我優I力爭

1.難易分明，決:不耗時；

2.慎于審題，戾不懊悔；

3.必求規范，決:不失

4.細心運算，決:不犯錯；

5.提防陷阱，決:不上當；

6.愿慢求對，戾不快錯；

7.遇新不慌，決:不急躁；

8?$^之7等c9決不落伍；

gaokaojiayou

CollegeentranceeMaminationrefueling

這一次的加冕，R為拼搏的人生

2021屆高婺（學考前最1

高中界知識4集高考數學知識大

經過緊張有序的高中數學總復習，高校招生考唾各

來臨，不少同學認為高考數學的成敗已成定局。其實不然.

只要我們講究高考數學應試的藝術，高考數學成績還是能

提高一個檔次，取得滿意的效果?’1.

應試策略

教師寄語

、

一.集合

1.★★★★解集合小題時，遇到集合，先看代表元素是什么？

再確定集合表示的是數集（解集、定義域、值域等）還是點

集？務必注意代表元素的限制條件；

【例1】已知集合4={xcZ|W<5},=x-2>01,則

A^B=(C)

A.(2,5)B.[2,5)C.{2,3,4}D.{3,4,5}

ii\

【方法點睛】此題由于沒有注意到代表元素XEZ而誤選B的

同學不少！正整數集：N*或N、,自然數集：N,整數集：Z,

有理數集：Q,實數集合：R.

【例2】若集合M=}|y=x；xG〃卜N={川y=x+2,xw7?}/

則MfW=(A)

A.[0,+oo)B.(一oo,+oo)C.0D,{(2,4),(-1,1))

小r

【方法點睛】求兩函數的值域的交集，不少同學誤以為求兩

曲線的交點而選D,比較：若集合加={(兀歹)|歹=/,工￡尺卜

N={(x,y)|歹=x+2,XE火},則A/riN=(D)

A.[0,+oo)B.(-oo,+oo)C.0D?{(2,4),(7"

【例3】已知函數y=/(x),xe[a,b],那么集合

{(x,y)1y=/(x),xn{(x,y)|x=2}中元素的個數為

(C)

A.1A.0C.0或1D.1或2

八\,

【方法點睛】部分同學看不懂題意，無從下手，容易蒙出答

案D,實質上是沒有弄清兩個集合的代表元素，事實上，

={y[y=/(x)},{(x,y)|y=〃x)}分別表示函數

y=/(X)的定義域、值域、函數圖象上的點的坐標組成的集合.

本題中集合的含義正是兩個圖象交點的個數，從函數值的唯

一性可知，兩個集合的交點最多有一個交點，故選C.

2.★★★應用條件，切勿忽略2=0的情況；

3.★注意利用==4等價轉化；

【例4】①已知集合已={x|ox=l},B=1x|x2-2x-3=0j,

若貝必的可能值為；

【答案】當ZW0時\得。二1或—1；當/=0時，得q=0,所

3

以q=L或q=-1或4=0；

3

②已知集合4=卜卜2cxv5},3={x[p+l<xv2p-l},若

AUB=Af則實數P的取值范圍是.

若已知集合48,當/門5=0時，注意到“極端”情況：A=0

或8=0；

4.★★★★數形結合是解集合問題的常用方法：解題時要盡

可能地借助數軸、直角坐標系或韋恩圖等工具，將抽象的代

數問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數形結合的思想

方法解決；

||\一

5.★★集合｛q,外,…,凡｝的子集個數共有2〃個，真子集有2〃-1

個，非空子集有2〃-1個，非空真子集有2〃-2個；

6.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

7.★★★元素和集合之間用4任連接，集合和集合之間用u,

u,U連接；特別要注意在立體幾何中證明位置關系時的寫法,

一定是點￡或右線，點￡或右面，線U或U或2面;

二卜技3則下列關系中

【例5】設集合/二/_240bm=2°,

正確的是（D）

V

A.mu/B.mAC.D.{"?}(=4葉"

8.★★★切勿將集合的“交運算”認為是“并運算”，一定

要看清題干；

二.復數、常用邏輯用語

9.★概念：奉賈宇飛教學

S&圖片到手機x國回稱

(!)z=a+bieR。b=O(a,bw7?)<=>z=z<=>z2>0；

(2)z=a+4是虛數<=>/?w0(a,6wR)；

(3)z=a+bi是純虛數<=>4=0且bw0(。,be7?)<=>z+z=0

(zw0)oz2<0；

(4)a+bi=c+dia=cH.c-deR)；

A

【例6】以下有四個命題：(1)兩個共加復數的差是純虛數;

(2)若zeC,貝！Jn220；(3)若wC,且%—z2>0,貝!J4>z2;

22

(4)(Z|-Z2)+(Z2--?3)=0?則2]=4=23；

其中正確的有個.

【解析】(1)錯，設互為共輾復數的兩個復數分別為Z=4+bi

及亍=a-bi(a.bwR),則z-T=2抗或亍一z=-26,，當6n0時,

z—T工一z是純虛數，當6=0時，z-z=0,z-z=0；

(2)錯，反例設z=/?則/=/=_]<()；

(3)錯，反例設N1=3+/*2=2+3滿足Z]-Z2=l>0,但4/2

Ii\

不能比較大小，只有他們的模才能比較大小；

(4)錯，設Z|=l,z2=/,z,=-1,M(z(-z2)-+(22-z3)~=0,

但它們并不相等.故答案是0個.

10.★★★復數的代數形式及其運算：設馬=a+A,

z?=c+di(a,b,c,dwR),則：

(1)z,±z2=(a±c)+(Z>±J)z；

(2)Z]?z2=(q+4)?(c+di)=(QC-6d)+(ad+be)i；

(3)五二產+(Z-0)；

z2(c+di)(c-di)c~+d~c~+d~?

11.★★復數Z=67+bi的模：Z=Q+bi\=yja2+b2,要與絕對

值分清楚；

12.★★★幾個重要的結論：

(1)(I±/)"=±2/；

z\1+i.1-z.

(2o)------=i,-------=-I；

1-z1+/

?4/1+21：4〃+3

(3)i〃性質：7=4；嚴=1,i,I=—I,

：4n.：4〃+1.：4〃+2.：4〃+3八

【例7】【2011年高考遼寧卷】7?為虛數單位，1+4+1+!=

i戶戶,7

(A)

A.0B.2zC.-2/D.4i

13.★★★復數z=o+6i的實部是q,虛部是力，而不是bi；

14.★復數z=a+bi的共加復數是』=q-bi；

15.★★★復數z=q+4.在平面內對應的點為(。力)，而不是

(a,bi),也不是(b,q)；

【例8】【2016高考新課標n卷】已知z=（〃?+3”（而-印在

復平面內對應的點在第四象限，則實數機的取值范圍是（A）

A.(-3,1)B.(-1,3)C.(l,+oo)D.(-00,-3)

w+3>0

【解析】要使復數z對應的點在第四象限應滿足,解hn

w-1<0

得-3〈用＜1,故選A.

4\

16.★★★命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不

變，僅否定結論‘所得命題”，但否命題是“既否定原命題的

條件作為條件，又否定原命題的結論作為結論的所得命題”；

【例9】【2015年高考浙江卷】命題“V〃eN*,/(〃)￡?/*且

的否定形式是()

A.￡N*且〃

B.wN*,/(〃)￡N*或〃〃)>"

C.N*且/(%)>%

D.加￡N*,/(〃o)￡N*或/色)>/

【解析】根據全稱命題的否定是特稱命題，可知選D.

17.★★★★★充要條件的判定可利用集合包含思想判定：

若/q8,則/是xw3的充分條件，若43B,則XE/是

8的必要條件，即小范圍可以推出大范圍，但是大范圍推

不出小范圍；若ZqB且2=5,即/=△,則xw/是的

充要條件.有時利用“原命題”與“逆否命題”等價「期起題”

與“否命題”等價轉換去判定也很方便;

【例10】命題甲：xw2或，工3；命題乙：x+yw5,則（）

A.甲是乙的充分非必要條件

B.甲是乙的必要非充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

【解析】為了進行判斷，首先需要構造兩個命題：甲=＞乙，

乙n甲.但是，這兩個命題都是否定性的命題，正面入手較

為困難.考慮到原命題與逆否命題的等價性，可以轉化為判

u\r

斷其逆否命題是否正確.“甲n乙”，即“xw2或yw3"=>

“x+yw5”，其逆否命題為：“x+y=5"="x=2且y=3”,

顯然不正確.同理，可判斷命題“乙n甲”為真命題，故選B.

18.★★★充要條件的問題要十分細心地去辨析「哪個命題”

是“哪個命題”的充分（必要）條件；注意區分：“甲是乙的

充分條件（甲=乙）”與“甲的充分條件是乙（乙n甲）“，是

兩種不同形式的問題；

【例11]集合尸={1,2,3,4},0={X￡“0<工<5},則“工￡尸”

是“xcQ”的條件.

【答案】充分不必要

【例12】設有集合M={^y)\x2+y2>2],

N={(xj)|y-x>2),則點P￡M的條件是點用忑群;

點、PwM是點、PwN的條件.

【解析】集合M是圓/+>?=2外的所有點的集合，N是直線

y=x+2上方的點的集合，顯然有NqM.(充分不必要、必

要不充分)

【例13】【重慶市中山外國語學校2019屆高三上學期開學考

試】過拋物線V=4x焦點的直線與拋物線交于43兩點，與

圓口-1)2+必=/2交于0。兩點，若有三條直線滿足

\AC\=\BD\,貝什的取值范圍的必要條件是(D)

「3、、

A.re(0,1]B.re(1,2]C.rG—,4D.rG—,+OO

L2)y2)

【解析】①斜率不存在及斜率為0時顯然不滿足題意；

②當直線與x軸不垂直時，設直線/:x=〃9+1,

與。二4工聯立，得/一4my-4=0,

設力（司，必），6（與，乃），。（七，乃），。（勺，必），因為|47|二忸

所以凹一%二為一M，即乂一月二為一乂，

可得4，帆2+1=丁2/一,則尸=2（加2+1）>2,

J〃戶+1V7

即r>2時，/僅有三條，又/w-,+<?u（：Z,+oo),故選D.

[2>

川

19.★★★「▽夕，P八夕

(1)用“或”字連接的兩個命題(或條件)，記為zq,可

看作“并集”，其真假性判斷為“一真則真，全假則假”；

(2)用“且”字連接的兩個命題(或條件)，記為小,可

看作“交集”，其真假性判斷為“一假則假，全真則真”；

20.★全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞一一“所有的”、“任意一個”等，用V表示；

全稱命題〃：VxeM,p(x),全稱命題〃的否定」p：

3XOGA/,-i/?(x0)；

(2)存在量詞—“存在一個”、“至少有一個”等，用三表

不：特稱命題p：3x0GA/,p(x0)；特稱命題p的否定—1p：

VXG

【例14］已知命題p:3%oA0,2%=3,貝ij(B)

A.:Vx<0,2’w3B.」p:Vx20.2'w3

C.-i/?:3x0>0,2'豐3D.:3x0<0,2'#3

【注意】不少同學誤選A.

【例15】寫出命題“對任意一個實數都有一的

否定是__________

【解析】很多同學很容易錯寫成：存在一個實數x,都有

—^-<0；而原命題的反面是：存在一個實數x,使得

2x+5

_!_<o或」_沒有意義，而不是簡單地把“」—>o”

2x+52x+52x4-5

的范圍取補集變成“一!一wo"，所以原命題的否定應該是:

2x+5

“存在一個實數x,使得」一<0或2x+5=0"，或“存在一

2x+5

個實數x,使得2x+540”.

三.函數、導數及其應用、定積分(理)

21.★★★★★基本初等函數的圖像與性質：

(1)指數函數：y=ax(a>O,a^})；

(2)對數函數：y=logux(a>0,67^1)；

(3)嘉函數：y=x°(aeR)；(4)正弦函數：y=sinx；

(5)余弦函數：y=cosx；(6)正切函數：y=tanx；

(7)一元二次函數：y=ad+bx+c(a工0)；

(8)其它常用函數：

①正比例函數：y=h(AwO)；②反比例函數:、=為工0)；

X

小

③對勾函數：y=x+—(a>oy

HL]------2i

(9)分數指數需：a"=",a"=二，

(以上a>O,W￡N',且〃>1)；

(10)@ah=N。log”N=b；②log,,(W)=log,,M+log,N；

③1og“與=log“M-log“N；?logib"=—log,力；

Nam

(II)對數的換底公式：log0N=3鼠電；對數恒等式：

bg”,。

『用"'=N；logb=--—；

leerzr

22.★★★★★作函數圖象時我們應該要注意以下幾點：①

定義域；②值域；③單調性；④周期性；⑤對稱性（奇偶性）;

⑥漸近線；⑦特殊點（比如與坐標軸的交點、最值點）；⑧極

限；

【注意】

（1）函數的對稱性

①對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函

數的定義域要關于對稱軸（或對稱中心）對稱；

②軸對稱的等價描述：

i\.】

/（q-x）=/（a+x）o/（x）關于x=q軸對稱（當a=0時,恰

好就是偶函數）；

/（6Z-X）=/（6+X）<=>/（X）關于x=■軸對稱；

在已知對稱軸的情況下，構造形如/（。-X）=/e+X）的等式

只需注意兩點，一是等式兩側/前面的符號相同，且括號內X

前面的符號相反；二是。）的取值保證X=*9為所給對稱軸

即可,例如：/（可關于x=l軸對稱n/（x）=/（2r）,或得

到/（3—x）=〃—l+x）均可，只是在求函數值方面，一側是

/（x）更為方便；

③/（X+4）是偶函數，則/（/+〃）=/（—X+Q）,進而可得到：

/（X）關于X=4軸對稱；

要注意偶函數是指自變量取相反數，函數值相等，所以在

/(x+a)中，x僅是括號中的一部分，偶函數只是指其中的x取

相反數時，函數值相等，即〃x+q)=/(r+a),要與以下的

命題區分：

若/卜)是偶函數，貝|/(x+a)=/[—(x+。)}/(x)是偶函數

中的x占據整個括號，所以是指括號內取相反數，則函數值相

等，所以有/(X+Q)="-(x+〃)];本結論也可通過圖像變換

來理解，+是偶函數，貝！J/G+Q)關于R=o軸對稱，而

小一

/（X）可視為/（x+a）平移了M個單位（方向由4的疔號決定力

所以〃力關于x=〃對稱；

④中心對稱的等價描述：

-x）=-/（a+x）o/（x）關于（凡0）軸對稱（當4=0時，恰

好就是奇函數）；

/?L\

/'（〃一工）=一/'（力+X）<=>/'（X）關于----,0軸對稱；

I2）

在已知對稱中心的情況下，構造形如一（a-x）=-/S+X）的等

式同樣需注意兩點，一是等式兩側/和X前面的符號均相反；

二是凡b的取值保證x=i為所給對稱中心即可，例如：

2

/(X)關于(-1,0)中心對稱n/(x)=—/(-2-x),或得到

〃3-力=-〃-5+6均可，同樣在求函數值方面,一側是/(x)

更為方便；

⑤/(x+a)是奇函數，則/(x+a)=-/(-x+a),進而可得到:

/(力關于(凡0)軸對稱;

要注意奇函數是指自變量取相反數，函數值相反，所以在

/（X+Q）中，X僅是括號中的一部分，奇函數只是指其中的X取

相反數時，函數值相反，即/（x+q）=/（-x+4）,要與以下的

命題區分：

若是奇函數，貝!]/（x+/（.丫）是奇函數

中的x占據整個括號，所以是指括號內取相反數，則函數值相

反，所以有〃x+，）=-/--（工+。）];本結論也可通過圖像變

ii\

換來理解，〃x+a）是奇函數，!M/（x+a）關于（0,0）中心對稱，

而/（X）可視為〃x+a）平移了同個單位（方向由a的符號決

定），所以/（x）關于（40）對稱；

（2）函數周期性的判定：

①f（x+a）=/（x+b）：可得/（可為周期函數,其周期7=也-小

②/。+4）=-/（工）=/（工）的周期丁=2a；

【注意】遇到此類問題，如果一個等式難以推斷周期，那么

可考慮等間距再列一個等式，進而通過兩個等式看能否得出

周期；

③/(x+a)=；=/(x)的周期7=2a；

JI")

@f(x)+f(x+a)=k(k為常數)=>f(x)的周期7=2〃；

⑤f(x)，〃x+a)=%(左為常數)n/(x)的周期T=2a；

⑥雙對稱出周期：若一個函數〃x)存在兩個對稱關系，則

/(X)是一個周期函數，具體情況如下：(假設力>〃)

若“X)的圖象關于x=a,x=6軸對稱，則“X)是周期函數，

周期7=2仕-苗；

若的圖象關于3。),(40)中心對稱，則/(x)是周期函數,

周期T=2(b—a)；

若/(x)的圖象關于x=a軸對稱，且關于(A0)中心對稱，則

/(x)是周期函數，周期丁=4(力-〃)；

【例16】求函數/(、)=/的圖象與直線/(力=2、的交點個數.

【錯解】2個.

【錯因】忽視指數函數與需函數增減速度快慢對作圖的影

響.我們在解題時應充分利用函數性質，畫準圖形，不能主

觀臆造，導致圖形“失真”，從而得出錯誤的答案.

【正解】作圖可得在區間（TO）有一個交點，還有（2,4）,（4,16）

這兩個交點，共3個，還可以通過零點存在性定理進行判斷;

23.★★★你知道函數y=ax+2（a>0力>0）的單調區間嗎？

（該函數在和上單調遞增；在0和

7

0,J-上單調遞減這可是一個應用廣泛的函數！）；

如果變成2<0,此時函數的圖象會畫嗎？（雙撇函數）;

【例17】函數y二:三的最小值為

【答案】--

2

【錯解】2,錯因：可化得y=Jx2+4+/=22,而此時等

yjx2+4

號不能成立.

24.★★★求解與函數、不等式有關的問題易忽略定義域優

先（求值域、單調區間、判斷奇偶性、解不等式等等）；

【例18】【2015年高考湖北卷】函數〃同=占田+

1g：二二51+6的定義域為()

x-3

A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

【解析】由函數y=/(x)的表達式可知，函數/("的定義域

應滿足條件：4-g0,廠一“十"o,解之得—ya,x>2,

1x-3

xw3,即函數/(x)的定義域為(2,3)U(3,4],故應選C.

小一

【例19】【2007年高考遼寧卷】函數歹=1（^卜2_5》+6）的單

2

調增區間為（D）

（51/、（5、/、

A.—,+8B.（3,+8）C.~oo,—D.（一8,2）

）\2）

【方法點睛】求復合函數單調區間一般步驟是：①求函數的

定義域；②作出內層函數的圖象；③用“同增異減”法則寫

單調區間.解此類題通常會出現以下兩類錯誤：是忽窺定

義域；二是“同增異減”法則不會或法則用錯.

【例20n2010年高考北京卷】已知函數/(x)=ln(l+x)-x+

1x2(^>0),求〃x)的單調區間.

2

【解析】u(x)=xgl),xwGi,”)，

■\+x

當〃=0時，/(x)=—」一,所以，在區間(一1,0)上，/(x)>0；

II"X

在區間(0,+8)上，/(x)<0,故〃x)的單調遞增區間是(-1,0),

單調遞減區間是(0,+8)；

當0〈4vl時，由/(X)=x(2+%一1)=0,

\-k

得X］=0,x2=—^―>0,所以在區間（一1,

/,(x)>0；在區間(0,上上，/'(x)<0,故/(x)的單調遞增

kkj

區間是(-1.0)和(“,+8］，單調遞減區間是(0、*］；

\k)<kJ

v-2

當％=1時，/(x)=」二，故/(X)的單調遞增區間是(-1,+8b

_

當%>1時,f(x)=x(：+%0Q,得$=1-Ae(i?o)?x2=0?

所以在區間j-和(0,+8)上，尸(x)>0,在區間(上上0、

\k)kk>

i\一

單調遞減區間是

IkJ

25.★★★對于含參數的函數，研究其性質時，一般要對參

數進行分類討論，全面考慮.如對二次項含參數的二次函數問

題，應分〃=0和〃工0兩種情況討論，指、對數函數的底數含

有字母參數。時，需按4>1和0<。<1分兩種情況討論；

【例21］若不等式辦2+X+4<0的解集為0,貝IJ實數。的取值

范圍（D）

A1T1

A.a<--或aN—B.a<—C.->-<<7<2D.a>—

22222

【方法點睛】同學們要對一元二次不等式與二次函數的圖象

之間的關系好好理解.

【例22】若對于任意工￡夫，都有(/〃-2)必—2(〃7—2b—4<0恒

成立，則實數機的取值范圍是.

【答案】(-2,2],錯誤原因：容易忽視加=2.

【例23>-4〈4v0”是“函數丁=心-狂-1恒為負值”的一條

件.

小「

【錯解】充要條件，錯因：忽視攵=0時，＞=-1符合題意.

【正解】充分非必要.

26.★★★恒成立問題，求字母。的范圍，特別注意;能否取

一tJJ.J

到端點的值；

27.★★求閉區間上的函數的最值，只需比較端點的函數值

和極值點的函數值的大小，特別注意求三角函數的值域；

28.★★★復合函數對自變量的導數等于已知函數對中間變

量的導數，乘以中間變量對自變量的導數，即匕、乂'2；

小

29.★★★用導數研究函數的單調性，不要忘記了函數的定

義域；

30.★★★★函數的極值點不是一個點，而是使函數取得極

值時的x的值，同時，函數的零點不是一個點，而是函數圖像

與x軸交點的橫坐標或對應方程的根；

【例24】函數/(x)=lnx-2x的極值點為.

【答案】1

i\二

31.★★★求函數單調性時，易錯誤地在多個單調區間之間

添加符號“U”，單調區間不能用“U”連接，但是定義域，

取值范圍則可以；單調區間不能用集合或不等式表示，必須

用區間；

32.能推出/(x)為增函數，但反之不一定，

如函數/")=■?在(_甩+8)上單調遞增，但尸(x)NO,所以

r(x)>0是/(X)為增函數的充分不必要條件；對于在定義域

內的連續函數/(X),廠(%)=0不能說明/=%為其極值點,

小

x=x0為極值點也不能說明/(x0)=0,必須在定義域內處處可

導才能說明尸(%)=0;

【例251已知函數/(x)=——依在區間口,+8)上是增函數，

則。的取值范圍是.

【答案】(-8,4

【例26]已知函數〃%)=卜2+赤+2)e',(acR),若/(x)在火

上單調，求。的取值范圍.

【解析】有題意知/(x)=e[x2+g+2)x+a+2],

小r

考慮到/>0恒成立且/系數為正，

所以/(X)在H上單調等價于/+(a+2)x+a+2?0恒成立，

所以(q+2)—4(a+2)40,所以—2W夕W2,

即Q的取值范圍是[-2,2].

33.★★切線問題中要注意切點的位置；

【例27】已知曲線/(x)=2.——3x,過點M(0,32)作曲線/'(x)

的切線，求切線方程.

【錯解】由導數的幾何意義知左=/'（0）=-3,所以曲線的切

線方程為歹二-3工+32.

【錯因】點M（0,32）根本不在曲線上，忽視切點位翼致錨可N

【正解】設切點坐標為N（xo,2x；-3xo）,則切線的斜率

〃=八%）=64-3,故切線方程為y=（6x：—3）x+32,又因為

點N在切線上，所以2只-3%=（6片一3卜。+32,解得小=-2,

所以切線方程為y=2b+32.

【注意】導數的幾何意義是過曲線上該點的切線的斜率，應

注意此點是否在曲線上.

34.★定積分的幾何意義——面積的代數和，而不是指面積;

3乃

如S豐［2sinxtZx=1；

Jo

【例28］如圖，由曲線y=sinx,x=0,工二^乃與工軸圍成的

陰影部分的面積是.

【答案】3.

A

_yf77777K>

7Q“7

35.★要會運用定積分的可加性;

0

廠，XC[0,1]

【例29】設〃x）=1（討則門⑴仆

一,X€

【答案】-

四.三角函數、解三角形

36.★三角函數定義：角a終邊上任一點（非原點）P（x,y）,

xy

設OP=r?則sina=-cosa=—,tana=—；

rfrx

d\

37.★★★誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符號看象限”

_、（八兀、（-l）3sina,〃為偶數

正弦、余弦的誘導公式：sin——+a=\

IJ（-1）虧cosa,〃為奇數

（n兀}（一1戶cosa,〃為偶數

cos——+。=4

、

'i2）［（,一1）三"+isina/為奇數

如cosa+—=-sincr,cos（〃-a）=-cosa；

38.★★★等式兩邊約去一個式子時，注意要考查約去的式

子是否為零.不等式兩邊同時乘以、除以一個式子時一定要

考察它是大于零，還是小于零，還是等于零；

【例30】【2018年北京市H?■一學校高考零模】在△/3C中，

角4艮。的對邊分別為且滿足主人=堊二，求角力的

acosA

大小；

【解析】因為空心=竺二，所以（2c-b）-cos/=a-cos4,

acos/

由正弦定理,得(2sinC-sinB)cosA=sinA-cosB,

整理得2sinC?cosN-sinB?cosZ=sin4?cosB，

所以2sinC?cos/=sin（X+B）=sinC?

★★★在△43。中，sinCwO,所以cos4=,，

2

★★★又因為力￡（0,不），所以4=。?

39.★★三角函數求值，注意“土”號的取舍；

40.★★★注意答案是〃還是2%乃（對于基本正余弦函數來

說，求單調區間時用2日，求對稱軸及對稱中心時用）br）;

【例31】函數yncos?卜+的單調增區間是（A）

，刀■）（7T）

A.〃萬,一+kjr,keZB.—+k兀、k兀+jr,keZ

k2J12>

C.（2攵江,乃+2%4），kwZD.（2左乃+4,2攵；r+2/r）,keZ

[:方法點睛】先用倍角公式化簡，對于基本正余弦函數來說,

求單調區間時用2%乃.

41.★★在三角恒等變形中的三種變換（變角、變名、變式

子結構），要特別注意角的各種變換，如尸=（。+￡）-。，

^=2—?P=邛-a）+a,---=oc-----P等；

22k27V27

【例32】【2。”年高考浙江卷】若。“十一＞＜。,

1714)_百

cos工+一一,cos------,則cosa+(C)

47342)32J

A,在「5G

B.D.

3399

71、71(3、

【解析】cosa+21一

2J=cos14+aJ了一N

(7t、(71、(n/3、

=cos——bacos+sin——\-asin-----,

4747(42)

A

而巴+a￡衛-紇

442

rpi.LU.(71\2A/2.(710、V6

因此sm—+a=-----，sin———=——,

U)3<42)3

(/3\\62應瓜5后

則milcosa+—=—x——+x——=.

I2)33339

42.★在弧度制下弧長公式和扇形面積公式/=閩〃,

S用佗=Lr=—ar2；

扇形22

43.★★★重要公式

sin(a±夕)=sinacos/?±cosasin/3；

cos(cr±/?)=cosaCOST夕sinasin夕；

tana±tan0

tan(cr±/?)=

1干tanatan/3

變形：tana±tan(3=tan(a±/?)(1+tan6Ztan/?)；

sin2a=2sinacosa；-C賈宇飛數字

cos2a=cos-a-s\n~a=2cos?a-\=\-2sirra；

1+cos2a.1-cos2a

cos2a=------------,sin2a=-------------；

22

(sina±cosa)一=1±2sinacosa=I±sinla；

44.★★★欲求三角函數的周期、最值、單調區間等，應注

意運用二倍角正(余)弦公式，降累公式，即：sii?x=匕業二

小一

cos2x=1-COs2-；引入輔助角（特別注意巴，工經常弄錯）

236

使用兩角和、差的正弦、余弦公式（合二為一），將所給的三

角函數式化為y=Zsin（0x+e）+5的形式，運用輔助角公式

osinx+lcosxuja，十/sin（x+p）時,不要把中間的“土”搞

錯了，也不要把巴，工兀,弄錯了，還要記得tan°=2；

6336a

45.★★★寫單調區間時，注意不要掉了左￡Z；

小一

46.★★當自變量x的取值受限制時，求函數歹=^sin(Gx+e)

的值域，應先確定0%+0的取值范圍，再利用三角函數的圖像

或單調性來確定sin(Ox+°)的取值范圍，并注意4的正負；千

萬不能把x取值范圍的兩端點代入表達式求得；

(兀、

【例33】【2017年高考山東卷】設函數f(x)=sincox--

k6)

+sincox---,其U」Ov0<3.已知f—=0._二貫于一’?沏字

I2)⑸

A

(I)求G;

(II)將函數y=/(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2

倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平哈個單位，得到

函數y=g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值.

【解析】(I)因為/(、)=sincox----+sin

I6；

V3.1V3.3

所以/(x)——sincox——coscox-coscox=——S11169X——COSCOX

2222

由題設知/—=0,所以空■一三=k兀,keZt

（6）63

故。=6左+2,kJZ,又0＜。＜3,所以。=2.

(II)由(I)得f(x)=百sin2x--,

I3J

n

所以g(x)=GsinXH------

43J

rpi、［兀3兀KI穴穴27r

因為t一了不，所以工一石￡一下三，

當了三二-半即x=-?時，g（x）取得最小值f

47.★★★三角形中邊角運算時通常利用正弦定理、余弦定

理轉化為角（或邊）處理，有關。力,。的齊次式（等式或不等

式），可以直接用正弦定理轉化為三角式；當知道△力4c三邊

a,Ac平方的和差關系，常聯想到余弦定理解題；正弦定理應

記為‘一二‘一=」=2R（其中R是外接圓半徑）；

sinAsinBsinC

【例34】【2017年高考新課標I卷】A48c的內角4年。的對

2

邊分別為。,b,c,已知△"(?的面積為‘一.

3sinA

(1)求sin5sinC；

(2)若6cos4cosc=1,〃=3,求△45。的周長.

【解析】(1)由題設得Lacsin8=，一，即_1。5吊4二」一,

23sinA23sinJ

由正弦定理得,sin(?sin4=量且■,故sinAsinC=—.

23sinJ3

(2)由題設及(1)得

121

cos(Z?+C)=cosBcosC-sinBsinC=——三=—

632

所以6+c=女，故4=￡.

33

由題設得，bcsin4='一，即歷=8.

23sin4

由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(6+C)2-36C=9,得

b+c=y/33.故△48。的周長為3+后.

48.★★★在。中：a>b<=>A>B<^>s\nA>sinB；

sin(8+C)=sin力，cos(^+C)=-cosJ,cos^=sin—,

22

sin"￡=cos4,若三角形三內角4反C成等差數列，則

22

B=~,互補的兩個角正弦值相等，余弦值及正切值互為相反

3

數，互余的兩個角一個角的正弦值等于另一個角的余弦值等

常用的結論須記住；

【例35］（1）已知三邊〃也c成等差數列，求3的范圍;

（2）己知△48c三邊a,6,c成等比數列，求4的范圍.

【解析】（I）由△48。的三邊。也。成等差數列，則2b=〃+c,

a?3（q~+）i

cos8=---------------,消去b化得cos4=-------------------

2acSac4

6ac11

N------=一，所以8e0,—

Sac42I3

【例36】【2002年高考上海卷】在44BC中，若

2cosZ?sinA=sinC,則△44C的形狀一定是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

【解析】在△1中：

sinC=sin(/+B)=sinAcos13+cosAsinB=2cos/?sinA,

則sin4cos5-cos/sin3=0,即sin(4—5)=On力=B,

所以是等腰三角形，故選C.

[例37][2018屆吉林省吉林市高三第三次調研】銳角△/日7

中，角4民C對邊為a,b,c,(/j2-a2-c2)sin(^+C)

=y/3accos(A+C).

(1)求力的大小；

(2)求代數式號上的取值范圍.

a

【答案】(1)-(2)>/3<—<2

3a

【解析】(1)因為〃=/+/-2accos5,

所以-c2=-2accosB,

代入-a?-c])sin(8+C)=JJQCCOS(4+C),

得：-2cos^sin(5+C)=V3cos(J+C),

A

所以2cos4sin4二百cosB,

因為△48C是銳角三角形，所以cosBwO,

所以sin4=—，^=—；

23

(2)因為/二生，所以。=紅—8,

33

所以：

..(2;ry3y/3

sm^+sin+B-sinZ?+—cos^/、

b+c

：------------U-』=2-----------2——=2sinB+工

asin4sin^16)

3

0<2?<—0<B<-

乃c"

<2,<2,明以—<B<—，

cc乃c2乃_7t62

0<C<—0<------B<—

2I32

冗n712乃y/3.(_%crni/Tb+C.

—<Bt—<—.—<sinBT—Wl,J火以J3V------W2.

3632v6Ja

【方法點睛】

(1)求生上的取值范圍時，可根據正弦定理將問題轉化為形

a

如y=4sin(ox+°)的函數的取值范圍的問題解決，這是在解

三角形問題中常用的一種方法，但在解題中要注意確定角

S+0的范圍.

（2）解答本題時要注意“銳角三角形”這一條件的運用，根據

此條件可的求得〃+￡的范圍，然后結合函數的圖象可得

6

sin]A+工]的范圍，以達到求解的目的.

k6J

五.數列

49.★★★數列｛4｝是等比數列，其前〃項的和S”是關于q的

嗎,<7=1

分段函數S〃=%。—4〃），在求和過程中若公比不是具

I"q

A

體數值時，則要進行討論；

50.★★★★★已知數列的前〃項和S〃，求數列的通項公式時,

Sn=I

要注意分段當4滿足/=S〃-S5（心2）

時，才能用一個公式表示；

【例38］已知數歹U｛q〃｝的前〃項和S〃=（。一2）"2+;7+Q.若｛。〃｝

是等差數列，求｛為｝的通項公式.

【解析】

證明一個數列是等差數列或是等比數列，要從等差、等比數

列的定義出發，等差、等比數列的性質不能作為證明的理由.

由二（。-2）〃2+""知，上=1時,q=S[=2a—1,

當〃之2時，%=S〃_S〃T=2（q_2）〃+（3_q）,

所以當〃22時，an+]-an=2（d?-2）,而生一q=o-4,

若數列｛%｝是等差數列，貝|2（"2）="4,所以q=0,

所以。〃=一4〃+3.

小r

【例39】【2019年全國II卷黑白卷（黑卷）】若數列｛4｝滿足

4+4%+7%+...+（3〃一2）=（〃一1）4〃旬+2對〃￡恒成義《

且｛4｝的前〃項和為S”，則使方程沁，-16）=2019成立.的所有

正整數〃的集合是.

【答案】｛5｝

【解析】因為q+4/+7%+…+（3〃-2）《,二（〃-1）42+2對

neN.恒成立，

則有〃)。”]二(〃-)A對〃恒—成

41+4%+7%+...+(3-524"+2N2

立；

兩式相減得(3〃一2)%=[(4〃-4)一(〃一2)[4〃=(3〃-2)4〃對

2成立，即。“=4"(〃22)：

當〃=1時，由q+41+7/+..?+(3〃-2)。”=(〃-1)4""+2可得

4=2,與上式矛盾，所以勺=，21=1

于是有S“=q+%+%+…+。”=2+4?+4'+…+4"

n+,

=2+上」=4-10由方程33s“—16)=2019,化簡可

得4〃”=4096=46,所以〃=5,所以所有正整數〃的集合是｛5｝.

51.★★在等比數列｛4｝中，。［聲0國工0,且4，%,生…同號，

…同號；

52.★★在等差