高級中學名校試題PAGEPAGE1福建省福州市福清市2023-2024學年高二下學期期中質量檢測數學試題注意事項：1．答題前，考生務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的準考證號、姓名，考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號﹒第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答．在試題卷上作答，答案無效﹒3．考試結束，考生必須將答題卡交回．第I卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.一質點的運動方程為（位移單位：，時間單位：s），則該質點在時的瞬時速度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】質點的運動方程為，所以，所以該質點在時的瞬時速度是.故選：.2.已知數列的前項依次為，則的一個通項公式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】數列的前項依次為，即，所以的一個通項公式為．故B正確；對A，代入，，故A錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，故D錯誤；故選：B.3.已知為遞增的等差數列，，則（）A.3 B. C.3或5 D.或【答案】A【解析】為遞增的等差數列，則.由，得出，，聯立方程組，解得.故選：A.4.函數的圖象如圖所示，則的圖象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】依據原函數圖象可看出①當x<0時，函數y=f(x)遞增，所以此時f′(x)>0，y=f′(x)的圖象在x軸上方；②當x>0時，函數y=f(x)遞減，所以f′(x)<0，y=f′(x)的圖象在x軸下方故選D.5.已知等比數列，，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】由已知數列為等比數列，則，，則，則，所以，故選：B.6.已知函數有兩個零點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】定義域為，，當時，，故在上單調遞減，故不會有2個零點，舍去，當時，令得，，令得，，故在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，又趨向于0時，趨向于負無窮，趨向于正無窮時，趨向于負無窮，要想函數有兩個零點，則f(a)=alna-1>0，解得故選：D7.數列滿足，則的前8項和為（）A.-4 B.0 C.4 D.16【答案】C【解析】，，，，，所以.故選：C.8.已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數在上單調遞增，所以對任意成立，即對任意成立，令，則，因為，所以，令，即，解得或因為，所以，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在時取得最大值為，所以.故選：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數在上單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對A，，當時，，故函數在上單調遞減，故A正確；對B，為上的減函數，故B正確；對C，，故函數在上單調遞增，故C錯誤；對D，在上單調遞減，故D正確.故選：ABD10.已知等差數列的前項和為，若，則下列結論錯誤的是（）A.是遞增數列 B.C.當取得最大值時， D.【答案】AD【解析】因為，則，，所以，公差，所以數列是遞減數列，故A錯，B正確；因為，，數列是遞減數列，所以當時，最大，故C正確；因為，，所以，故D錯.故選：AD.11.已知函數有且僅有三個不同的零點分別為，則（）A.的范圍是 B.的范圍是C. D.【答案】BD【解析】，令，解得或，當時，當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以f0極小值=1>0此時函數只有一個零點，不符合題意；當時，當時，，單調遞增，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，f0極大值=1>0，要使有三個不同的零點，則，解得，故A錯誤，B正確；因為函數有且僅有三個不同的零點分別為，則即有，，，故C錯誤，D正確.故選：BD.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數列的前項和為，則______【答案】81【解析】根據等差數列的性質可得，，成等差數列，所以，即，解得.故答案為：81.13.若函數及其導函數的定義域均為的圖象關于原點對稱，且在上恒為負數，則的解析式可以為______（寫出符合條件的一個即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】取，其定義域為，，顯然其圖象關于原點對稱，且其在上單調遞減，則，故答案為：（答案不唯一）．14.已知數列滿足，則______，的通項公式為______【答案】①7②（也可以填：或者)【解析】令得，由得，令得，由得；方法一：由①得②，②①得，又由，當為奇數時，，由，當為偶數時，，所以；方法二：因為，所以，又因為，所以，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以；故答案為：7；（也可以填：或者)四、解答題：本大題共5小題，共7分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數．（1）求曲線在處的切線方程；（2）求在的最值．解：（1）因為，所以，即曲線在處的切線斜率為0．由，得切點.故所求的切線方程為．（2）方法一：由（1）得，．令得．當時，，此時函數單調遞減；當時，，此時函數單調遞增．故當時，取得最小值為．又，因為．故函數在上的最大值為，最小值為1．方法二：由（1）得，．令得．又，且故函數在上的最大值為，最小值為1．16.已知正項數列滿足．（1）證明：數列為等比數列；（2）求的前項和．解：（1）因為，所以，因為，所以，所以．又，故是首項為2，公比為2等比數列．（2）由（1）可得，即．.所以的前項和為.17.已知函數．（1）求的極值；（2）若對任意成立，求實數的取值范圍．解：（1）由題意可知，函數的定義域為，由，得．令，得，當時，；當時，所以函數在單調遞減，在單調遞增，故在處有極小值，無極大值．（2）由及，得恒成立．令，則．當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，即實數的取值范圍為．18.記數列的前項和，．（1）求的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：．解：（1）因為，當時，，則，故，即，當時，有，即，故是公差、首項均為的等差數列，故．（2）由（1）得，故，則．因為，故，又在上單調遞減，故隨的增大而增大，故，綜上，．19.已知函數．（1）若與互為反函數，求實數的值；（2）若，且，證明：；（3）若，且，證明：．解：（1）因為同底的指數函數與對數函數互為反函數，所以的反函數為，所以．（2）當時，，所以，