高考壓軸題精選+黃岡中學高考數學壓軸100題

1二次函數

2復合函數

3創新性函數

4抽象函數

5導函數（極值，單調區間）一不等式

6函數在實際中的應用

7函數與數列綜合

8數列的概念和性質

9Sn與an的關系

10創新型數列

11數列與不等式

12數列與解析幾何

13橢圓

14雙曲線

15拋物線

16解析兒何中的參數范圍問題

17解析幾何中的最值問題

18解析幾何中的定值問題

19解析幾何與向量

20探究性問題

1.二次函數

1.對于函數/@）=渥+（。+1）尤+'-2（力0）,若存在實數與，使/（”。）=工。成立,則稱/為了（幻的

不動點.

（1）當°=2,0=-2時，求/（幻的不動點；

（2）若對于任何實數。，函數/（幻恒有兩個相異的不動點，求實數。的取值范圍；

（3）在⑵的條件下，若y=/（x）的圖象上A，8兩點的橫坐標是函數/（X）的不動點，且直線

y=kx+--——

-24+1是線段A8的垂直平分線，求實數b的取值范圍.

分析：本題考查二次函數的性質、直線等基礎知識，及綜合分析問題的能力

函數與方程思想

解./（x）=ax2+3+l）x+Z?-2（aw0）,

（1）當a=2力=—2時，/（x）=2%**—X—4

設X為其不動點，即2d一元一4=X,則-21=0.所以4=T，/=2,即/⑴的不動點是一L2.

（2）由/（幻=工得ox?+fex+/?-2=0

由已知，此方程有相異二實根，所以-2）>0,即從-4必+8a>°對任意beR恒成立.

:.、6v0,「.16。2一32。<0：.Q<a<2

，?

,1

（3）設4%,凹）,3（々,％）,直線）‘2片+1是線段A8的垂直平分線，=

b277c八b

Z=------f(%)=xax+bx+b—2=(),/.+x1=—

記A3的中點“（玉>“。），由（2）知‘2a.a

,1bb1

V=KX4---——...----+

M在24+1上，2a2a2/9+1

.a11V2

b==>-

2/+10,1

2Q+一2.2a--a=——

化簡得：”Na，當2時，等號成立.

一我〃「④1

b>----，,bw----,+oo

即4L一4,

一+/]</(一)+“々)

例2己知函數/（"）=加+以一2,若對任意再，々GR且x產4,都有12)2

（1）求實數。的取值范圍；

（II）對于給定的實數”，有一個最小的負數”（"），使得.回M（a），°]時，心小）,都成立,

則當。為何值時，"（"）最小，并求出“（"）的最小值.

"+一]〃.）+/伍）_<X,+XY（X[+%2]J+C+O￥2+c

2卜人以+。內2+bx2

解：（I）??,12J22）12J"2

...X產々，...”0....實數.的取值范圍為（。收）.

2.

2?42

f(x)=ax+4x-2=?|x+-a,顯然〃°)=一2,對稱軸入__,<0

(II),/ka

c4,M(a)e(--,0

-2—v~4，且兒加（叫7

(1)當a,即。<a<2時,

一2±J4—2a

9X=

令ar+4x-2=-4,解得a

-2+J4-2a-2

M(a)

此時取較大的

MG根即a,4-24+2,?/0<a<2,

M(g}=-,—>-l

、'J4—2a+2

-2-->-4M(a)<--且aM(初|=4

(2)當a即時,a,

一2±J4+6”

x=--------------

2此時"（”）取較小的根，即

令ax+4元-2=4解得a

，4+6a+2,

M(a}=-^=^—>-3

a22,>/4+6a—2當且僅當。=2時，取等號.

.?.—3＜—1,.?.當。=2時，”（”）取得最小值一3.

2復合函數

f(x\/(!og((x)=^-X-）

1.已知函數滿足a-1,其中a＞（）,且"1。

對于函數A"）,當%e（T/）時，"1—根）+加一"）＜°,求實數m的取值范圍;

(1)

當xe（-oo,2）時，4%）-4的取值范圍恰為（—,0）,求a的取值范圍。

(2)

a

/(log.x)-2-(x-x-')(tz>0n

解:?2-l且"D

=-a")f(x)=￡(a'—「)

設t=k)g“x,則x=aCl—1a—1

a

當aw(0,1)時，不_]0a

X-X個y=/a）在其定義域上T

a〉0

當ae（l,+8）時，,優個，...y=/⑴在其定義域上T

/.Va>°且都有丁=/（刈為其定義域上的增函數

/(-x)(a~x-a')=-/(%)〃、

2

又a-1/./(為為奇函數

222

(1)當XG(-U)時，/(l-m)+/(l-m)<0A/(1-m)<-/(I-/?)=/(/?-1)

-1<1—<1

-1<〃/一1<1n1<〃？<V2

I-m<m2-I

（2）當xe（-匕2）時，?；尸（x）=/（》）-4在（一8,2）上個，且值域為（一心。）F（2）=/（2）-4=0

a"=4,

az21、4

a=2±V3

a~+1=4。

24-3x

（R）/\y

例2.函數/（%）是-1XG

的反函數，g（町的圖象與函數’x-l的圖象關于直線

y=i成軸對稱圖形，記“x）=/（x）+g（x）。

（1）求尸（力的解析式及其定義域;（2）試問/（*）的圖象上是否存在兩個不同的點A、B,使直線AB

恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由。

22°=年、=電E.../3=lgW(T<x<l)

y=10'+1=

解：⑴iov+1y+l

4-3x

y-------

g（x）的圖象與x-1的圖象關于直線y=x-i成軸對稱圖形

4—3x,3-2x

y------+1=------

...g（x）+l的圖象與.x-1x-i的圖象關于直線y=x對稱

3-2x

y=------

即：g(x)+l是x-1的反函數D-y=3-2x

%-y+3x+31

g(x)+l=g(x)=

(y+2)x=y+3y+2x+2x+2

叱+

F(x)=/(x)+g(x)=1g(-1<X<1)

1+xx+2

1[g1--—-X--1---1--

(2)假設在尸。)的圖象上存在不同的兩點A、B使得儲軸，即ReR使得方程1+xx+2

有兩不等實根

f=_1_-_x_=_jI_|___2__

設1+xX+1,貝”在(一1,1)上J且，>()

1-/1t+\

X=----=----IgZd----=C

1+f,x+2f+3五€區使得方程f+3有兩不等正根

t+1=J)+*

lgf=C_

7+3

2

設W)=lg?),"t+3

lg/=(C-1)H----

由函數圖象可知：VceR方程，+3僅有唯一正根不存在點A、B符合題意。

八=ex-x-\,g(x')=—x2e\

3.設aeR且a*O，e為自然對數的底數，函數f(x)2

(1)求證：當。之1時，/(x)Wg(x)對一切非負實數x恒成立;

(2)對于(0,1)內的任意常數a,是否存在與a有關的正常數%,使得/(”。)>鼠“。)成立？如

果存在，求出一個符合條件的與；否則說明理由.

分析：本題主要考查函數的單調性，導數的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題

的能力.分類討論、化歸(轉化)思想方法

x>00寸,/(x)4g(x)=149/+A(x)-—x2+"+1=>h'(x)-x(a一"—)

解：(1)當2e,令2e'/

Va>1,%>0/.h\x)>0,=>〃(x)在[0,+oo)上單調遞增，

7?(Xo)〉g(Xo)n：x；+岑幻<0

(2)2e⑴，

,、ax+11

Z(JV)=-X2~\-------1

需求一個X。，使(1)成立，只要求出2/的最小值，滿足“x)mm<0，

f(x)=x(a——^-)在(0,—Ina)

/上I

在(-InaM)上?,?.?心心—。)=郛2。+。(，〃+1)-1

—In2(7+4z(ln?+l)-l<0在ae(0,1)

只需證明2內成立即可，

(p[d)=-In2a+a(-Ina+1)-1=>(p\ci)=—(In%)>0=>(p(d)

令22

d9

=(p{d)<69(1)=0=>—Ina+a(-InQ+1)—1<0,

為增函數2

故存在與a有關的正常數與"MaBvavD使⑴成立。

3.創新型函數

1.在R上定義運算軟“⑥"一3（"一（b、c為實常數）。記稔）=*一2。，

,力%,力eR令/(%)=工(%)位￡(%)

_4

(])如果函數〃力）在力=1處有極值一司試確定b、c的值;

(II)求曲線＞=“％）上斜率為c的切線與該曲線的公共點;

(III)記g（x）=|f（切（-的最大值為“.若MX對任意的b、c恒成立，試示女的最大值。

解../(x)=￡(x)③力(x)=-；(Y—3c)(x—38)+4Z?c=—一gX^+bx2+cx+bc./(力=_犬+2法+c

_4

（I）由/（"）在x=l處有極值3,可得

/'⑴=-l+2b+c=0

b=lb=-\

f(l)-——+b+c+bc-——'

㈠33,解得[c=T或c=3

若I。=-1,則,(力=*+2%-l=-(x-1)2?0,此時/(x)沒有極值;

若b=T,c=3,則/'(x)=-f-2x+3=—(x-l)(x+3)。

當X變化時，/（X）、/'（力的變化情況如下表:

0+

極小值單調遞增極大值

單調遞減單調遞減

-12_4

~3

_4

...當x=l是,/（力有極大值故人T，。=3即為所求。

（ii）設曲線丁二人力在x=/處的切線的斜率為j

/"）=—-+次+「，+珈+c=c,即尸_2從=0。解得7=0或/=應

若，=°,則“°）=從，得切點為（%）,切線方程為y=cx+》c；

/(2/?)=—Z?3+3bc(2仇w〃+3bc[y=cx+bc+3b''

33

若》=?,則，得切點為卜A切線方程為30

--x3+Z?x2+cx+bc=cx+bc<^>x3-3bx2=0八

若3,解得百二々二0,七=3〃

則此時切線y=cx+bc與曲線y=/（X）的公共點為（0，歷），（3b,4bc）；

~—x3+bx2+cx+bc=cx+bc+—b3<=>x3-3bx2+4b3=0

⑵若33

解得七?，此時切線L'+p與曲線k,⑺的公共點為V"7+叫,

口,扣）

綜合可知，當匕=0時，斜率為c的切線與曲線丁=/（力有且只有一個公共點（°，°）；當6工0,斜率為

C的切線與曲線，=/（力有兩個不同的公共點，分別為（°，秘）和（3反助C）或口"］"+3歷），

O

（in）g（x）T，（x）l=|-（jf+/+d

⑴當例＞1時，函數y=f'（x）的對稱軸X=b位于區間［T，1］外，/（X）在［T，1］上的最值在兩端點處取

得，故"應是g（T）和g（l）中較大的一個。

...2M2g⑴+g（-1）=|-1+乃+d+|T-?+d?l鋤＞4,即...”＞2

⑵當網41時，函數y=r。）得對稱軸x=b位于區間［TJ之內

此時M=max{g(-l),g(l),g3)}

由r(l)-r(-l)=44有TS)-r(±1)=3m1)220

若一14bW0,貝ijf'(1)<r(-l)<f'(b),g(-l)<max{g(-l),g(。)}

M=max{,(_l)|,，S)|}N〈(|/”)|+/S)|)N<(Y3|_|rs)|)=:s—l)2

于是222

若OWbWl,貝!],，g⑴Wmax{g(-l),g(b)}

M=max{/(—1)|,『3)|}2；(夕(—l)|+|rS)|"g('(—1)|—|八創)=；(b+l)2>g

于是

M>-

綜上,對任意的b、c都有2

/、，1

b=O,c=-g(x)=-x+-M——

而當,2時,在區間IT」上的最大值2

_1_

故對任意的b,c恒成立的k的最大值為萬o

1

x+—

“X）X（x>0）

W-[-]+W+[-]+]

例2.設函數XX，其中國表示不超過x的最大整數，如

[2]=2,[1]=0,[1.8]=1

3

/(-)

(I)求2的值;

（II）若在區間［2,3）上存在x,使得了（X）kk成立,求實數卜的取值范圍；

（IH）求函數7（x）的值域.

32

n3==13

212

[-]=i,[-]=o[-].[]+[-]+(-]+1

解：(1)因為23，所以232」l3J

[x]=2,[-]=0

(II)因為24X<3,所以x

f(X)=—(XH--)f\x)=—(1---)rt，、八

則3x.求導得J3/，當2C<3時，顯然有f(x)>0

f510

所以/（X）在區間［2,3）上遞增，即可得八犬）在區間⑵3）上的值域為6'9,

k>—

在區間［2,3）上存在M使得了⑴"成立，所以一6

2

（III）由于/⑴的表達式關于x與嚏對稱，且x>0,不妨設x>l.

當X=1時，L1,則/⑴W；當X>1時,設x=n+a,neN*,0<?<l,

n+a+------

0/(x)=f(n+a)=---------n±a_

貝盯x]=n,，所以')"1

設g(x)=x+gg，(x)=l-5>0,

/、n4-K〃+a~i--------</?+1H--

g(為在[1,+8)上是增函數，又〃W〃+av〃+l,〃〃+a〃+l,

-n+—1〃+1i+1

〃x)e—-------7^=/?(?eN*,n>2)

〃+ln+\''

當xN2時，L)

當xe(l,2)時，4)=/,故段。，長°)時，/⑴的值域為IIU12U…UInU…

1〃11

n+-2,.+1+—]

a°=-----n-----〃---+--1--,b=-------^±1

設"H+1+〃〃+15+1)2,則/〃=&,bn)

n-2

"[+]—〃=----------------

"("+')("+2),.?.當nN2時，a2=a3<a4<,??<an<,一

又bn單調遞減，,b2>b3>…〉bn>…a2,b2)=12^13*14^???*In^

/]=[《，6J=1,/2=?H)=:,

[,斗U

6'9)_6'4)

IlUI2U-UInU-=IlUI2”

Illj[5g

綜上所述，/(X)的值域為12fL6‘口

例3.我們用minks』,…,s"}和max{邑*2,分別表示實數邑，$2,中的最小者和最大者.

(1)設/(x)=min{sinx,cosx},g(x)=max{sinx,cosx},xe[0,2萬],函數/(幻的值域為A,函數

g(x)的值域為8,求ACB；

(2)提出下面的問題：設外,%,…，%為實數，xeR，求函數

f(x)=ai\x-x]\+a2\x-x2\+---+a?\x-xn\

(*<尤2<…<%eR)的最小值或最大值.為了方便探究，遵循從特殊到一般的原則，先解決兩個

特例：求函數/(制=1》+21+31%+11-1%-11和8。)=1%+1|-4|》-1|+2次-2|的最值。得出的結論是：

"(x)]min=min{/(-2)J(—1)"⑴},且/(九)無最大值；[g(x)]M=max{g(-l),g⑴,g(2)},且g(x)無最

小值.請選擇兩個學生得出的結論中的一個，說明其成立的理由;

(3)試對老師提出的問題進行研究，寫出你所得到的結論并加以證明(如果結論是分類的，請選擇

一種情況加以證明).

V2,.CDV2V2

A=-1,---B-----，］

2222

解：⑴

(2)若選擇學生甲的結論，則說明如下,

—3x—6,犬<一2

—x-2,-2<x<-l

/(%)=

5x+4,-1<x<1

3x+6,x>l,于是/(x)在區間(一純-2］上是減函數，在-2,-1］上是減函數，在

上是增函數，在口，+8)上是增函數，所以函數/(X)的最小值是且函數

/(x)沒有最大值.

若選擇學生乙的結論，則說明如下,

x—1,x—1

3x+l,-1<x<1

g(x)=<

-5x+9,1<%W2

-x+l,x>2,于是g(x)在區間(-8,T］上是增函數，在［T，l］上是增函數，在口⑵

上是減函數，在［2，+8)上是減函數.所以函數g(x)的最大值是max{g(-l),g⑴,g(2)},且函數g。)沒

有最

小值.

(3)結論:

若4+電+…+%>0,則"(x)1min=min{/G),/(X2)「??"(x")}.

若q+a2+…+a“>0,貝Ij"(x)】max=gx{f(x2),■■■,/'(x,,)］；

若％+a2H---Fan°,則=min{/(%)),/(%2),.-?,/(%?)}

以第一個結論為例證明如下:

?+a2-i---\-an>0?當天w(-oo,X［］時,

x

f()=一(〃1+?---an)x+{a］xi+a2x2H----Fcinxn),是減函數,

當xe［x“,+°o)時，/(x)=(q+a2+…+凡)X一(弓/+a2x2+…+a“x“),是增函數

當XG［再,時,函數/(*)的圖像是以點&/&)),(占"(%2)),…，(怎J。"》為端點的一系列互相

連接的折線所組成,

所以有"(x)］mm=向1{/(X］)，/(巧)，…J6)}

4.抽象函數

1.設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=l對稱，對任意xl、X2G[0,2],都有

f(xl+x2)=f(xl)?f(x2),且f(l)=a>0.

111.”、

——~Z-lim(Inci).

⑴求f(2)、f(4)；⑵證明f(x)是周期函數;⑶記an=f(n+2〃)，求，一

解：⑴因為對xl,x2W[0,5],都有f(xl+x2)=f(xl)?f(x2),所以f(x)=’^十萬)一八9川,x￡[0,1]

1112111

又因為f(l)=f(5+5)=f(5)-f(2)=Ef(2)]2,f(2)=f(4+4)=f(4).f(4)=[f(4)]12*B

111,

2

又f(l)=a>0.*.f()=a^,f(4)=a4

證明：(2)依題意設y=f(x)關于直線x=l對稱,故f(x)=f(l+l—x),即f(x)=f(2—x),xdR.

又由f(X)是偶函數知f(-x)=f(x),xeRZ.f(―X)=f(2—x),XGR.

將上式中一x以x代換得f(x)=f(x+2),這表明f(x)是R上的周期函數，且2是它的一個周期.

解:⑶由⑴知f(x)，O,xW[0,1]

2_L_L_LJ_j_

,/f(2)=f(n?2〃)=f(2〃+(n—1)2M)=f(2n)?f((n-1)?2n)

11_L±i_L±

22

........=f(2n)?f(2/t)..............f(2n)=[f(2n)]=a,/.f(2n)=a".

又「fa)的一個周期是2

,工■、.T-.m7-lim(In。,,)=limJIna)=0.

f(2n+2")=f(2〃)，因此an=a",2”

例2.定義在R上的函數f(x)滿足：對任意實數m,n,總有了物+切且當x>0時，

0<f(x)<lo

(1)判斷f(x)的單調性；(2)設4=1但>/(!)),

B={&，、)1/3-丁+物=1,a&R)f若ADB為空集，試確定a的取值范圍。

解：(1)在〃冽+切=/伽)/5)中，令那=1，?=0,得了⑴=/(1)/(0),因為了①0°,所以/(°)=1。

在/(冽+0=1/(那)/㈤中，令加=x,?=-x

因為當%>0時，所以當時一%>0,。</(一切<1

而/(x)J(-x)=/(0)=1,所以/(-X)

又當x=0時，/(。)=1>0,所以，綜上可知，對于任意xeR,均有了。)>0。

00

設一8cxi<心<+,則心一為>0，0<1A心一金)<1

所以/(心)=/[XJ+CXJ-%1)]=/(%!)?/(xa-Xi)</(%!)

所以丁=/(%)在R上為減函數。

(2)由于函數y=f(x)在R上為減函數，所以〃一)/02)=/(/+/)>〃1)

即有芯2+寸<1,又〃.-丁+物=i=y(o),根據函數的單調性，有”-y+尤=0

72

y>1

由AuB=0,所以直線ax-y+血=°與圓面/+/<1無公共點。因此有、匹T,解得

5.導函數一一不等式

1.已知函數/(x)=e'_"，xeR

(I)若左=e,試確定函數A?的單調區間；

(H)若上>°,且對于任意xeR,/(N)>°恒成立，試確定實數左的取值范圍；

n

(III)設函數尸(x)=/(x)+〃r),求證：F⑴/⑵R(〃)>(e"M+2)5(〃eN*).

分析：本小題主要考查函數的單調性、極值、導數、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數性質

的方法，考查分類討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。

解：(I)由左=6得/。)=6'-叱，所以/'(x)=e'_e.

由尸(x)>°得x>1,故八燈的單調遞增區間是■+°0),

由廣⑶<0得x<1,故/(%)的單調遞減區間是(F，1).

(n)由八卜由二八㈤可知/刎)是偶函數.

于是"曲>°對任意xeR成立等價于八為>°對任意成立.由/'(x)=e'j=°得片歷%.

①當Zw(O,l]時，/'(x)=e、-Ql-心°(x>0).此時/(x)在。+8)上單調遞增.

故/(x)、/(0)=l>0,符合題意.

②當人e(l,+8)時，m攵>0.當x變化時/'(X)，/(幻的變化情況如下表：

單調遞減極小值單調遞增

由此可得,在D+8)上,f(x)^f(\nk)-k-k\nk

依題意，k-kink>0,又人>l,;.l<Z<e.綜合①，②得，實數％的取值范圍是。<左<e.

-J(

(III)=f{x)+f(-x)=e'+e>

x+x-1

/.F(xl)F(x2)=e\2+eT*產均)+9一電4-e^^〉e8+應+二(/+超)+2>e*s+2

???F(l)F(n)>ert+,+2

由此得，[尸(1*(2)..F(〃)f=["/(〃)][/⑵R(〃-1)][F(n)F(l)]>(en+,+2)n

n

故/⑴F(2)F(n)>(en+1+2)2,neN*

“、龍3T2

f(x)=—g.(x)=t3x——t

2.設3,對任意實數f,記“3

(I)求函數>=/(")—g8(x)的單調區間；(II)求證：(i)當x>°時，/(xRg，(x)對任意正實數f

成立；

(ii)有且僅有一個正實數”。，使得88(龍。)‘8(%)對于任意正實數，成立。

分析：本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知

識分析和解決問題的能力.分類討論、化歸(轉化)思想方法

x3.16

y=-----4%+—

(I)解：33.

由y，=F—4=0,得》=±2.因為當xe(-oo,-2)時，y'>0,

當xe(-2,2)時，/<0；當xe(2,+oo)時，y'>0,

故所求函數的單調遞增區間是(一如一為，(2,+co),單調遞減區間是(-2,2).

(II)證明：(i)方法一：

元322

令心)=/㈤_&(x)=不一+#>0),則/)=一,

11

當，>0時，由〃'(x)=0,得x=Q,當xw(x3,+oo)時，〃(x)>0,

所以/z(x)在(0,+8)內的最小值是g3)=0.故當x>0時，/(x)>g，(x)對任意正實數f成立.

方法二：

222---

h(t)=g(x)=t3x——t(t>0)hf(t)=—t3(x-Z3)

對任意固定的x>°,令3,則3,

由“⑺=0,得「=》3,當0<,<%3時，/Q)>0；當/>%3時，"Q)<0

)=—13

所以當，=/時，〃⑺取得最大值'3.因此當x>0時，f(x)'g(x)對任意正實數，成立.

(ii)方法一：

8

“2)一3一自(2).由(口得，&⑵⑵對任意正實數f成立.

即存在正實數%=2,使得g.,(2)、g，(2)對任意正實數/成立.

下面證明與的唯一性：

當個2,通>。，,=8時，常=￥,g，@)=4x。*,

由⑴得，拿以。*,再取,=*得g.W。)胃，

所以心(/)-4%-丁彳二心。)，即一2時，不滿足gC%)對任意￡>。都成立.

故有且僅有一個正實數“。=2,使得乩6。)°?&(玉>)對任意正實數，成立.

/、，16

、、+4/『上x>0g，(Xo)=4%-不

萬法二：對任意%>u,3,

1%3

因為8(%)關于f的最大值是3°,所以要使乩(工。)》&6。)對任意正實數成立的充分必要條件是：

3

°一51/，即(X。一2)2a+4)W0,①

又因為不等式①成立的充分必要條件是%=2,所以有且僅有一個正實數％=2,

使得g.、(/)三g,(x。)對任意正實數t成立.

3.定義函數fn(x)=(l+x)n—l,x>-2,nEN*

(1)求證：fn(x)2nx；

⑵是否存在區間[a,0](a<0),使函數h(x)=f3(x)-f2(x)在區間[a,0]上的值域為

[ka,0]?若存在，求出最小實數k的值及相應的區間[a,0],若不存在，說明理由.

分析：本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知

識分析和解決問題的能力.分類討論、數形結合思想方法

解：⑴證明：fn(x)—nx=(l+x)n—1—nx,

令g(x)=(1+x)n—1—nx,則g'(x)=n[(l+x)n—1—1].

當xe(-2,0)時，g'(x)VO,當xe(o,+8)時，g'(x)>0,

；.g(x)在x=0處取得極小值g(0)=0,同時g(x)是單峰函數，

則8(0)也是最小值....g(x)20,即fn(x)2nx(當且僅當x=0時取等號).

注：亦可用數學歸納法證明.

⑵,.,h(x)=f3(x)—f2(x)=x(1+x)2Ah'(x)=(l+x)2+x,2(14-x)=(14-x)(1+

3x)

令h'(x)=0,得x=—1或x=一

...當xW(—2,-1)，h'(x)>0；當xW(—1,一；)時，h'(x)+v<0；

當xe(-w，+8)時，h(x)>0_3j、?____j---

3/\joK

/\/

故作出h(x)的草圖如圖所示，討論如下：F一^平一

14

①當一.WaVO時，h(x)最小值h(a)=ka.*.k=(1+a)22d

OtJ

4114-4

②當一一鼻時h(x)最小值h(a)=h(一1)=——=kak=

ooJ//27a

414

③當a=一可時h(x)最小值h(a)=a(l+a)2=kak=(l+a)22.a=一鼻時取等號.

O17O

14

綜上討論可知k的最小值為w，此時［a,0］=［一鼻，0］.

yo

2元-"Qu式)

f(x)一+2",在區間［一單］上是增函數。

例4.已知

(1)求實數。的值組成的集合A；

y(x)=—

(2)設關于*的方程*的兩個非零實根為玉、巧。試問：是否mmeR,使得不等式

〃72+加+14引一々收;］^。64及止［-1,1］恒成立？若存在，求，"的取值范圍；若不存在，請說明理由。

分析：本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知

識分析和解決問題的能力.函數方程思想、化歸(轉化)思想方法

2x-a.八、

一、----(xeR)

解：(1)???/(x)=/+2

_2。2+2)_(2x_ci),2x2(12_(ix_2)

fz(x)=-----------；------=------；----—

.(x2+2)2(x+2)2

2(.一如_2)

.../(X)在［7,1］上T.../'(X)(爐+2尸-對恒成立

即VXG[-1,1],恒有/一分一240成立

g(-1)=a-1<0/.-1<tz<1

設g(x)=，-ax-2?^(1)=-6Z-1<0/.A=[—1,1]

“、2x-a1

j(x)=彳——j

(2)尸+2xx~-ar-2=0

?.?A=tz2+8>0X]、/是方程/一以一2=。的兩不等實根，且玉+%2=白，2々=一2

)2

?|%,-x2|=y/5+>22-4項芍=da+8G[2A/2,3]

■:根2+〃刀+12|七一/I對VacA及，w[T』恒成立

加2+板+123對"w[TJ恒成立

設h(t)=mf+(m2-2),te[-1,1]

...〃⑺20對Vre[-1,1]恒成立

/z(-l)=AT?2-777-2>0\m<-1或m>2

<zz>〈

./z(l)=m2+m-2>0[m<-2或機>1

...土(-8,-2]u[2,+co)滿足題意

5,已知函數/(x)=M(/+a)(a>0)。

(1)求函數的反函數y=/「'(x)和/a)的導函數((x)；

(2)假設對DxeUn(3a),ln(4a)],不等式|加一尸(x)|+ln(尸(x))<0成立，求實數機的取值范圍。

分析：本題主要考查反函數的概念及基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運

用所學知識分析和解決問題的能力?化歸(轉化)思想方法

解：(1)yuER'+a)ev+a=eyex=ey-ax=\n(ey-a)

?尸(無)=ln(e*-。)y=\n(ex+a)?'(入)-"+a

?????

(2)?/Dx￡[ln(3a),ln(4a)],I加一尸(%)I+ln(/'(x))<。成立

1，x?e”1,+Q

Im-ln(ex-a)|<-Ifn-------=In--------

/.ex+aex

x

???一[ln(e'a)-x\<m-ln(e-d)<ln(e'+d)-x

設g(x)=ln(ex-a)-ln(ev+a)+x,h(x)=ln(e'-a)+ln(e*+a)-xxc[ln(3a),ln(4。)]

...Vxe[ln(3a),ln(4a)]恒有g(x)<m<h(x)成立

,exex

g(')—"一〃e'+q+l?.?％￡[ln(3a),ln(4a)].?.exe[3aAct]

——>10<——<1

/.0<ex—a<e'<e'+aex-a,ex+a

...g'(x)>0,g(x)在[ln(3a),ln(4a)]上T

?g(x)max=g(