高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省亳州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若是離散型隨機(jī)變量，則（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】.故選：C.2.函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】A【解析】從圖形中可以看出，在開區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，，在處的兩邊左正、右負(fù)，取得極大值；在處的兩邊左負(fù)、右正，取值極小值；在處的兩邊都為正，沒有極值；在處的兩邊左正、右負(fù)，取值極大值．因此函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)只有一個(gè)．故選：A．3.某市旅游局對(duì)全市各旅游景區(qū)的環(huán)境進(jìn)行綜合治理，投入不同數(shù)額的經(jīng)費(fèi)（千萬元），得到各旅游景區(qū)收益的增加值（萬元），對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：投人的治理經(jīng)費(fèi)（單位：千萬元）1234567收益的增加值（單位：萬元）2325779若與的回歸直線方程為，則相應(yīng)于點(diǎn)的殘差是（）A. B.0.358 C. D.8.642【答案】B【解析】，所以，當(dāng)時(shí)，，因此殘差為．故選：B．4.函數(shù)在上（）A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.有增有減 D.無法判定【答案】B【解析】因?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞減．故選：B．5.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）A.42 B.30 C.20 D.12【答案】A【解析】原定的5個(gè)節(jié)目之間有6個(gè)位．當(dāng)插入的這兩個(gè)新節(jié)目在一起時(shí)，有插法；當(dāng)插入的這兩個(gè)新節(jié)目不在一起時(shí)，有插法，所以總的不同插法的種數(shù)為種．故選：A．6.已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋裕邳c(diǎn)處的切線方程可表示為：，又因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程是，所以解得．故選：C.7.甲乙兩人分別擲兩枚骰子，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)，則由原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則由對(duì)方接著擲．第一次擲由甲開始，設(shè)第次由甲擲的概率為，則與之間的關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】第次由甲擲應(yīng)該有兩種情況：①第次由甲擲，第次繼續(xù)由甲擲，此時(shí)概率為；②第次由乙擲，第次由甲擲，此時(shí)概率為．由于這兩種情況是互斥的，因此與之間的關(guān)系式是，其中．故選：C．8.設(shè)分別是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋裕O(shè)，則．在中，．在中，，所以，整理得，．于是．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.把一個(gè)正態(tài)曲線沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線，下列說法中正確的是（）A.曲線仍然是正態(tài)曲線B.曲線和曲線的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C.以曲線為概率密度曲線的總體的期望比以曲線為概率密度曲線的總體的期望小2D.以曲線為概率密度曲線的總體的方差比以曲線為概率密度曲線的總體的方差大2【答案】AB【解析】密度函數(shù)，向右移動(dòng)2個(gè)單位后，密度函數(shù)，曲線b仍然是正態(tài)曲線，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,故AB正確；以曲線b為概率密度曲線的總體的期望值為，故C錯(cuò)誤；以曲線為概率密度曲線的總體的方差不變．故D錯(cuò)誤；故選:AB．10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C. D.是遞增數(shù)列【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由得，，所以．A正確；對(duì)于B，將與整體相減得，，所以，又，即，所以．因此不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，因此,C正確；對(duì)于D，因，所以，所以，因此是遞增數(shù)列，D正確；故選:ACD．11.“曼哈頓距離”是由赫爾曼-閔可夫斯基使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的曼哈頓距離為：．若點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)和點(diǎn)的曼哈頓距離為3B.設(shè)，則C.的最大值為D.的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)A，，A對(duì)；因?yàn)椋裕珺對(duì)；當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．滿足，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．滿足，則C錯(cuò)，D對(duì)，故選ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)變量，則的值是___________【答案】【解析】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?13.在二項(xiàng)式展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則此二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和是___________．【答案】【解析】在二項(xiàng)式的展開式中，令，得，，即，，解得，，所以二項(xiàng)式系數(shù)和為．故答案為：16.14.若不等式對(duì)任意恒成立，則整數(shù)的最大值是___________．【答案】3【解析】不等式就是，令，顯然直線過定點(diǎn)，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑒t，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，可以畫出曲線的草圖（如圖），由圖象可知，直線的極限位置是與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)是，則切線方程是，將點(diǎn)代入得，，即，則，令，則在內(nèi)單調(diào)遞增，又因?yàn)椋谥校谑牵收麛?shù)的最大值是3.故答案為：.四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求的極值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）．當(dāng)時(shí)，上單增，既沒有極大值，也沒有極小值．當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，在上單減，當(dāng)時(shí)，在上單增，所以的極小值為，沒有極大值.（2）由得，．令．則，當(dāng)時(shí)，單增；當(dāng)時(shí)，單減．因此．顯然當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．故的取值范圍是．16.如圖，在四棱錐中，底面矩形垂直于側(cè)面，且分別是棱的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．解：（1）因?yàn)闉榫匦危瑒t，且平面平面，平面平面平面，則平面，且平面，所以．連接．在和中，，可知全等于．則，且是中點(diǎn)，則．在中，，而是的中點(diǎn)，則．且，平面，所以平面．（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，由（1）知，是平面的法向量，且平面的法向量是．可得．所以二面角的正弦值為．17.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上與點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)．（1）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，若以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，且的面積為，求圓的方程；（2）若是拋物線上的另外一點(diǎn)，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．解：（1）準(zhǔn)線為到的距離是．由對(duì)稱性知，是等腰直角三角形，斜邊，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，，解得，故圓的方程為；（2）方法一，因?yàn)椋裕裕O(shè)在拋物線上，則．顯然直線的斜率存在，則直線的方程為，將代入得，，即，令，得由得，，因?yàn)椋ǚ駝t，有一個(gè)為零向量），所以，代入式可得，故直線經(jīng)過定點(diǎn)．方法二，因?yàn)椋裕O(shè)在拋物線上，則，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得到，，由得，，因?yàn)椋ǚ駝t，有一個(gè)為零向量），所以，即，因此就是．故直線經(jīng)過定點(diǎn)．18.某市一些企業(yè)，由于沒有技術(shù)更新業(yè)務(wù)受到形響，資金出現(xiàn)缺額，銀行將給予低息貸款的扶持．銀行制定了評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這些企業(yè)進(jìn)行評(píng)估，然后依據(jù)企業(yè)評(píng)估得分將這些企業(yè)分別定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個(gè)等級(jí)，并根據(jù)等級(jí)分配相應(yīng)的低息貸款數(shù)額．為了更好地掌握貸款總額，銀行隨機(jī)抽查了部分企業(yè)，得到以下兩個(gè)圖表數(shù)據(jù)．評(píng)估得分評(píng)定類型不合格合格良好優(yōu)秀貸款金額（萬元）0200400800（1）任抽一家企業(yè)，求抽到的等級(jí)是優(yōu)秀或良好的概率（將頻率近似看做概率）；（2）對(duì)照上表給出的標(biāo)準(zhǔn)，這些企業(yè)進(jìn)行了整改．整改后，優(yōu)秀企業(yè)數(shù)量不變，不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量成等差數(shù)列．要使這些企業(yè)獲得貸款的數(shù)學(xué)期望不低于410萬元，求整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)百分比的最大值．解：（1）設(shè)任意抽取一家企業(yè)，抽到不合格、合格、良好、優(yōu)秀的概率分別是，則根據(jù)頻率分布直方圖可知，．故任抽一家企業(yè)，等級(jí)是優(yōu)秀或良好的概率約為．（2）設(shè)整改后，任意抽取一家企業(yè)，抽到不合格、合格、良好的概率分別為，因?yàn)椴缓细衿髽I(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量成等差數(shù)列，所以也成等差數(shù)列，即，又因?yàn)椋裕O(shè)整改后一家企業(yè)獲得的低息貸款為隨機(jī)變量，則其分布列是02004008000.250.25于是，因?yàn)椋裕獾茫收暮蟛缓细衿髽I(yè)占企業(yè)總數(shù)百分比的最大值是．19.特征根方程法是求一類特殊遞推關(guān)系數(shù)列通項(xiàng)公式的重要方法．一般地，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以按以下步叕求解：①對(duì)應(yīng)的方