PAGEPAGE1第二講“X”模型一、模型呈現ABCDEFOABABCDEFOABCDEFOGH常見結論：①△ABE≌△BCF②AE=BFABCDEFO常見結論：①△ABCDEFO常見結論：①△ABE∽△BCF②ABCDEFOGH常見結論：①②FEDA3．在□ABCD常見結論：①②FEDACBCBABCDP·OABCDP·OABCDP·OAABCDP·OMN常見結論：常見結論：矩形常見結論：常見結論：矩形OMPN常見結論：△APD∽△CPBABCEDO5．在銳角△ABC中，BE⊥ACABCEDO常見結論：常見結論：①△ABE∽△ACD②△ADE∽△ACB二、遷移運用DCBAFEP例1如圖，正方形ABCD中，E是CD的中點，F是DA的中點，連接DCBAFEP求證：AP=ABAABQCPDO例2如圖，已知矩形ABCD，AB=8，BC=6，若將矩形頂點A、C重合折疊起來，則折痕PQ長為（）A． B．7 C．8 D．ABABCDEF例3如圖，在□ABCD中，E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，若，則．·ABCDOP例4如圖，半徑為2的⊙·ABCDOP相交于點P，連接OP，若OP=1．求的值．變式：如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD垂直相交于點P，且AB=CD=3，則OP的長為．AABCEF例5如圖，銳角△ABC中，BE、CF分別是AC、AB上的高，則（）A． B． C． D．三、同類訓練1．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，若AB=4，BC=2，那么線段EF的長為．2．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點N是AB上一點，且BN=2AN，AC、DN相交于點M，則的值為（）A．3∶11 B．1∶3 C．1∶9 D．3∶103．如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點M，AM=18，BM=8，則CD的長為________．4．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB=6，AD=5，則AE的長為（）A．2.5B．2.8C．3D．3.25．已知E，F分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點，AF，DE相交于點G，當E，F分別為邊BC，CD的中點時，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．試探究下列問題：（1）如圖1，若點E不是邊BC的中點，F不是邊CD的中點，且CE=DF，上述結論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”），不需要證明）（2）如圖2，若點E，F分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時，上述結論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，在（2）的基礎上，連接AE和BF，若點M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結論．6．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設DQ＝t（0≤t≤2），線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N，過Q作QE⊥AB于點E，過M作MF⊥BC于點F．（1）當t≠1時，求證：△PEQ≌△NFM；（2）順次連接P、M、Q、N，設四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數關系式，并求S的最小值．參考答案1． 2．A 3．24 4．B5．解：（1）上述結論①，②仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述結論①，②仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四邊形MNPQ是正方形．理由為：如圖，設MQ，DE分別交AF于點G，O，PQ交DE于點H，∵點M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四邊形OHQG是平行四邊形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四邊形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四邊形MNPQ是正方形．6．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，∵QE⊥AB，MF⊥BC，∴∠AEQ＝∠MFB＝90°，∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形，∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE，又∵PQ⊥MN，∴∠1+∠EQP＝90°，∠2+∠FMN＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠EQP＝∠FMN，又∵∠QEP＝∠MFN＝90°，∴△PEQ≌△NFM；（2）解：分為兩種情況：①當E在AP上時，∵點P是邊AB的中點，AB＝2，DQ＝AE＝t，∴PA＝1，PE＝1﹣t，QE＝2，由勾股定理，得PQ＝＝，∵△PEQ≌△NFM，∴MN＝PQ＝，又∵PQ⊥MN，∴S＝＝＝t2﹣t+，∵0≤t≤2，∴當t＝1時，S最小值＝2．②當E在BP上時，∵點P是邊AB的中點，AB＝2，DQ＝AE＝