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文檔簡介
2025屆順義區重點名校第二學期初三期初考試數學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.已知關于x的不等式組﹣1<2x+b<1的解滿足0<x<2,則b滿足的條件是()A.0<b<2 B.﹣3<b<﹣1 C.﹣3≤b≤﹣1 D.b=﹣1或﹣32.如圖,⊙O的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E.若,AC=3,則CD的長為A.6 B. C. D.33.如圖,左、右并排的兩棵樹AB和CD,小樹的高AB=6m,大樹的高CD=9m,小明估計自己眼睛距地面EF=1.5m,當他站在F點時恰好看到大樹頂端C點.已知此時他與小樹的距離BF=2m,則兩棵樹之間的距離BD是()A.1m B.m C.3m D.m4.在直角坐標平面內,已知點M(4,3),以M為圓心,r為半徑的圓與x軸相交,與y軸相離,那么r的取值范圍為()A. B. C. D.5.圖為一根圓柱形的空心鋼管,它的主視圖是()A. B. C. D.6.下列圖形是軸對稱圖形的有()A.2個 B.3個 C.4個 D.5個7.如圖,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四邊形BCFE=16,則S△ABC=()A.16 B.18 C.20 D.248.如圖,在正三角形ABC中,D,E,F分別是BC,AC,AB上的點,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于()A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶39.圖1~圖4是四個基本作圖的痕跡,關于四條弧①、②、③、④有四種說法:弧①是以O為圓心,任意長為半徑所畫的弧;弧②是以P為圓心,任意長為半徑所畫的弧;弧③是以A為圓心,任意長為半徑所畫的弧;弧④是以P為圓心,任意長為半徑所畫的弧;其中正確說法的個數為()A.4 B.3 C.2 D.110.“龜兔賽跑”是同學們熟悉的寓言故事.如圖所示,表示了寓言中的龜、兔的路程S和時間t的關系(其中直線段表示烏龜,折線段表示兔子).下列敘述正確的是()A.賽跑中,兔子共休息了50分鐘B.烏龜在這次比賽中的平均速度是0.1米/分鐘C.兔子比烏龜早到達終點10分鐘D.烏龜追上兔子用了20分鐘11.如圖所示的幾何體的主視圖正確的是()A. B. C. D.12.若矩形的長和寬是方程x2-7x+12=0的兩根,則矩形的對角線長度為()A.5 B.7 C.8 D.10二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.計算:+(|﹣3|)0=_____.14.科學家發現,距離地球2540000光年之遙的仙女星系正在向銀河系靠近.其中2540000用科學記數法表示為_____.15.若分式a2-9a+316.某商品原售價為100元,經連續兩次漲價后售價為121元,設平均每次漲價的百分率為x,則依題意所列的方程是_____________.17.如圖,在直角坐標平面xOy中,點A坐標為,,,AB與x軸交于點C,那么AC:BC的值為______.18.兩個等腰直角三角板如圖放置,點F為BC的中點,AG=1,BG=3,則CH的長為__________.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)如圖,某數學興趣小組想測量一棵樹CD的高度,他們先在點A處測得樹頂C的仰角為30°,然后沿AD方向前行10m,到達B點,在B處測得樹頂C的仰角高度為60°(A、B、D三點在同一直線上).請你根據他們測量數據計算這棵樹CD的高度(結果精確到0.1m).(參考數據:≈1.414,≈1.732)20.(6分)今年深圳“讀書月”期間,某書店將每本成本為30元的一批圖書,以40元的單價出售時,每天的銷售量是300本.已知在每本漲價幅度不超過10元的情況下,若每本漲價1元,則每天就會少售出10本,設每本書上漲了x元.請解答以下問題:(1)填空:每天可售出書本(用含x的代數式表示);(2)若書店想通過售出這批圖書每天獲得3750元的利潤,應漲價多少元?21.(6分)如圖,已知⊙O經過△ABC的頂點A、B,交邊BC于點D,點A恰為的中點,且BD=8,AC=9,sinC=,求⊙O的半徑.22.(8分)在□ABCD,過點D作DE⊥AB于點E,點F在邊CD上,DF=BE,連接AF,BF.求證:四邊形BFDE是矩形;若CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分∠DAB.23.(8分)由我國完全自主設計、自主建造的首艘國產航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務.如圖,航母由西向東航行,到達處時,測得小島位于它的北偏東方向,且與航母相距80海里,再航行一段時間后到達B處,測得小島位于它的北偏東方向.如果航母繼續航行至小島的正南方向的處,求還需航行的距離的長.24.(10分)計算:(﹣2)3+(﹣3)×[(﹣4)2+2]﹣(﹣3)2÷(﹣2)25.(10分)已知:如圖,點A,F,C,D在同一直線上,AF=DC,AB∥DE,AB=DE,連接BC,BF,CE.求證:四邊形BCEF是平行四邊形.26.(12分)已知AC,EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線,點E在△ABC內,∠CAE+∠CBE=1.(1)如圖①,當四邊形ABCD和EFCG均為正方形時,連接BF.i)求證:△CAE∽△CBF;ii)若BE=1,AE=2,求CE的長;(2)如圖②,當四邊形ABCD和EFCG均為矩形,且時,若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值;(3)如圖③,當四邊形ABCD和EFCG均為菱形,且∠DAB=∠GEF=45°時,設BE=m,AE=n,CE=p,試探究m,n,p三者之間滿足的等量關系.(直接寫出結果,不必寫出解答過程)27.(12分)如圖,正方形OABC繞著點O逆時針旋轉40°得到正方形ODEF,連接AF,求∠OFA的度數
參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、C【解析】
根據不等式的性質得出x的解集,進而解答即可.【詳解】∵-1<2x+b<1∴,∵關于x的不等式組-1<2x+b<1的解滿足0<x<2,∴,解得:-3≤b≤-1,故選C.此題考查解一元一次不等式組,關鍵是根據不等式的性質得出x的解集.2、D【解析】
解:因為AB是⊙O的直徑,所以∠ACB=90°,又⊙O的直徑AB垂直于弦CD,,所以在Rt△AEC中,∠A=30°,又AC=3,所以CE=AB=,所以CD=2CE=3,故選D.本題考查圓的基本性質;垂經定理及解直角三角形,綜合性較強,難度不大.3、B【解析】
由∠AGE=∠CHE=90°,∠AEG=∠CEH可證明△AEG∽△CEH,根據相似三角形對應邊成比例求出GH的長即BD的長即可.【詳解】由題意得:FB=EG=2m,AG=AB﹣BG=6﹣1.5=4.5m,CH=CD﹣DH=9﹣1.5=7.5m,∵AG⊥EH,CH⊥EH,∴∠AGE=∠CHE=90°,∵∠AEG=∠CEH,∴△AEG∽△CEH,∴==,即=,解得:GH=,則BD=GH=m,故選:B.本題考查了相似三角形的應用,解題的關鍵是從實際問題中抽象出相似三角形.4、D【解析】
先求出點M到x軸、y軸的距離,再根據直線和圓的位置關系得出即可.【詳解】解:∵點M的坐標是(4,3),
∴點M到x軸的距離是3,到y軸的距離是4,
∵點M(4,3),以M為圓心,r為半徑的圓與x軸相交,與y軸相離,
∴r的取值范圍是3<r<4,
故選:D.本題考查點的坐標和直線與圓的位置關系,能熟記直線與圓的位置關系的內容是解此題的關鍵.5、B【解析】試題解析:從正面看是三個矩形,中間矩形的左右兩邊是虛線,故選B.6、C【解析】試題分析:根據軸對稱圖形的概念:如果一個圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做軸對稱圖形.據此對圖中的圖形進行判斷.解:圖(1)有一條對稱軸,是軸對稱圖形,符合題意;圖(2)不是軸對稱圖形,因為找不到任何這樣的一條直線,使它沿這條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠重合,即不滿足軸對稱圖形的定義.不符合題意;圖(3)有二條對稱軸,是軸對稱圖形,符合題意;圖(3)有五條對稱軸,是軸對稱圖形,符合題意;圖(3)有一條對稱軸,是軸對稱圖形,符合題意.故軸對稱圖形有4個.故選C.考點:軸對稱圖形.7、B【解析】【分析】由EF∥BC,可證明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性質即可求出S△ABC的值.【詳解】∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∵AB=3AE,∴AE:AB=1:3,∴S△AEF:S△ABC=1:9,設S△AEF=x,∵S四邊形BCFE=16,∴,解得:x=2,∴S△ABC=18,故選B.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質,熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解本題的關鍵.8、A【解析】∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴∠C+∠EDC=90°,∠FDE+∠EDC=90°,∴∠C=∠FDE,同理可得:∠B=∠DFE,∠A=DEF,∴△DEF∽△CAB,∴△DEF與△ABC的面積之比=,又∵△ABC為正三角形,∴∠B=∠C=∠A=60°∴△EFD是等邊三角形,∴EF=DE=DF,又∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴△AEF≌△CDE≌△BFD,∴BF=AE=CD,AF=BD=EC,在Rt△DEC中,DE=DC×sin∠C=DC,EC=cos∠C×DC=DC,又∵DC+BD=BC=AC=DC,∴,∴△DEF與△ABC的面積之比等于:故選A.點晴:本題主要通過證出兩個三角形是相似三角形,再利用相似三角形的性質:相似三角形的面積之比等于對應邊之比的平方,進而將求面積比的問題轉化為求邊之比的問題,并通過含30度角的直角三角形三邊間的關系(銳角三角形函數)即可得出對應邊之比,進而得到面積比.9、C【解析】
根據基本作圖的方法即可得到結論.【詳解】解:(1)弧①是以O為圓心,任意長為半徑所畫的弧,正確;(2)弧②是以P為圓心,大于點P到直線的距離為半徑所畫的弧,錯誤;(3)弧③是以A為圓心,大于AB的長為半徑所畫的弧,錯誤;(4)弧④是以P為圓心,任意長為半徑所畫的弧,正確.故選C.此題主要考查了基本作圖,解決問題的關鍵是掌握基本作圖的方法.10、D【解析】分析:根據圖象得出相關信息,并對各選項一一進行判斷即可.詳解:由圖象可知,在賽跑中,兔子共休息了:50-10=40(分鐘),故A選項錯誤;烏龜跑500米用了50分鐘,平均速度為:(米/分鐘),故B選項錯誤;兔子是用60分鐘到達終點,烏龜是用50分鐘到達終點,兔子比烏龜晚到達終點10分鐘,故C選項錯誤;在比賽20分鐘時,烏龜和兔子都距起點200米,即烏龜追上兔子用了20分鐘,故D選項正確.故選D.點睛:本題考查了從圖象中獲取信息的能力.正確識別圖象、獲取信息并進行判斷是解題的關鍵.11、D【解析】
主視圖是從前向后看,即可得圖像.【詳解】主視圖是一個矩形和一個三角形構成.故選D.12、A【解析】解:設矩形的長和寬分別為a、b,則a+b=7,ab=12,所以矩形的對角線長====1.故選A.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、【解析】原式=.14、2.54×1【解析】【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數.確定n的值時,要看把原數變成a時,小數點移動了多少位,n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時,n是正數;當原數的絕對值<1時,n是負數.【詳解】2540000的小數點向左移動6位得到2.54,所以,2540000用科學記數法可表示為:2.54×1,故答案為2.54×1.【點睛】本題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數,表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.15、1.【解析】試題分析:根據分式的值為0的條件列出關于a的不等式組,求出a的值即可.試題解析:∵分式a2∴a2解得a=1.考點:分式的值為零的條件.16、100(1+x)2=121【解析】
根據題意給出的等量關系即可求出答案.【詳解】由題意可知:100(1+x)2=121故答案為:100(1+x)2=121本題考查一元二次方程的應用,解題的關鍵是正確找出等量關系,本題屬于基礎題型.17、【解析】
過點A作AD⊥y軸,垂足為D,作BE⊥y軸,垂足為E.先證△ADO∽△OEB,再根據∠OAB=30°求出三角形的相似比,得到OD:OE=2∶,根據平行線分線段成比例得到AC:BC=OD:OE=2∶=【詳解】解:如圖所示:過點A作AD⊥y軸,垂足為D,作BE⊥y軸,垂足為E.∵∠OAB=30°,∠ADE=90°,∠DEB=90°∴∠DOA+∠BOE=90°,∠OBE+∠BOE=90°∴∠DOA=∠OBE∴△ADO∽△OEB∵∠OAB=30°,∠AOB=90°,∴OA∶OB=∵點A坐標為(3,2)∴AD=3,OD=2∵△ADO∽△OEB∴∴OE∵OC∥AD∥BE根據平行線分線段成比例得:AC:BC=OD:OE=2∶=故答案為.本題考查三角形相似的證明以及平行線分線段成比例.18、【解析】
依據∠B=∠C=45°,∠DFE=45°,即可得出∠BGF=∠CFH,進而得到△BFG∽△CHF,依據相似三角形的性質,即可得到=,即=,即可得到CH=.【詳解】解:∵AG=1,BG=3,∴AB=4,∵△ABC是等腰直角三角形,∴BC=4,∠B=∠C=45°,∵F是BC的中點,∴BF=CF=2,∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DFE=45°,∴∠CFH=180°﹣∠BFG﹣45°=135°﹣∠BFG,又∵△BFG中,∠BGF=180°﹣∠B﹣∠BFG=135°﹣∠BFG,∴∠BGF=∠CFH,∴△BFG∽△CHF,∴=,即=,∴CH=,故答案為.本題主要考查了相似三角形的判定與性質,在判定兩個三角形相似時,應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件,以充分發揮基本圖形的作用.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、這棵樹CD的高度為8.7米【解析】試題分析:首先利用三角形的外角的性質求得∠ACB的度數,得到BC的長度,然后在直角△BDC中,利用三角函數即可求解.試題解析:∵∠CBD=∠A+∠ACB,∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°,∴∠A=∠ACB,∴BC=AB=10(米).在直角△BCD中,CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7(米).答:這棵樹CD的高度為8.7米.考點:解直角三角形的應用20、(1)(300﹣10x).(2)每本書應漲價5元.【解析】試題分析:(1)每本漲價1元,則每天就會少售出10本,設每本書上漲了x元,則每天就會少售出10x本,所以每天可售出書(300﹣10x)本;(2)根據每本圖書的利潤×每天銷售圖書的數量=總利潤列出方程,解方程即可求解.試題解析:(1)∵每本書上漲了x元,∴每天可售出書(300﹣10x)本.故答案為300﹣10x.(2)設每本書上漲了x元(x≤10),根據題意得:(40﹣30+x)(300﹣10x)=3750,整理,得:x2﹣20x+75=0,解得:x1=5,x2=15(不合題意,舍去).答:若書店想每天獲得3750元的利潤,每本書應漲價5元.21、⊙O的半徑為.【解析】
如圖,連接OA.交BC于H.首先證明OA⊥BC,在Rt△ACH中,求出AH,設⊙O的半徑為r,在Rt△BOH中,根據BH2+OH2=OB2,構建方程即可解決問題。【詳解】解:如圖,連接OA.交BC于H.∵點A為的中點,∴OA⊥BD,BH=DH=4,∴∠AHC=∠BHO=90°,∵,AC=9,∴AH=3,設⊙O的半徑為r,在Rt△BOH中,∵BH2+OH2=OB2,∴42+(r﹣3)2=r2,∴r=,∴⊙O的半徑為.本題考查圓心角、弧、弦的關系、垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造直角三角形解決問題.22、(1)見解析(2)見解析【解析】試題分析:(1)根據平行四邊形的性質,可得AB與CD的關系,根據平行四邊形的判定,可得BFDE是平行四邊形,再根據矩形的判定,可得答案;(2)根據平行線的性質,可得∠DFA=∠FAB,根據等腰三角形的判定與性質,可得∠DAF=∠DFA,根據角平分線的判定,可得答案.試題分析:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD.∵BE∥DF,BE=DF,∴四邊形BFDE是平行四邊形.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四邊形BFDE是矩形;(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC,∴∠DFA=∠FAB.在Rt△BCF中,由勾股定理,得BC===5,∴AD=BC=DF=5,∴∠DAF=∠DFA,∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質,利用了平行四邊形的性質,矩形的判定,等腰三角形的判定與性質,利用等腰三角形的判定與性質得出∠DAF=∠DFA是解題關鍵.23、還需要航行的距離的長為20.4海里.【解析】分析:根據題意得:∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80海里,在直角三角形ACD中,由三角函數得出CD=27.2海里,在直角三角形BCD中,得出BD,即可得出答案.詳解:由題知:,,.在中,,,(海里).在中,,,(海里).答:還需要航行的距離的長為20.4海里.點睛:此題考查了解直角三角形的應用-方向角問題,三角函數的應用;求出CD的長度是解決問題的關鍵.24、-17.1【解析】
按照有理數混合運算的順序,先乘方后乘除最后算加減,有括號的先算括號里面的.【詳解】解:原式=﹣8+(﹣3)×18﹣9÷(﹣2),=﹣8﹣14﹣9÷(﹣2),=﹣62+4.1,=﹣17.1.此題要注意正確掌握運算順序以及符號的處理.25、證明見解析【解析】
首先證明△ABC≌△DEF(ASA),進而得出BC=EF,BC∥EF,進而得出答案.【詳解】∵AB∥DE,∴∠A=∠D,∵AF=CD,∴AC=DF,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF,∴BC=EF,∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF,∴四邊形BCEF是平行四邊形.本題考查了全等三角形的判定與性質與平行四邊形的判定,解題的
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