矩陣4.2矩陣矩陣的概念在線性代數中,

把矩陣定義為數的陣列,它的元素為數域上的數,統稱為數字矩陣.現在把數字矩陣加以推廣.設是數域上的變量,是數域上的的多項式,現在引入矩陣.定義4.4用變量的多項式為元素構成的矩陣

稱為矩陣,一般用等來表示．方陣的特征矩陣就是一個矩陣,數字矩陣可看做特殊的矩陣.與數字矩陣一樣,對于矩陣,同樣可以定義其和、差、積、相等、數乘等運算.對于階矩陣的行列式、余子式、代數余子式,以及一般矩陣的子式,也采用與數字矩陣相同矩陣的定義.但是,矩陣的可逆性與數字矩陣的可逆性不盡相同.定義4.5矩陣中不為零的子式的最高階數稱為的秩,記作零矩陣的秩規定為零.進一步,若階矩陣的行列式不等于零,則稱是滿秩的或非奇異的.例如,若是階數字矩陣,則是的次多項式,它不等于零,因此的秩是即它是滿秩的.定義4.6對于階矩陣若存在一個階矩陣使得

則稱矩陣是可逆的,并稱為的逆矩陣,記為即若矩陣可逆,則其逆唯一.事實上,若和都是的逆矩陣,則有

矩陣定理4.3設是階矩陣,則可逆的充要條件是為非零常數.證必要性：設可逆,則存在階矩陣使得從而,

因為與都是的多項式,所以二者都是零次多項式,從而,為非零常數.充分性：設是的伴隨矩陣,則是階矩陣,并且滿足

因此可逆,并且

對于階數字矩陣,可逆與滿秩等價；但對于階矩陣,可逆必滿秩,滿秩卻未必可逆.例如,滿秩,但不是非零常數,從而不可逆.

矩陣矩陣的初等變換與等價與數字矩陣類似,矩陣也有初等變換與等價的概念.定義4.7稱以下3種行(列)變換為矩陣的初等行(列)變換,統稱為初等變換.(1)

矩陣的兩行(列)互換位置.(2)

矩陣的某一行(列)乘以非零常數(3)

矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列)上,其中是的多項式.以上初等行變換可分別用如下記號來表示(將換成即表示相應的初等列變換).(1)表示互換第行和第行.

(2)表示用非零常數乘以第行.(3)表示把第行的倍加到第行上.初等變換是可逆的,其逆變換也是初等變換.例如,、、

這3種行變換的逆變換分別是、、矩陣定義4.8單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣,分別記為、、即矩陣這3個初等矩陣都是滿秩且可逆的,其行列式分別為矩陣定理4.4對一個的矩陣進行一次初等行變換,相當于在的左側乘以一個相應的階初等矩陣；對一個的矩陣進行一次初等列變換,相當于在的右側乘以一個相應的階初等矩陣.定義4.9設與是兩個矩陣,若可經過有限次初等變換轉化為則稱與等價,記為矩陣的等價關系與一般的等價關系一樣,具有以下性質.(1)自反性：(2)對稱性：若則(3)傳遞性：若則由初等變換與初等矩陣之間的關系可知,與等價的充要條件是存在有限個初等矩陣使得

矩陣定理4.5設與是兩個的矩陣,若則證因為所以存在可逆的矩陣與使得從而,同理,由可得結論成立．注定理4.5的逆命題不成立.

例如,對于但與不等價.

矩陣矩陣的Smith標準型現在討論矩陣在初等變換下的標準型,以及如何將矩陣化為標準型.引理4.1對于矩陣若元素并且中至少有一個元素不能被整除,則存在一個與等價的矩陣使得元素

并且而有注記號表示多項式的次數,記號表示多項式能被多項式整除.證根據中不能被整除的元素的位置,分以下3種情況來討論.(1)若中第1行有元素不能被整除,則有

其中,并且對作兩次初等列變換,首先將中第1列的倍加到第列上,這時第1列第1行的元素為；然后將第1列與第列互矩陣換,得到：最后對重復上述過程,直到矩陣的第1行元素都能被新的整除.(2)若中第1列有元素不能被整除,則與情況(1)同理,可得與等價的矩陣其第1列元素都能被整除.若中第1行與第1列的所有元素都能被整除,但中至少有一個元素不能被整除.因為所以存在多項式使得

先將中第1行的倍加到第行上,得到矩陣

其中；再將中第行加到第1行上,此時沒有變化,而第1行第列元素變為它也不能被整除,這就化為已證明的情況(1)了.因此,經過有限次初等變換就可得到所需的矩陣矩陣定理4.6設為階矩陣,若則等價于“對角形”矩陣,即

其中,是首項系數為1的多項式,并且滿足我們稱為矩陣在等價意義下的標準型或Smith標準型.特殊地,當時,的Smith標準型為零矩陣.證設并設否則可通過行、列互換來實現.由引理4