高級中學名校試題PAGEPAGE1安徽省縣中聯盟2024-2025學年高一下學期3月聯考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.化簡：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，故，由的值域為，故，所以.故選：B.3.已知向量，則向量在向量上投影向量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】向量在向量上的投影向量為.故選：D.4.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】若，且，則，解得或，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，所以.故選：D.6.已知正數滿足，則的最小值為（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】A【解析】因為，所以，當且僅當時，取得等號.故選：A.7.受潮汐影響，某港口一天的水深（單位：）與時刻的部分記錄如下表：時刻水深5.07.55.02.55.0若該天從與的關系可近似的用函數來表示，則下列結論正確的是（）A.B.C.時的水深約為D.一天中水深低于的時間為4小時【答案】C【解析】由數據知，所以，A錯誤；，故B錯誤；由，得，故C正確；由，得，或，故水深低于3.75的時間為8小時，故D錯誤.故選：C.8.在邊長為2的正方形中作出.直角頂點為的中點.其他兩頂點分別在邊上運動.則的周長的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如題圖，設，由題意，所以，則，所以的周長，注意，且，令，則，所以，又，所以，解得，即周長的取值范圍為.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知三個非零向量，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則或D.若，則【答案】ABD【解析】因為，所以，故A正確；因為，所以，即，所以，所以，故B正確；因為向量不能比較大小，故C錯誤；因為，且，所以存在實數，使得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.10.在中，角的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則的外接圓的面積為B.若，則滿足條件的三角形有兩個C.若為銳角三角形，則D.若，則【答案】AC【解析】因為，所以（為外接圓的半徑），所以，故的外接圓的面積為，故A正確；若，則，所以無解，故B錯誤；若為銳角三角形，則，所以，所以，同理，所以，故C正確；若為鈍角，顯然滿足，但，不滿足，故D錯誤.故選：AC.11.記表示中的較大者.若函數.則（）A.是周期函數B.是函數的圖象的對稱軸C.的值域為D.在上單調遞減【答案】ABD【解析】對于A，令，因為都是最小正周期為的函數，所以是最小正周期為的函數，因此是周期函數，故A正確；對于B，作出的部分圖象如圖（實線）所示，由圖可知，結合周期性得，曲線關于直線對稱，則是函數的圖象的對稱軸，再結合A項，可得是函數的圖象的對稱軸，故B正確；對于C，由圖象可知，的值域為，所以的值域為，故C錯誤；對于D，由圖象可知，在上單調遞減，根據復合函數的單調性可知，在上單調遞減，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知狄利克雷函數則__________.【答案】2【解析】因為，所以，因為，所以，故.13.如圖，為了測量一條大河兩岸之間的距離，無人機升至米的空中沿水平方向飛行至點進行測量，在同一鉛垂平面內.在點測得的俯角為，則__________.【答案】【解析】由條件知，過作垂直于直線，垂足為，在中，，在中，，所以.14.在中，角的對邊分別為，且.若，則對的最小值為__________.【答案】【解析】由，得，所以，因為，則，所以，設，則點在直線上，所以，當時，最小，其最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.化簡下列各式：（1）；（2）.解：（1）.（2）因為，所以，所以.16.在等腰梯形中，為的中點，點在上，且，記.（1）用向量表示向量；（2）求的值.解：（1）如圖所示，連接，則四邊形為平行四邊形，所以，因為點在上，且，所以，所以.（2）由（1）可知，，在等腰梯形中，過分別作的垂線，垂足分別為，則，所以，由題意知，且，.17.將的圖象上每個點的橫坐標都縮短到原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向上平移1個單位長度，得到的圖象.（1）求的單調遞增區間；（2）求的圖象的對稱軸方程；（3）求不等式的解集.解：（1）根據函數圖象變換，可得，因為的遞增區間為，令，得，所以的遞增區間為.（2）令，得，所以圖象的對稱軸方程為.（3）由，得，所以，解得，所以的解集為.18.若對定義在上的函數，存在.使得恒成立，則的圖象關于點對稱，已知函數，且.（1）證明：函數的圖象是中心對稱圖形；（2）求的值；（3）當時，求在上的最小值.解：（1）由題設，的定義域為，設，因為，所以，的圖象關于點對稱，故函數的圖象是中心對稱圖形.（2）由（1）知，，都有成立，又，所以.（3），且，因為，所以，又，所以，則，因為，所以，即，所以在上單調遞增，故在上的最小值為.19.若一個三角形中兩邊的平方和是第三邊平方的倍，則稱該三角形為階準直角三角形.在中，角的對邊分別為，且.（1）證明：是2階準直角三角形