高中數學第一章-集合

考試內容：

集合、子集、補集、交集、并集.

邏輯聯結詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：

(1)理解集合、子集、補集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包

含、相等關系的意義；掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合.

(2)理解邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關系；掌握充

分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡易邏輯知識要點

一、知識結構：

本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法(集合化簡)、簡易邏輯三部分：

二、知識回顧：

(一)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質：

①任何一個集合是它本身的子集，記為A=4；

②空集是任何集合的子集，記為。UA；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果AuB,同時BaA，那么A=8.

如果B=C,那么A=

［注］:①Z=｛整數｝(J)Z=｛全體整數｝(X)

②已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(X)(例：S=N；A=N+,

則QA=｛0｝)

③空集的補集是全集.

④若集合4=集合8,則CB4=0,CAB=0CS(CAB)=L>(注：CA?=0).

3.①{(x,y)\xy=0,xGR,yWR}坐標軸上的點集.

②{(x,y)|xy<0,xGR,y^R}二、四象限的點集.

③{(x,y)|xy>0,x^R,y^R］一、三象限的點集.

［注］:①對方程組解的集合應是點集.

例：［x+y=3解的集合((2,1)}.

［2x-3y=\

②點集與數集的交集是。.(例：A={(x,y)|y=x+l}B={y|y=*+1}則ACB=0)

4.①〃個元素的子集有2"個.②〃個元素的真子集有2"一1個.③〃個元素的非空真子

集有2"-2個.

5.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題。逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題。逆否命題.

例：①若〃+匕*5,則a#2或8#3應是真命題.

解：逆否：a=2且6=3,則a+6=5,成立，所以此命題為真.

②xN1且y關2,=^>X+.VH3.

解：逆否：x+y-3x=1或y=2.

二.XHI且"2石工+"3,故x+yx3是xw1且y豐2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若x>5,=>x〉5gitxY2.

4.集合運算：交、并、補.

交：{JC|XGA,JLxeB}

并：=A或xeB}

補：C「A={xeU,且xWA}

5.主要性質和運算律

(1)包含關系：

A胃A,①1A,AaU4A口U,

(2)等價關系：AuBoAnB=AoAUB=B=品AUS=U

(3)集合的運算律：

交換律：An8=BnAAU8=8UA

結合律：(An8)nC=An(8nC);(AU8)UC=AU(BUC)

分配律:.Ar)(5UC)=(AD5)U(AnC)；AU(5nC)=(AU8)n(AUC)

0-1律：①口4=①，①UA=A,UnA=A,UUA=U

等累律：AnA=A,AUA=A

求補律：AnCiA=4>AUCvA=U口GU=e口5e=1]

反演律：Cu(ACB)=(GA)U(GB)G(AUB)=(GA)n(GB)

6.有限集的元素個數

定義：有限集A的元素的個數叫做集合A的基數，記為card(A)規定card(。)=0.

基本公式：

⑴card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A^\B)

(2)card(AU8UC)=card(A)+card(B)+carJ(C)

-card(Ap|B)-carc/(BQC)-carc/(CQA)

+card(A^\B

(3)card(DiA)=card(U)-card(A)

(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法(零點分段法)

①將不等式化為a0(x-xJ(x-X2)…(x-xJ>0(<0)形式，并將各因式x的系數化“+”；(為

了統一方便)

②求根，并在數軸上表示出來；

④若不等式(x的系數化“+”后)是“〉0”，則找“線”在x軸上方的區間；若不等

式是“<0”，則找“線”在x軸下方的區間.

?--------0-------0------------------------------------------jv—----------------------------------i-------->

X]X.X。n-3一廠『2X-_TX

46

(自右向左正負相間)

則不等式g%"+。1/-1+?/-2+...+冊>0(<0)(%>0)的解可以根據各區間的符號

確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax'boxXKa>。)解的討論.

A>0A=0A<0

二次函數

y=ax2+bx+c

的圖象3

(?>0)

1X1=X2X[Z

一元二次方程

有兩相異實根有兩相等實根

ax2+bx+c=0b

X=X=

xi,x2(xl<x2)\2~~無實根

(a〉0X勺根2a

ax2+匕x+c>0b

（x|x<x1gJu>x2}<xx^----->

（。>0）的解集2aR

ax2+0x+c<0

[xj%,<x<x2}0

（。>0）的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標準化：移項通分化為/?〉()(或/?<0)；/也》o(或/也<°)的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

/刖)>嗡之=腐瞥。

(2)轉化為整式不等式(組)>0=002

g(x)

3.含絕對值不等式的解法

(1)公式法：［ar+4<c,與麻+4>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點分區間法”分類討論.

(3)幾何法：根據絕對值的幾何意義用數形結合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax"+bx+c=0(a#0)

(1)根的“零分布”：根據判別式和韋達定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數圖象，用數形結合思想分析列式解之.

(三)簡易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯結詞、簡單命題與復合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞；不含有邏輯聯結詞的命題是簡單

命題：由簡單命題和邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是復合命題。

構成復合命題的形式：P或q(記作“pVq”)；P且q(記作“pAq”);非P(記

作“1q”)。

3、“或”、“且”、“非”的真值判斷

(1)“非P”形式復合命題的真假與F的真假相

反；

(2)“p且q”形式復合命題當P與q同為真時

為真，其他情況時為假；

(3)“p或q”形式復合命題當p與q同為假時

為假，其他情況時為真.

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q：逆命題：若q則P；

否命題：若rP則rq；逆否命題：若rq則IP。

(1)交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題：

(2)同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題：

(3)交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系：（原命題O逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知p=q那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若p=>q且q=>p,則稱p是q的充要條件，記為pOq.

7、反證法：從命題結論的反面出發（假設），引出（與已知、公理、定理…）矛盾，從

而否定假設證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數學第二章-函數

考試內容：

映射、函數、函數的單調性、奇偶性.

反函數.互為反函數的函數圖像間的關系.

指數概念的擴充.有理指數累的運算性質.指數函數.

對數.對數的運算性質.對數函數.

函數的應用.

考試要求：

（1）了解映射的概念，理解函數的概念.

（2）了解函數單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性、奇偶性的方法.

（3）了解反函數的概念及互為反函數的函數圖像間的關系，會求一些簡單函數的反函數.

（4）理解分數指數基的概念，掌握有理指數系的運算性質，掌握指數函數的概念、圖像和

性質.

（5）理解對數的概念，掌握對數的運算性質；掌握對數函數的概念、圖像和性質.

（6）能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題.

§02.函數知識要點

一、本章知識網絡結構:

一定義F:A—?B

反函數

映射L研究圖像

性質

函數一

二次函數

J■具體函數?指數T旨數函數

無t數一對■數函數

二、知識回顧:

(-)映射與函數

1.映射與--映射

2.函數

函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因

為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數

才是同一函數.

3.反函數

反函數的定義

設函數y=/(x)(xeA)的值域是c,根據這個函數中x,y的關系，用y把x表

示出，得到x=Q(y).若對于y在C中的任何一個值，通過x=0(y),x在A中都有唯一

的值和它對應，那么,x=e(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數，這樣的函數x=°(y)

(yeC)叫做函數y=/(x)(xeA)的反函數，記作x=/T(y)，習慣上改寫成

y=f''M

(二)函數的性質

1.函數的單調性

定義：對于函數f(X)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值X1,X2.

⑴若當XKX2時，都有f(X|)<f(X2),則說f(x)在這個區間上是增函數；

⑵若當XKX2時，都有f(X》f(X2),則說f(x)在這個區間上是減函數.

若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格

的)單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.

2.函數的奇偶性

偶函數的定義：如果對于函數f(X)的定義域內任意一個X,都有

f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數.

f(力是偶函數◎。=。。倪=VG)W0)

奇函數的定義：如果對于函數f(x)的定義域內任意一個X,都有

f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數.

/(力是奇函數O/(-x)=-/W。=0O察=一10區*0)

/W

正確理解奇、偶函數的定義。必須把握好兩個問題：

(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數/(X)為奇

函數或偶函數的必要不充分條件；(2)或

/(-X)=-/(X)是定義域上的恒等式。

2.奇函數的圖象關于原點成中心對稱圖形，偶函數

的圖象關于y軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性。

3.奇函數在對稱區間同增同減；偶函數在對稱區間增

減性相反.

4.如果/(x)是偶函數，貝!|f(x)=/(|x|),反之亦成立。

若奇函數在x=0時有意義，則/(。)=。°

7.奇函數，偶函數：

⑴偶函數：/(-%)=/(%)

設(a/)為偶函數上一點，則(-a,b)也是圖象上一點.

偶函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于)，軸對稱，例如：y=，+l在工-1)上不是偶函數.

②滿足/(-x)=/(x),或/(-x)-/(x)=O,若/'(X)HO時，=1.

/(-X)

⑵奇函數：f(-x)=-f(x)

設(a,b)為奇函數上一點，則(-a-b)也是圖象上一點.

奇函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于原點對稱，例如：y=x3在［1,-1)上不是奇函數.

②滿足/(-x)=-/(x),或/(-x)+/(x)=O,若/(x)*0時，-^-=-1.

/(-X)

8.對稱變換：①y=/(x)例對稱>y=/(_x)

@y=fCx)前對稱>)，=_/(x)

③y寸(X)原點對稱>y=_/(_.)

9.判斷函數單調性(定義)作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：

?2Xx

/(x,)-/(x2)=7^-^+fe=-^l'^L

在+廬+局+匕2

在進行討論.

10.外層函數的定義域是內層函數的值域.

X

例如：己知函數f(x)=1+的定義域為A,函數*(x)］的定義域是B,則集合A與

1-x

集合B這間的關系是.

解：/(x)的值域是/(/(x))的定義域8,/(x)的值域eR,故86/?,而4=卜|》#1},故BnA.

11.常用變換：

①/U+y)=fMf(y)<=>f(x-y)=.

f(y)

證：，(x-y)=鳥=/(x)=f[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f(x)

②,/(-)=f(x)-f(y)of(x-y)=f(x)+f(y)

y

Y_Y

證：/(x)=,f(—y)=/(-)+/(y)

yy

12.⑴熟悉常用函數圖象：

例：尸2同一|x|關于y軸對稱.

值域{y|yH2,ywR}f值域#x前的系數之比.

（三）指數函數與對數函數

a>l0<a<l

對數函數產/og然的圖象和性質：

對數運算：

k)g〃(M-N)=k)g“M+k)gaN⑴

M

log”—=log“M-log”N

N

nI2)

logaM=nloga(±M)

logVA7=-\ogM

ana

Jog〃N=N

換底公式：log"N=W?

推論：log”Z?logoc-log(,a=1

nlog的"2?log”？■?log%T%=log%冊

(以上MA0,N?0,a〉0,aNl,bA0,bwl,c〉0,cwl,a”a2…an>0且。1)

y

圖

象O

X-1_一尹vl

(1)定義域：(0,+8)

(2)值域：R

（3）過點（1,0）,即當x=l時，y=0

性

質（4）x￡（0,l）時y<0—0,1）時y>0

XG（1,+00）時y>0%￡（1,+8）時丁<0

(5)在(0,+8)上是增函數在(0,+8)上是減函數

注⑴：當a,Z?YO時，log(a-b)=log(-a)+log(-Z>).

(2)：當MAO時，取“+”，當〃是偶數時且MYO時，MnO,而MYO,故取“一”.

22

例如：logflx*21ogaxv(21ogaxx>0Wlogox+x￡R).

⑵y=a”(aAO,ax1)與y=logax互為反函數.

當時，y=log。x的a值越大，越靠近x軸；當OYaYl時，則相反.

(四)方法總結

(1).相同函數的判定方法：定義域相同且對應法則相同.

⑴對數運算：

log”(M?N)=log0M+logaN⑴

M

log”—=log.M一log”N

N

I2)

log“M"=nloga(±M)

log?'4M=-log?M

n

'N=N

換底公式：log。N='&上

log。。

推論：log.h?logbc?logca=1

=>log%的.log%%?log”“T%=log%%

(以上MAO,NMO,a>0,a關l,bx0,b^l,c>-0,c^l,a,,a2...an>-0且H1)

注⑴：當”,"Y0時,log(a-b)=log(-a)+log(-Z>).

(2)：當M〉o時，取“+”，當〃是偶數時且MYO時，M"?0,而"Y(),故取“一”.

例如：log“x2w2k>g"X；(21og“x中x>0而log。》？中x6R).

(2)y=ax(a>0,awl)與y=k>g"x互為反函數.

當a"l時，y=k>g"X的。值越大，越靠近x軸；當0Y4Y1時，則相反.

⑵.函數表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數法.

(3).反函數的求法：先解X,互換x、y,注明反函數的定義域(即原函數的值域).

(4).函數的定義域的求法：布列使函數有意義的自變量的不等關系式，求解即可求得函數

的定義域.常涉及到的依據為①分母不為0;②偶次根式中被開方數不小于0;③對數的真數

大于0,底數大于零且不等于1;④零指數幕的底數不等于零：⑤實際問題要考慮實際意義

等.

(5).函數值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；

⑤不等式法；⑥函數的單調性法.

(6).單調性的判定法:①設X-x2是所研究區間內任兩個自變量，且x,<x2；②判定f(X1)

與fix?)的大小；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關

系：①f(-X)=f(x)為偶函數；f(-x)=-f(x)為奇函數;②f(-x)-f(x)=0為偶:f(x)+f(-X)=0

為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；f(x)+f(-x)=T為奇函數.

(8).圖象的作法與平移：①據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數的

圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函數的圖象與對稱性描繪函數圖象.

高中數學第三章數列

考試內容：

數列.

等差數列及其通項公式.等差數列前n項和公式.

等比數列及其通項公式.等比數列前n項和公式.

考試要求：

(1)理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，并

能根據遞推公式寫出數列的前幾項.

(2)理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實

際問題.

(3)理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實

際問題.

§03.數列知識要點

等差數列等比數列

-a=d

定義n=q(q00)

冊

遞推公a=勺i+d；a=a_+tnd

nnmn%=冊-聞；a”=冊""'"

式

通項公a=a+(n-T)d

n]ciu—ci(〃]，4工0)

式

中項A_G=±yla_a(〃“_*"〃+&>0)

12nkH+k

Qn,kwN"(n,kwN*k>D)

前n項S"=^(?i

na](q=\)

和

S"=<式工±叱嗎*2)

,n(n-D

Sc,,="4+2d\-q\-q

重要性

質

atn+an=ap+p、qwN”,atn-an=a〃?%(”,〃,p,q￡N",〃z+〃=p+q)

m+n=p+q)

1.⑴等差、等比數歹U:

等差數列等比數列

定義{*}為A?Poa-a=d(常數)

n+in｛an｝^JGP。視巴=以常數）

%

通項公

〃“=〃1+(n-l)d=ak+(n-k)d=dn+a]-d。〃=q/T=4尸

式

求和公"(%+a“)〃(〃一1)叫(q=1)

s”=---!-----=nad--------a

式2]12

叫(1一/')=a「a“q9=]

=!〃2+(%一1)〃Sn='

\-q\-q

中項公a+b_.22

A=2推廣：2%=a“_?,+4+G-aho推廣：a=axQ]

式1n

性1

質若m+n=p+q貝!Jam4-an=ap+aq若m+n=p+q,則aman=apaqo

2

若伏“｝成A.P（其中3eN）則｛氣｝若伏“｝成等比數列（其中心eN）,

也為A.P。

則｛%｝成等比數列。

3

.Sn,s2n-sn,s3n-s2n成等差數列。S"，s2n-sn,一52"成等比數列。

4

a—a,a—a_ann-m_冊

d=------=------(m豐n)q--，q--

n-1m-n

(mw〃)

5

⑵看數列是不是等差數列有以下三種方法:

①%-=d（〃N2,d為常數）

②2an=4用+an_x（H>2）

③4〃=kn+b（〃/為常數）.

⑶看數列是不是等比數列有以下四種方法：

①冊=4T4（〃之2,q為常數,且w0）

②=an+l-an_i（n>2fanan+xan_｝#0）0

注①：i.b=y[ac,是〃、b、c成等比的雙非條件，即8=b、c等比數列.

ii.b=yfac（〃c>0）-為〃、b、c等比數列的充分不必要.

iii.b=±y/f為a、b、c等比數列的必要不充分.

iv.b=且acAOf為〃、b、。等比數列的充要.

注意：任意兩數。、c不一定有等比中項，除非有比>0,則等比中項一定有兩個.

③冊=cq"（c,q為非零常數）.

④正數列｛%｝成等比的充要條件是數列｛bg/〃｝（XA1）成等比數列.

“=。|（〃=1）

⑷數列｛冊｝的前〃項和S”與通項〃〃的關系：。〃=彳/

[注]:①a“=”]+（〃-lW=〃4+（a「d）（〃可為零也可不為零一為等差數列充要條件（即常數

列也是等差數列）f若d不為0,則是等差數列充分條件）.

②等差｛”“｝前〃項和S“==+（q_曰>一日可以為零也可不為零一為等差

的充要條件~若〃為零，則是等差數列的充分條件；若“不為零，則是等差數列的充分條件.

③寺零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）

2.①等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的居倍

Sk?S2k_Sk,s3k_S2k…;

S幺于a〃

②若等差數列的項數為2〃（〃eN+）,則S偶一S奇f=7^；

3偶an+\

③若等差數列的項數為2〃-l（〃eN+）,則且S奇-5他="“，互=」_

S偶〃T

n代入"到2〃-1得到所求項數.

3.常用公式：①1+2+3…+〃=”"）

2

②]2+2,32+…”2=幽土咽刊

③P+23+33…〃3

[注]:熟悉常用通項：9,99,999,=10"-1；5,55,555,...=>a?=j(10n-1).

4.等比數列的前"項和公式的常見應用題：

⑴生產部門中有增長率的總產量問題.例如，第一年產量為。，年增長率為廣，則每年的產

量成等比數列，公比為1+r.其中第“年產量為”(l+r)"T,且過"年后總產量為：

a+a(l+r)+a(l+r)2+...+<z(l+r)n-1=―"+，)].

l-(l+r)

⑵銀行部門中按復利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存“元，利息為，【每月利息按

復利計算，則每月的。元過"個月后便成為a(l+r)”元.因此，第二年年初可存款：

a(l+r)12+a(1+r)"+a(l+r)10+...+q(l+r)=4。+>口_"+')_1.

l-(l+r)

⑶分期付款應用題：“為分期付款方式貸款為。元；優為初個月將款全部付清：「為年利率.

a(l+1■)",=x(l+r)“i+⑷+…A(1+r)+x=a(l+r)"1=才。+，)----=x="'1+')_

r(l+r)m-1

5.數列常見的幾種形式：

⑴。"+2=。。〃+1+網”(P、q為二階常數)-用特證根方法求解.

具體步驟:①寫出特征方程-=Px+q(x2對應a“+2,x對應”“+]),并設二根X1，》2②若》產了2

可設>若X]=X2可設。“=(Cj+C2")X；；③由初始值〃1，“2確定。1，。2.

⑵“，尸Pa,i+r(尸、「為常數)f用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n

nX

轉化為冊+2=尸〃”+1+的”的形式，再用特征根方法求?an=C\+c2P~(公式法)，C1,C2

由a\,a2確定.

①轉化等差，等比：a?+|+x=P{an+x)=>an+i=Pan+Px-x^>x=---.

JP—1

②選代法：an=Pa?_{+r=P(Pan_2+r)+r=…=。“=(%+白)=(q+x)P"T-x

=P"Tai+P"-2丁+…+pr+廠.

③用特征方程求解："用二0""+『

?相減，n?n+l-a?=P??-Pa?_l=>a?+l=(P+l)a“一Pa11T

n

④由選代法推導結果：c尸‘一，c2=a1+-^—,all=c2P-'+cl=(.al+-^—')+

\—PrP—11—P

6.幾種常見的數列的思想方法:

⑴等差數列的前〃項和為s“，在dYO時，有最大值.如何確定使S”取最大值時的〃值，有

兩種方法：

一是求使冊YO,成立的"值；二是由$“=3〃2+(9-3)”利用二次函數的性質求"

的值.

⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前"項和可依

照等比數列前n項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：…⑵

242"

⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第

一個相同項，公差是兩個數列公差4,么的最小公倍數.

2.判斷和證明數列是等差(等比)數列常有三種方法：(1)定義法:對于n22的任意自然數,

驗證an-anA巴」)為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法：驗證

2%+i=a?+a?_2=a/,")“eN都成立。

a>0

3.在等差數列｛%｝中，有關Sn的最值問題：⑴當外>O,dvO時，滿足4mm八的項數m

L?w(+1W0

a<0

使得%取最大值.(2)當為<0,d>0時，滿足<妨m的項數m使得％取最小值。在解含絕

&+1N°

對值的數列最值問題時，注意轉化思想的應用。

(三)、數列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。

2.裂項相消法:適用于[」一]其中｛是各項不為0的等差數列，c為常數；部

分無理數列、含階乘的數列等。

3.錯位相減法:適用于｛0/“｝其中｛%｝是等差數列，俗〃｝是各項不為0的等比數列。

4.倒序相加法：類似于等差數列前n項和公式的推導方法.

5.常用結論

\-〃("+1)

1):1+2+3+…+n=------

2

2)l+3+5+...+(2n-l)=n2

']]2

3)l3+23+---+n3=-n(n+l)

4)I2+22+32+---+n2=-rt(?+l)(2n+l)

11111/1

-------———-----——(------

n{n+1)nn+1n(n+2)--2n〃+2

6)——=---(-----)(p<q)

pqq-ppq

高中數學第四章-三角函數

§04.三角函數知識要點

1.①與a(0。=aV360。)終邊相同的角的集合(角a與角￡的終邊重合)：

加|￡=0x360。+a,丘Z}

y

32

②終邊在x軸上的角的集合：[IA=kxl80°Mez}sinxsi/tx

③終邊在y軸上的角的集合：物|%x180°+90°入z}

cosx'cosx

14

④終邊在坐標軸上的角的集合：\p\^=kx90°,ksz]sinxsinx

23

⑤終邊在尸軸上的角的集合：物|￡=A:xl80°+45°,k€z}

51MCOS三角函數值大小關系圖

L2,3、4表示第一、二、三、

四象限一半所在區域

⑥終邊在y=-x軸上的角的集合：物|￡=-180。-45。,我z}

⑦若角a與角夕的終邊關于x軸對稱，則角”與角夕的關系：a=360°k-/3

⑧若角a與角夕的終邊關于y軸對稱，則角”與角夕的關系：。=360*+1800-〃

⑨若角a與角夕的終邊在一條直線上，則角a與角夕的關系：a=180*+〃

⑩角a與角夕的終邊互相垂直，則角a與角夕的關系：a=360°2+4±90。

2.角度與弧度的互換關系：360。=2乃180。=41°=0.017451=57.30。=57。18，

注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.

、弧度與角度互換公式：1m(1=身2°心57.30°=57°18-1°=2L^0.01745(rad)

n180

11°

3、弧長公式：/=|(7|-r-扇形面積公式：s扇形=/〃=51。卜/

6、三角函數線

正弦線：MP;余弦線：OM正切線:

AT.

7.三角函數的定義域:

三角函數定義域

f(x)=sinx{x|xeR}

f(x)=cosx{x\xeR}

f(x)=taruR且xk/r+^7r,kE：

/(x)=cotx{x\xeRSJC#hr,kwZ}

f(x)=secx\x\xeR且x*k7t+—九、k

I2J

f(x)=esex{x|XG7?JzLrwki,kwz}

cosa

8、同角三角函數的基本關系式：*=tana------=cota

cosasina

tanacota=1cscasina=1secacosa=

sin2a+cos2a=1?1se2ca-tan-2a=?1esc2er-cor2a=?1

9、誘導公式:

把錚a的三角函數化為a的三角函數，概括為:

“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數的公式：（一）基本關系

公式組二公式組三

公式組一

sinx.22.尤

sinx?cscx=1tanx=sinx+cosx=\sin(2^+x)=sinxsin(-x)=-sin

cosx

cos(2攵〃+x)=cosxcos(-x)=cosx

cosx?2

cosx?secx=lcot產——1t+tan-x=sec'xtan(2攵4+x)=tanxtan(-x)=-tanx

sinx

cot(2^+x)=cotxcot(-x)=-cotx

tanx?cotr=11+cot2.x=csc2x

公式組四公式組五公式組六

sin(乃+犬)=-sinxsin(2^-x)=-sinxsin(^-x)=sinx

cos(%4-x)=-cosXcos(2%-x)=cosxcos(%-x)=-cosX

tanOr+x)=tanxtan(2萬一x)=—tanxtan(^-x)=-tanx

cot(zr+x)=cotxcot(24-x)=-cotxcot(^--x)=-cotx

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos(a+6)=cosacos^-sinasinpsin26z=2sinacosa

222o

cos(a-f3)=cosacos￡+sinasin°cos2a=cos*"a-sina=2cos**cr-1=1-2sina

2tana

sin(a+/?)=sinacosp+cosasin(3tan"=-2

1!-tana

?al-cosa

sin(a-sinacosp-cosasin/3sin——=±.

2112

zc、tana+tan￡a,/1+COS6Z

tan(a+/?)=------------------cos-=±A------------

1-tanatan(32V2

,八、tana-tan￡a,ll-cosasina1-coscr

tan(a-/?)=------------------tan——=±J-------------=-------------=-------------

l+tancrtan/7