5）函數與函數的圖象關于直線對稱．（6）函數與函數的圖象關于點中心對稱．（7）函數平移遵循自變量“左加右減”，函數值“上加下減”．題型一：由解析式選圖（識圖）【典例1-1】（2024·安徽淮北·二模）函數的大致圖像為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由可知，，即，顯然該函數定義域關于原點對稱，由可知，函數為奇函數，排除B,

D兩項，又，排除A項，故C項正確.故選：C.【典例1-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）函數的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，故排除選項C；當時，，故排除選項B；令，則在上恒成立，函數在區間上是奇函數，其函數圖象關于原點對稱，故排除選項D，A選項正確.故選：A.【方法技巧】利用函數的性質（如定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、特殊點等）排除錯誤選項，從而篩選出正確答案.【變式1-1】（2024·天津·二模）研究函數圖象的特征，函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】定義域為，即定義域關于原點對稱，且，所以是奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除CD，注意到當時，有，即，此時函數圖象位于軸下方，故排除A，經檢驗B選項符合題意.故選：B.【變式1-2】（2024·湖北·模擬預測）函數的圖象大致為（

）A．B． C． D．【答案】A【解析】，因為當時，都為增函數，所以，在上單調遞增，故B，C錯誤；又因為，所以不是奇函數，即圖象不關于原點對稱，故D錯誤.故選：A題型二：由圖象選表達式【典例2-1】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數的大致圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于選項A：因為，與圖象不符，故A錯誤；對于選項B：因為，與圖象不符，故B錯誤；對于選項C：因為，與圖象不符，故C錯誤；故選：D.【典例2-2】（2024·寧夏固原·一模）已知函數的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于B，當時，，易知，，則，不滿足圖象，故B錯誤；對于C，，定義域為，又，則的圖象關于軸對稱，故C錯誤；對于D，當時，，由反比例函數的性質可知，在上單調遞減，故D錯誤；檢驗選項A，滿足圖中性質，故A正確.故選：A.【方法技巧】1、從定義域值域判斷圖像位置；2、從奇偶性判斷圖像的對稱性；3、從周期性判斷圖像循環往復；4、從單調性判斷大致變化趨勢；5、從特殊點排除錯誤選項．【變式2-1】（2024·天津·二模）函數的圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖象知，該函數圖象關于原點對稱，所以函數為奇函數，且，對于A，，為偶函數，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，為奇函數，當時，，因為，在為單調遞增函數，所以在單調遞增，故C正確；對于D，當時，，，所以時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故D錯誤，故選：C.【變式2-2】（2024·湖南·二模）已知函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖可知，函數圖象對應的函數為偶函數，排除C；由圖可知，函數的定義域不是實數集.故排除B；由圖可知，當時，，而對于D選項，當時，，故排除D.故選：A.【變式2-3】（2024·陜西安康·模擬預測）函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖象可得函數為偶函數，且，，當且僅當時，，對于A，因為，，所以函數是偶函數，又，，則，所以函數在上單調遞增，所以，故解析式可能為A，故A正確；對于B，由，不合題意，故B錯誤；對于C，因為，所以且，所以函數是非奇非偶函數，故C錯誤；對于D，由，不合題意，故D錯誤.故選：A.題型三：表達式含參數的圖象問題【典例3-1】（2024·重慶·模擬預測）已知函數，為實數，的導函數為，在同一直角坐標系中，與的大致圖象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得對于，當時，在第一象限上遞減，對應圖象在第四象限且遞增，故A項符合；對于在第一象限上與的圖象在上都單調遞增，故且，則.又由可得，即與的圖象交點橫坐標應大于1，顯然C項不符合，B,D項均符合.故選：C.【典例3-2】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知函數（其中）的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】選項A，B，C：由題意知，令，解得或或，由題圖可知函數的一個極值點位于區間，因此，又，所以，故，因此A，B正確，C錯誤.選項D：由題圖可知，若取，則，解得，因此D錯誤.故選：AB【方法技巧】根據參數的不同情況對每個選項逐一分析，推斷出合理的圖像位置關系，排除相互矛盾的位置關系，以得出正確選項．【變式3-1】（多選題）（2024·安徽合肥·一模）函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由題意可知，函數的定義域為，當時，，函數在上單調遞增，故B正確；當時，，，所以在上單調遞增，故D正確；當時，當時，；當時，；故A正確；C錯誤.故選：ABD.【變式3-2】（多選題）函數的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】當時，是偶函數，當時，為減函數，此時對應圖象可能是C；當時，，令得，為非奇非偶函數，且，令其對應方程的，設其對應方程的兩根分別為，，，所以，，，，，，即函數在和上單調遞減，在上單調遞增，由單調性判斷此時對應圖象可能是B；當時，為非奇非偶函數，在處無定義，取時且單增，時且單增，時單增，此時對應圖象可能是D；對于A，由于圖象無間斷點，故，但此時在上不可能恒正，故選：BCD.【變式3-3】（多選題）（2024·福建泉州·模擬預測）函數的大致圖像可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【解析】因為，所以，解得，故定義域為.，，因為時，在區間上恒成立，所以在區間上單調遞增.當時，，此時為奇函數，故選項B正確；當時，，易知其圖像為選項D，故選項D正確.當時，由，得，又，所以，即在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，綜上可知，在區間上不嚴格單調遞減，故選項A不正確；當時，，此時為偶函數，且在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，故選項C正確，故選：BCD.【變式3-4】（多選題）函數的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】①當時，，當時，是定義在R上的奇函數，當時，，，函數在上遞減，在上遞增，因此在上遞增，在上遞減，A可能；當時，是定義在上的奇函數，當時，，，函數在上遞增，則在上遞增，當時，，同理在上遞增，B可能；②當時，的定義域為，，為偶函數，若時，當時，（注意），當時，，則C不可能；若時，當時，，當時，，則D可能.故選：ABD題型四：函數圖象應用題【典例4-1】如圖，長方形的邊，，是的中點．點沿著邊，與運動，記．將動點到兩點距離之和表示為的函數，則的圖像大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】由題意可得，，故，由此可排除C、D；當時點在邊上，，，所以，可知時圖像不是線段,可排除A，故選B．故選：B.【典例4-2】（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，點在邊長為1的正方形邊上運動，是的中點，當點沿運動時，點經過的路程與的面積的函數的圖象的形狀大致是（

）A． B．C． D．E．均不是【答案】A【解析】當點在上時，，當點在上時，，當點在上時，，其中A選項符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.故選：A.【方法技巧】（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．（2）從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數的特征點，排除不合要求的圖象．【變式4-1】（2024·安徽·模擬預測）如圖，直線在初始位置與等邊的底邊重合，之后開始在平面上按逆時針方向繞點勻速轉動（轉動角度不超過），它掃過的三角形內陰影部分的面積是時間的函數．這個函數的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，取的中點，連接，因為為等邊三角形，可得，設等邊的邊長為，且，其中，可得，又由的面積為，可得，且，則的面積為，令，其中，可得，所以為單調遞增函數，又由余弦函數的性質得，當時，函數取得最小值，所以陰影部分的面積一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，結合選項，可得選項C符合題意.故選：C.【變式4-2】（2024·山東·二模）如圖所示，動點在邊長為1的正方形的邊上沿運動，表示動點由A點出發所經過的路程，表示的面積，則函數的大致圖像是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，是一條過原點的線段；當時，，是一段平行于軸的線段；當時，，圖象為一條線段.故選：A．題型五：函數圖象的變換【典例5-1】（2024·北京西城·二模）將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象再關于軸對稱，得到函數的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將函數的圖象向右平移個單位長度，所得函數為，則函數的圖象再關于軸對稱得函數.故選：D.【典例5-2】（2024·遼寧·三模）已知對數函數，函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數的圖象，再將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數的圖象重合，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為將函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數的圖象，所以，即，將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象的函數解析式，因為所得圖象恰好與函數的圖象重合，所以，所以，又且，解得，故選：D【方法技巧】熟悉函數三種變換：（1）平移變換；（2）對稱變換；（3）伸縮變換.【變式5-1】（2024·江西贛州·二模）已知函數的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數圖象所對應的函數解析式（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】①關于y軸對稱②向右平移1個單位③縱坐標不變，橫坐標變為原來的一半故選：C.【變式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函數，則函數的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于點對稱 C．關于點對稱 D．關于點對稱【答案】A【解析】因為，所以，即的圖象關于原點對稱，函數的圖象可由的圖象，先向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到，所以函數的圖象關于點對稱.故選：A.【變式5-3】已知函數的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖知，將的圖象關于軸對稱后再向下平移個單位即得圖2，又將的圖象關于軸對稱后可得函數，再向下平移個單位，可得所以解析式為，故選：C.題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數.若，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】畫出的圖象如下圖所示，令，則，且，則，所以且，所以，當時，取得最小值為．故選：D.【典例6-2】用表示a，b，c三個數中的最小值，則函數的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在一個坐標系中畫出的圖像，從左到右，取橫坐標對應的縱坐標小的點構成新的圖像，如圖：其中A點，即與的交點，其縱坐標即為所求聯立，解得，函數的最大值為3故選：C.【方法技巧】利用函數圖像求函數的最值，先作出所涉及到的函數圖像，根據題目對函數的要求，從圖像上尋找取得最值的位置，計算出答案，體現了數形結合的思想．【變式6-1】已知，設函數在區間上的最大值為.若，則正實數的最大值為.【答案】【解析】畫出的圖象如下：故，由圖象可知，當時，取得最小值，最小值為，此時，，則①，故只需要②，將①代入②得，化簡得，解得，故正實數的最大值為.故答案為：【變式6-2】對，，記，則函數的最小值為．【答案】/1.5【解析】函數是函數與函數同一個取得的兩個函數值的較大的值，作函數與函數的圖象如下，由圖象可知，令，得或，故當時，的最小值為．故答案為：．題型七：利用函數的圖像解不等式【典例7-1】已知函數，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，則或，解得或或.令，則或，解得或.畫出函數圖象的草圖（如圖），得滿足的的取值范圍為.故選:D.【典例7-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知函數，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據題意當時,，當時,,作出函數的圖象如圖，在同一坐標系中作出函數的圖象，由圖象可得不等式解集為，故選：C【方法技巧】利用函數圖像求解不等式的解集及參數的取值范圍．先作出所涉及到的圖像，求出它們的交點，根據題意結合圖像寫出答案.【變式7-1】已知函數，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，則即為，當時，，故無解，當時，即為，在同一平面直角坐標系下畫出和的大致圖像如圖，由圖可得當且僅當時，，綜上所述，的解為，又，所以，當時，，故，解得：，所以，當時，，故，解得：，所以，綜上所述，不等式的解集是.故選：D.【變式7-2】（2024·高三·江西·期中）已知函數，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題知在同一坐標系下畫出，圖象如下所示：由圖可知的解集為.故選：A.題型八：利用函數的圖像求恒成立問題【典例8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函數若對任意的都有恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，令，作出圖象，如圖所示，令，由圖知，要使對任意的都有恒成立，則必有，當時，，由，消得到，由，得到，即，由圖可知，故選：B.【典例8-2】已知函數設若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知，令，函數的圖象如圖所示，當函數的圖象經過點時，得.當的圖象與的圖象相切時，由，得，結合圖形，由得.若不等式在R上恒成立，當時，需滿足，即，當時，需滿足，即，所以，所以實數a的取值范圍為.故選：B.【方法技巧】先作出函數的圖像，觀察參數的變化怎樣影響函數的形態和位置關系，找到參數的臨界值，進一步得出參數的范圍．【變式8-1】已知函數的定義域為,滿足,且時,.若,都有,則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當時,,因為,且時,,所以;當時,,所以;因為,當時,,所以;所以,得,由此做出函數圖像得:當時,,解得或,結合圖像得的解為:或,因為,都有,所以.故選:B.【變式8-2】（2024·河南新鄉·三模）設函數的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為當時，；，所以，即若在上的點的橫坐標增加2，則對應值變為原來的；若減少2，則對應值變為原來的2倍.當時，，，故當時，對任意，不成立，當時，，同理當時，，以此類推，當時，必有.函數和函數的圖象如圖所示：因為當時，，令，解得，（舍去），因為當時，成立，所以.故選：A.題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數【典例9-1】（2024·高三·重慶渝中·期中）已知函數，若方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得有兩個不相等的實數根，令，當時，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，且，當時，恒成立，當時，，則，當時，，單調遞增，且，畫出的圖象如下：要想有兩個不相等的實數根，則，故有兩個不相等的實數根，則.故選：A【典例9-2】設函數，若函數恰有3個零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，設函數，令，即，所以問題轉化為，有3個交點；在坐標系內，作出函數的圖像如下所示，結合圖象可知，，故實數的取值范圍為.故選：B【方法技巧】利用函數圖像判斷方程解的個數．由題設條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解的個數．【變式9-1】設函數，若有三個不同的實數根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，函數單調遞增，函數值集合為，當時，函數單調遞減，函數值集合為，當時，函數單調遞增，函數值集合為，作出函數的圖象與直線，如圖，觀察圖象知，當時，函數的圖象與直線有3個交點，所以有三個不同的實數根，實數的取值范圍是.故選：C【變式9-2】（多選題）已知，若恰有3個零點，則的可能值為（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】AD【解析】由得，作出函數，|的圖像，如圖所示．當，滿足條件，當時，此時與有三個交點，故符合條件的滿足或．故選：AD【變式9-3】已知，定義：，設.若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令函數，顯然函數在上單調遞增，而，則當時，，當時，，于是函數，則，令函數，由，得，因此函數的零點，即函數的圖象與直線交點的橫坐標，當，恒有，在同一坐標系內作出直線與函數的圖象，如圖，觀察圖象知，當，即時，直線與函數的圖象只有一個交點，如圖，直線過點，它與的圖象交于兩點，當時，，當，即時，直線與函數的圖象只有一個交點，當，即時，直線與函數的圖象有兩個交點，所以函數有兩個零點，實數的取值范圍是.故選：A【變式9-4】（2024·高三·廣東江門·開學考試）定義函數,若至少有3個不同的解,則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解:由題知,記,所以圖象為圖象靠下的位置,因為,有兩個根,分別為或,若至少有3個不同的解,則有一個解或者兩個解,即,解得或,當時,,所以對稱軸為,若至少有3個不同的解,畫大致圖象如下:根據圖象則需滿足,即,解得;當時,,所以對稱軸為,此時大致圖象如下:根據圖象則需滿足,即,解得,又因為,故,當時,,解得根為-1,因為的根為-1,1,此時的根為-1,1,不滿足有三個根,故舍去,綜上:.故選:B1．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）當時，曲線與的交點個數為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】因為函數的的最小正周期為，函數的最小正周期為，所以在上函數有三個周期的圖象，在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數圖象有6個交點.故選：C2．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）函數在區間的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，又函數定義域為，故該函數為偶函數，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.3．（2023年天津高考數學真題）已知函數的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖知：函數圖象關于y軸對稱，其為偶函數，且，由且定義域為R，即B中函數為奇函數，排除；當時、，即A、C中上函數值為正，排除；故選：D4．（2022年新高考天津數學高考真題）函數的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數的定義域為，且，函數為奇函數，A選項錯誤；又當時，，C選項錯誤；當時，函數單調遞增，故B選項錯誤；故選：D.1．已知函數.（1）求函數的解析式；（2）利用信息技術，畫出函數的圖象；（3）求函數的零點（精確度為0.1）【解析】（1）由題意得：（2）函數圖象如下圖所示：（3）由圖象可知，函數分別在區間和區間內各有一個零點取區間的中點，用計算器可算得

再取的中點，用計算器可算得

同理可得：，因為原方程在區間內的近似解可取為同理可求得函數在區間內的零點可取為函數滿足精確度的零點為或2．如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線左側的圖形的面積為.