高級中學名校試題PAGEPAGE1安徽省馬鞍山市2024-2025學年高一下學期階段檢測數(shù)學A試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知空間中三個不同的點A，B，C，則下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C.2.如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與相等的向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于選項A，雖然，但方向不同不滿足向量相等的條件，所以與不相等.對于選項B，與方向相同，并且由于，所以.對于選項C：與方向不同，所以與不相等.對于選項D：與方向不同，所以與不相等.與相等的向量為.故選：B.3.在等邊中，向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在等邊中，，而向量與的夾角是將它們的起點平移到同一點后所形成的角，這個角與互補，所以向量與的夾角為.故選：A.4.已知點O在所在平面內(nèi)，滿足，則點M是的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.重心【答案】D【解析】設(shè)為的中點，因為，所以，所以所在直線經(jīng)過的中點，同理可得分別與邊的中線共線，所以點M是的重心.故選：D.5.已知向量，若與共線，則m＝（）A.－1 B.3 C.1或－3 D.－1或3【答案】D【解析】因為，與共線，所以，解得或.故選：D.6.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A.8 B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以在上的投影向量為.故選：C.7.下列說法中正確的是（）A.在中，，若，則為銳角三角形B.已知點O是平面上的一個定點，并且A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則點P的軌跡一定通過的外心C.已知與的夾角為銳角，實數(shù)的取值范圍是D.在中，若，則與的面積之比為【答案】D【解析】對于A，因為，即，所以，所以角為鈍角，故A錯誤；對于B，由，得，所以，所以在邊的高線上，不一定經(jīng)過外心，故B錯誤；對于C，因為，所以，當時，，此時與共線同向，夾角不是銳角，故C錯誤；對于D，因為，所以，延長交于，如圖所示：因為共線，所以存在實數(shù)，，因為共線，所以，解得，所以，所以，所以，所以，則，故D正確.故選：D.8.在中，為內(nèi)的一點，，則下列說法正確的是（）A.若P為的重心，則B.若P為的外心，則C.若P為的垂心，則D.若P為的內(nèi)心，則【答案】C【解析】如圖建立平面直角坐標系，，對于A：若為的重心，則，所以若，則，解得，所以，A不正確；對于B：若為的外心，其必在直線上，所以，B錯誤；對于C：若為的垂心，其必在上，設(shè)，則，解得，此時，若，則，解得，所以，C正確；對于D：若為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，得，則，，此時，若，則，解得，所以，D不正確.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于A，因為，所以共線，故A錯誤；對于B，因為，所以不共線，故B正確；對于C，因為，所以共線，故C錯誤；對于D，因為，所以不共線，故D正確．故選：BD.10.下列說法中正確的有（）.A.若，則有兩組解B.在中，已知，則是等邊三角形C.若，則直線AP一定經(jīng)過這個三角形的外心D.若銳角三角形，則，且【答案】AD【解析】對于選項A，由正弦定理得，所以，因為，所以，所以有兩組解，故選項A正確；對于選項B，由及正弦定理得，所以，因為，所以，所以是等腰三角形，無法判斷是等邊三角形，故選項B錯誤；對于選項C，因為分別表示與同方向的單位向量，所以表示與角平分線共線的向量，所以直線AP一定經(jīng)過這個三角形的內(nèi)心，故選項C錯誤；對于選項D，因為為銳角三角形，所以，所以，因為，，所以，即，同理可得，故選項D正確.故選：AD.11.設(shè)銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的外接圓的面積是C.的面積的最大值是 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】對于A項，因為，所以，所以，又因，所以，又因為，所以，故A項錯誤．對于B項，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則的外接圓的面積是，故B項正確．對于C項，由余弦定理可得，即①．因為②，當且僅當時，等號成立，所以由①②得，當且僅當時，等號成立，所以的面積，則C項正確．對于D項，由正弦定理可得，則，，所以是銳角三角形，，所以，所以，所以，所以，即的取值范圍是，故D項正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量、滿足，，，則______．【答案】【解析】由，，，得，所以.13.已知，則與垂直的單位向量的坐標為______．【答案】或【解析】設(shè)與向量垂直的一個向量，則，取，得，則與向量共線的單位向量為，所以與垂直的單位向量的坐標為或.14.已知是邊長為4的等邊三角形，P是平面ABC內(nèi)一點，則的最小值為______．【答案】【解析】以為軸，中垂線為軸建立平面直角坐標系，由已知有，設(shè)點，則有，所以，所以，當點時，等號成立.所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.設(shè)是不共線的兩個向量．（1）若，證明：A，B，C三點是否共線；（2）若與共線，求實數(shù)k的值．解：（1）證明：由，得，，因此向量與共線，且有公共點，所以，B，C三點共線.（2）由與共線得存在實數(shù)，使得，即，而向量與不共線，則，解得，，所以實數(shù)k的值為.16.如圖，在正方形ABCD中，和AC相交于點G，且F為線段AG上一點（不包括端點），若，求的最小值．解：由題可設(shè)，，由題意可得，因為三點共線，故，解得，所以，因為，所以，又三點共線，所以，所以，當且僅當，即，取等號.故的最小值為．17.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．且，（1）求A的值；（2）若，求周長的最大值；（3）設(shè)內(nèi)角A的平分線交BC于點D，，求面積的最小值.解：（1）在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，而，則，解得，當且僅當時取等號，所以周長的最大值為6.（3）由內(nèi)角A的平分線交BC于點D，，得，即，因此，即，當且僅當時取等號，則，所以面積的最小值為.18.已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B的大小；（2）若，求外接圓的半徑；（3）若點M在線段AC上，，求的最小值．解：（1）由，可得，由正弦定理可得，因為，所以，又因為，所以.（2）由余弦定理可得，因為，所以，解得，所以，所以外接圓的半徑為.（3）因為，，所以，又，故，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為．19.已知O為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．（1）記向量的相伴函數(shù)為，向量的相伴函數(shù)為.若與垂直時，求與平行的單位向量；（2）設(shè)函數(shù)的相伴特征向量為，函數(shù)的相伴特征向量為，求出的面積；（3）已知為函數(shù)的相伴特征向