高中數學第一章-集合

考試內容：

集合、子集、補集、交集、并集.

邏輯聯結詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：

(1)理解集合、子集、補集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包

含、相等關系的意義；掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合.

(2)理解邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關系；掌握充

分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡易邏輯知識要點

一、知識結構：

本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法(集合化簡)、簡易邏輯三部分：

二、知識回顧：

(一)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質：

①任何一個集合是它本身的子集，記為A±A；

②空集是任何集合的子集，記為01A；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果同時81A,那么A=B.

如果AqB,BRC,那么A=

［注］:①Z=｛整數｝(J)Z=｛全體整數｝(X)

②已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(X)(例：S=N；A=N+,

則GA=｛0｝)

③空集的補集是全集.

④若集合4=集合B,則CW=0，CA8=0CS（CA8）=￡>（注：CA6=0）.

3.?{（x,y）\xy=Q,x&R,yWR}坐標軸上的點集.

②{（x,y）|xy<0,xGR,yGR}二、四象限的點集.

③{（x,y）|xy>0,xGR,y^R}一、三象限的點集.

[注]:①對方程組解的集合應是點集.

例：fx+y=3解的集合{（2,1）}.

[2x-3y=1

②點集與數集的交集是。.（例：A={（x,y）|y=x+l}B={y|y=f+I}則4nB=0）

4.①"個元素的子集有2"個.②"個元素的真子集有2"—1個.③"個元素的非空真子

集有2"-2個.

5.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題O逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題O逆否命題.

例：①若a+/?#5,貝!Ja+2或hx3應是真命題.

解：逆否：a=2且%=3,則a+〃=5,成立，所以此命題為真.

②x/1且yH2,^^x+yw3.

解：逆否：x+y=3#^=1或y=2.

二.xr1且y42**工+"3,故》+"3是門1且"2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若x?5,=>x>5曲Y2.

4.集合運算：交、并、補.

交：AQBo{x|xeeB]

并：A|J8o{x|xwA或xe團

補：GA={xwU,且A}

5.主要性質和運算律

（1）包含關系：

A=A&=A,AaU，G，AqU,

（2）等價關系：AuB=An8=AoAUB=8oQAU8=U

（3）集合的運算律：

交換律：AnB=BAA;AUB=BUA

結合律：（An8）nC=An（8nC）;（AU8）UC=AU（6UC）

分配律:.An（8uc）=（AnB）u（Anc）；AU（Bnc）=（AU8）n（Auc）

0-1律：①nA=(D，①UA=A,t/nA=A,UUA=U

等幕律：AnA=A,AUA=A

求1卜律：ACQA=d>AUGA=UDCiU=4>口Cu6=U

反演律：Cu(AnB)=(CA)U(GB)C,(AUB)=(GA)A(CcB)

6.有限集的元素個數

定義：有限集A的元素的個數叫做集合A的基數，記為card(A)規定card(0)=0.

基本公式：

(l)carJ(AIJB)=card(A)+card(5)-card(AQB)

(2)card(AU8UC)=card(A)+card(B')+card(C)

—card{Ap|B)-card(BQC)-card(CQA)

+card(A，C\B[}C)

(3)card(QtA)=card(U)-card(A)

（二）含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法（零點分段法）

①將不等式化為a0（x-xj（x-xj…&=",）>0（〈0）形式，并將各因式x的系數化“+”；（為

了統一方便）

②求根，并在數軸上表示出來；

③由右上方穿線，經過數軸上表示各根的點（為什么？）；

④若不等式（x的系數化“+”后）是“>0”，貝找“線”在x軸上方的區間；若不等

式是“<0”，則找“線”在x軸下方的區間.

----------------O----------。。_________n_____________/+,、

XxX—

X1X[L3-1n-1

2XQmX

（自右向左正負相間）

則不等式+a/"T+42%"-2+???+%>O（<O）（ao>0）的解可以根據各區間的符號

確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax'boxXKa>。）解的討論.

A>0A=0A<0

J

二次函數1

y=ax2+bx+c

的圖象

(?>0)X1=X2X

一元二次方程

有兩相異實根有兩相等實根

ax2+bx+c-0b

X=X無實根

事,12（%1<X2）\2=一丁

（”>0的根2a

2

ax+bx+c>0VX］或X>/}<XX^一--I

（4>0）的解集I2?JR

ax2+hx+c<0

國王<x<x2）0

（。>0）的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標準化：移項通分化為［國>0(或以。〈0)；1區20(或/?W0)的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

(2)轉化為整式不等式(組)>0=/刖)>0嗡之0=腐瞥2。

g(x)

3.含絕對值不等式的解法

(1)公式法：|奴+目<c,與|分+/?|>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點分區間法”分類討論.

(3)幾何法：根據絕對值的幾何意義用數形結合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax"+bx+c=0(a#0)

(1)根的“零分布”：根據判別式和韋達定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數圖象，用數形結合思想分析列式解之.

(三)簡易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯結詞、簡單命題與復合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞；不含有邏輯聯結詞的命題是簡單

命題：由簡單命題和邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是復合命題。

構成復合命題的形式：P或q(記作“pVq”)；P且q(記作“pAq”);非P(記

作“1q”)。

3、“或”、“且”、“非”的真值判斷

(1)“非P”形式復合命題的真假與F的真假相

反；

(2)“p且q”形式復合命題當P與q同為真時

為真，其他情況時為假；

(3)“p或q”形式復合命題當p與q同為假時

為假，其他情況時為真.

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q：逆命題：若q則P；

否命題：若rP則rq；逆否命題：若rq則IP。

(1)交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題：

(2)同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題：

(3)交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系：（原命題O逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知p=q那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若p=>q且q=>p,則稱p是q的充要條件，記為pOq.

7、反證法：從命題結論的反面出發（假設），引出（與已知、公理、定理…）矛盾，從

而否定假設證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數學第二章-函數

考試內容：

映射、函數、函數的單調性、奇偶性.

反函數.互為反函數的函數圖像間的關系.

指數概念的擴充.有理指數累的運算性質.指數函數.

對數.對數的運算性質.對數函數.

函數的應用.

考試要求：

（1）了解映射的概念，理解函數的概念.

（2）了解函數單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性、奇偶性的方法.

（3）了解反函數的概念及互為反函數的函數圖像間的關系，會求一些簡單函數的反函數.

（4）理解分數指數基的概念，掌握有理指數系的運算性質，掌握指數函數的概念、圖像和

性質.

（5）理解對數的概念，掌握對數的運算性質；掌握對數函數的概念、圖像和性質.

（6）能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題.

§02.函數知識要點

一、本章知識網絡結構:

一定義F:A―>B

反函數

映射L研究圖像

性質

一函

二次函數

」■具體函數指數數函數

又寸■數一對■數函數

二、知識回顧:

(-)映射與函數

1.映射與--映射

2.函數

函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因

為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數

才是同一函數.

3.反函數

反函數的定義

設函數y=/(%)(*eA)的值域是c,根據這個函數中x,y的關系，用y把x表

示出，得到x="(y).若對于y在C中的任何一個值，通過x=°(y),x在A中都有唯一

的值和它對應，那么,x=0(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數，這樣的函數x=/(y)

(yeC)叫做函數y=/(%)(%￡A)的反函數，記作x=/T(y),習慣上改寫成

y=廣'(%)

(二)函數的性質

1.函數的單調性

定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值X1,X2.

⑴若當XI<X2時，都有f(xi)<f(X2),則說f(x)在這個區間上是增函數；

⑵若當XKX2時，都有f(X》f(X2),則說f(x)在這個區間上是減函數.

若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格

的)單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.

2.函數的奇偶性

偶函數的定義：如果對于函數f(X)的定義域內任意一個X,都有

f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數.

fG)是偶函數Q/(T)=/(X)=Q0哭=1(73-0)

/W

奇函數的定義：如果對于函數f(X)的定義域內任意一個X,都有

H-x)=/x),那么函域:*x)就叫做奇函數.

/(x)是奇函數0=/(X)?/(T)+/(x)=0O驍="(X)*0)

/W

正確理解奇、偶函數的定義。必須把握好兩個問題：

(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數/(X)為奇

函數或偶函數的必要不充分條件；(2)/(-#=/(x)或

/(--X)=-/(X)是定義域上的恒等式。

2.奇函數的圖象關于原點成中心對稱圖形，偶函數

的圖象關于y軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性。

3.奇函數在對稱區間同增同減；偶函數在對稱區間增

減性相反.

4.如果/(X)是偶函數，貝!]/(x)=/(|x|),反之亦成立。

若奇函數在x=0時有意義，則〃。)=0。

7.奇函數，偶函數：

⑴偶函數：/(-%)=f(x)

設(〃力)為偶函數上一點，則(-a,b)也是圖象上一點.

偶函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于)，軸對稱，例如：y=i+i在工_1)上不是偶函數.

②滿足/(-x)=/(x),或/(-x)-/(x)=O,若/(x)RO時，戶7=1.

/(-x)

⑵奇函數：f(-x)=-f(x)

設(a,b)為奇函數上一點，則(-a-b)也是圖象上一點.

奇函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于原點對稱，例如：丫=1在口,_1)上不是奇函數

②滿足/(-x)=-/(x),或/(-x)+/(x)=0,若/(x)wO時，萼，=一1.

/(-X)

8.對稱變換：①y=/(x)例對稱＞y=/(_x)

@y=fCx)前對稱＞)，=_/(x)

③y寸(X)原點對稱＞y=_/(_x)

9.判斷函數單調性(定義)作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：

?2Xx

/(x,)-/(x2)=7^-^+fe=-^l'^L

在+廬+局+匕2

在進行討論.

10.外層函數的定義域是內層函數的值域.

X

例如：已知函數/(%)=1+----的定義域為A,函數"(x)]的定義域是以則集合A與

1-x

集合B或間的關系是.

解：f(x)的值域是/(/(x))的定義域B,/(x)的值域eR,故80H，而4=卜次#1},故BnA.

11.常用變換：

①f(x+y)=f(x)f(y)=f—y)=%.

f(y)

證：，(x-y)=鳥=/(x)=f[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f(x)

②/(—)=/U)-/(y)<=>f(x-y)=f(x)+f(y)

y

證：/(x)=,f('y)=/(2)+/(y)

yy

12.⑴熟悉常用函數圖象：

例：丫=2兇」制關于)，軸對稱.，<0

值域{y|y#2,ywR}f值域#x前的系數之比.

（三）指數函數與對數函數

a>l0<a<l

對數函數產/og然的圖象和性質：

對數運算：

w

\oga(M-N)=\ogaM+\ogaN

1M1W1Z

log。—=log”M-log.N

N

n12)

\o^aM=?loga(±M)

logVA7=-\ogM

ana

Jog"N=N

換底公式：log“N=9俱

10gz7a

推論:logflb-log%c-logt.a=1

=log%%?1。8做出?…?logq一冊=log%冊

(以上M”0,N>0,a>0,awl,b>0,bwl,cx0,cwl,a],a2-an”0且。1)

y/

圖

象O

X-13<1

(1)定義域：(0,+8)

(2)值域：R

(3)過點(1,0),即當x=l時，y=0

性

質(4)x￡(0,l)時y<。X6(0,1)時y>0

X€(1,+8)時y>0XG(1,+00)時y<0

(5)在(0,+8)上是增函數在(0,+8)上是減函數

注⑴:當a,6y0時，log(ab)=log(-a)+Iog(-Z>).

⑵：當M〉0時，取“+”，當〃是偶數時且MYO時，ATMO,而MYO,故取“一”.

例如：loga-2H21ogaX：(21ogaX中x>0而log1中xWR).

(2)y=ax(a-O,a*l)與y=log.x互為反函數.

當“Al時，y=k>g“X的a值越大，越靠近X軸；當OYaYl時，則相反.

(四)方法總結

(1).相同函數的判定方法：定義域相同且對應法則相同.

⑴對數運算：

log“(M'N)=log,,M+log”N⑴

M

bg“—=log。MTog”N

N

12)

log“M"=nloga(±M)

log?'4M=-log?M

n

'N=N

換底公式：log。N='&上

log。。

推論：log。h?log；,c?logca=1

=>log%的.log%%?log”“T%=log%%

(以上M”O,N>0,a>0,a=l,b>0,b=l,c〉0,cKl,a1,a23an>0且wl)

注⑴：當a,人Y0時，log(a-h)=log(-a)+log(-Z>).

(2)：當A/>0時，取“+”，當〃是偶數時且用Y0時，M">(),而MYO,故取"一”.

例如：10g“x2*210gaX：(210g?X中X>0而log“，中xGR).

(2)y=a*(a>0,a^\)與y=log”x互為反函數.

當時，y=log,,x的"值越大，越靠近x軸；當OYOYI時，則相反.

⑵.函數表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數法.

⑶.反函數的求法：先解x,互換x、y,注明反函數的定義域(即原函數的值域).

(4).函數的定義域的求法：布列使函數有意義的自變量的不等關系式，求解即可求得函數

的定義域.常涉及到的依據為①分母不為0：②偶次根式中被開方數不小于0;③對數的真數

大于0,底數大于零且不等于1；④零指數幕的底數不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義

等.

(5).函數值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；

⑤不等式法；⑥函數的單調性法.

(6).單調性的判定法:①設X］，X2是所研究區間內任兩個自變量，且X1<X2;②判定f(X)

與fix?)的大小；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關

系：①f(-X)=f(x)為偶函數；f(-x)=-f(x)為奇函數；②f(-x)-f(x)=0為偶:f(x)+f(-X)=0

為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；f(x)+f(-x)=T為奇函數.

(8).圖象的作法與平移：①據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數的

圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函數的圖象與對稱性描繪函數圖象.

高中數學第三章數列

考試內容：

數列.

等差數列及其通項公式.等差數列前n項和公式.

等比數列及其通項公式.等比數列前n項和公式.

考試要求：

(1)理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，并

能根據遞推公式寫出數列的前幾項.

(2)理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實

際問題.

(3)理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實

際問題.

§03.數列知識要點

等差數列等比數列

定義an\-a,=d

+t二q（q豐0）

品

遞推公an=an_i+d；an=a,?_n+md

a?=a?_<?;a,,=aqn-m

式lm

通項公a=a+(〃-l)d

n}a(。],#0)

式n

中項

A_a?Lk+an+kG--ylan-kan+k(an-kan+k>°)

2

(n,kwN,n〉kA。)(〃,Z￡N”,〃A%A0)

前n項

S〃=](〃[+%)叫(q=D

和

S"=?fl|+2d\-q\-q

重要性

質

atn+an=ap+p、qwN”,atn-an=a〃?%(”,〃,p,q￡N",〃z+〃=p+q)

m+n=p+q)

1.⑴等差、等比數列:

等差數列等比數列

定義

{*}為A?Poan+i-an=d(常數){%}為6?Po&巴=q(常數)

a”

通項公

。〃二%+(n-1)d=%+(n-k)d=d〃+。]-d

式

求和公〃(%+a”)〃(〃一l)na(q-1)

s=---1-----=na+-------dx

式n21]2

s,l=,q(lW)a】_a“q

=[〃2+3|-.=i(4聲1

i-qi-4

中項公a+h

A=會推廣：2%=%_,“+6,+”，G?="。推廣:a：=an_mxan+m

式

性1

質若m+n=p+q則am+。〃=若m+n=p+q,則aman=apaq。

2

若伏“｝成A.P（其中攵“eN）則⑸｝若伏,J成等比數列（其中&“GN）,

也為A.P。

則｛4“｝成等比數列。

3

.Sn,s2n-S,,,s3n-s2?成等差數列。%，S2n-Sn,-S2n成等比數列O

4

a—a.a—a/,qi=%~

d=，一=，一^(mw〃)

n-1m-n

?!am

(mrn)

5

⑵看數列是不是等差數列有以下三種方法:

①a4-a”_i=d(n>2,4為常數)

②2a,,=an+l+an_i(n>2)

③a“=kn+b(〃,％為常數).

⑶看數列是不是等比數列有以下四種方法：

①an=??_］>2,q為常數,且*0)

②4=%+1,%(n>2,anan+xa,,_x豐0)?

注①：i.b=&,是a、b,c成等比的雙非條件，即/>=瘋=小6c等比數列.

ii.b-yfac(ac>0)-為a、b、c等比數列的充分不必要.

iii.b=土4最-*為a、b、c等比數列的必要不充分.

iv.6=且ac*0-為a、b、c等比數列的充要.

注意：任意兩數。、c不一定有等比中項，除非有“c>0,則等比中項一定有兩個.

③a“=cg"(c,q為非零常數).

④正數列｛冊｝成等比的充要條件是數列｛log*an｝(x>l)成等比數列.

S[=。](〃=1)

⑷數列｛%,｝的前〃項和S“與通項冊的關系：冊=

S"—%_i(〃N2)

［注］:①a”』|+(〃-lW=〃d+(a「d)(4可為零也可不為零一為等差數列充要條件(即常數

列也是等差數列)一若d不為0,則是等差數列充分條件).

②等差｛”“｝前〃項和邑廠加2+8〃=(￡|"2+口「9”一'可以為零也可不為零->為等差

的充要條件~若“為零，則是等差數列的充分條件；若d不為零，則是等差數列的充分條件.

③寺零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.(不是非零，即不可能有等比數列)

2.①等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的居倍

Sk，S2k_Sk,s3k-S2k…；

②若等差數列的項數為2”。eN+),則S偶一5奇=〃1,昔=7^；

J偶an+\

③若等差數列的項數為2"-l(〃eN+),貝”2,1=(2〃-1瓦，且S奇-S偶=a“，紅=」_

n代入”到2〃-1得到所求項數.

3.常用公式：①1+2+3…+"噂

6

③1+23+33…"3=4^

[注]:熟悉常用通項：9,99,999,...=>a?=10n-l；5,55,555,=-(10n-1).

4.等比數列的前〃項和公式的常見應用題：

⑴生產部門中有增長率的總產量問題.例如，第一年產量為。，年增長率為r,則每年的產

量成等比數列，公比為1+r.其中第〃年產量為a(l+r)"T,且過”年后總產量為：

a+a(l+r)+a(l+r)2+...+4Z(l+r)/,-|=如f_"+

1-(")

⑵銀行部門中按復利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存“元，利息為r,每月利息按

復利計算，則每月的。元過〃個月后便成為“(1+r)”元.因此，第二年年初可存款：

a(l+r)[l-(l+r)12]

tz(l+r)12+a(l+r)11+?(l+r)10+…+a(l+r)=

l-(l+r)

⑶分期付款應用題：。為分期付款方式貸款為〃元；機為m個月將款全部付清；廣為年利率.

(7(1+=x(l++x(l+r),n-2+.....j;(l+r)+xzz>a[\+z*),M=必+')----=工=:'-

r(l+r)w-l

5.數列常見的幾種形式：

⑴〃〃+2=〃。”+1+4。八(P、q為二階常數)->用特證根方法求解.

具體步驟:①寫出特征方程產=1+q(/對應〃“+2，%對應冊+i)，并設二根a“2②若尤產叼

可設冊=6“；+。2可，若X]=%2可設；③由初始值。1，〃2確定.

⑵a〃=Pa〃T+,?(P、，為常數)一用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n

轉化為冊+2=尸〃〃+]+?〃的形式，再用特征根方法求；④a〃=C]+C2尸〃T(公式法)，c},c2

由上],。2確定.

①轉化等差，等比：。〃+]+冗=P(a“+x)=>，“+[=Pa+Px-x^>x=——.

nP—\

②選代法：a?=Pan_l+r=P(Pa,,_2+r)+r=…na,產(田+￡)夕1一￡=(al+x)P"-'-x

r—Ir—1

n2

=P"~'al+P~-r+---+Pr+r.

a—Pa+??I

，/+，

③用特征方程求解："卜相減，na〃+]-a〃=Pa〃-Pa〃_]=>a〃+]=(P+Dan-Pan_}.

an=Pa〃-i+H

④由選代法推導結果：C[=-------fc2=Cl|H----------?an=CzP"*+C1=(^|+—)P"'H-----------.

1—PPP1—P

6.兒種常見的數列的思想方法:

⑴等差數列的前〃項和為s“，在dYO時，有最大值.如何確定使S“取最大值時的〃值，有

兩種方法：

一是求使々0,。”+1Y0,成立的〃值；二是由S“利用二次函數的性質求〃

的值.

⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前〃項和可依

照等比數列前/I項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：

242"

⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第

一個相同項，公差是兩個數列公差%,4的最小公倍數.

2.判斷和證明數列是等差(等比)數列常有三種方法：(1)定義法:對于n22的任意自然數,

驗證an-an|(&)為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法：驗證

2%+i=??+%一2GN都成立。

a>0

3.在等差數列｛〃“)中，有關Sn的最值問題：⑴當為>0,d<0時，滿足4ni〃'的項數m

k+!

[a<0

使得s,“取最大值.(2)當/<0,d>0時，滿足4m的項數m使得s,,取最小值。在解含絕

口用N0

對值的數列最值問題時，注意轉化思想的應用。

(三)、數列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。

2.裂項相消法:適用于|」一(其中｛%｝是各項不為0的等差數列，c為常數；部

分無理數列、含階乘的數列等。

3.錯位相減法:適用于｛明2｝其中｛an｝是等差數列，｛￡｝是各項不為0的等比數列。

4.倒序相加法：類似于等差數列前n項和公式的推導方法.

5.常用結論

、+

1):1+2+3+…+n=------

2

2)l+3+5+...+(2n-l)=〃2

3)l3+23+---+n3=-n(n+l)

4)I2+22+32+---+n2=-n(n+l)(2n+l)

、11111,11、

n[n+1)nn+1n(n+2)2n鹿+2

6)—=--------(--------)(p<q)

pqq-ppq

高中數學第四章-三角函數

考試內容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數.單位圓中的三角函數線.同角三角函數的基本關系式.正弦、余弦的誘

導公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數、余弦函數的圖像和性質.周期函數.函數y=Asin(3x+@)的圖像.正切函數的圖

像和性質.已知三角函數值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

(1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三

角函數的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式；了解周期函數與最小正周期的意義.

(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

(4)能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明.

(5)理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余

弦函數和函數y=Asin(3x+。)的簡圖，理解A.3、0的物理意義.

(6)會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形.

(8)“同角三角函數基本關系式：sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tana?cosa=1".

§04.三角函數知識要點

1.①與a(0°<a<360°)終邊相同的角的集合(角a與角力的終邊重合)：

物|戶="360。+a,Awz}

②終邊在x軸上的角的集合：加R=%xI80°Mez}

③終邊在)，軸上的角的集合：物I6=%X1800+90°M€Z}

④終邊在坐標軸上的角的集合：物|￡=%X90F€Z}

SISCOS三角函數值大小關系圖

1、2、3、4表示第一、二、三、

四象限?半所在區域

⑤終邊在尸軸上的角的集合：物l6=&xl80°+45°,kez}

⑥終邊在y=-x軸上的角的集合:{閉6=4x180。-45fwz}

⑦若角a與角尸的終邊關于x軸對稱，則角a與角〃的關系：a=360°k-/3

⑧若角a與角/的終邊關于y軸對稱，則角a與角〃的關系：(7=360^+180°-^

⑨若角a與角￡的終邊在一條直線上，則角a與角力的關系：a=180%+/?

⑩角a與角/?的終邊互相垂直，則角a與角夕的關系：a=360^+/?±90°

2.角度與弧度的互換關系：360。=24180。=萬1°=0,017451=57.30°=57°18,

注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=1^2°弋57.30°=57°18'.1°=￡Q0.01745(rad)

n180

扇形面積公式：S崩形《5?產

3、弧長公式：/=|a「r.

6、三角函數線

正弦線：MP;余弦線：0M;正切線:

AT.

7.三角函數的定義域:

三角函數定義域

f(x)=sinx{x|xeR}

f(x)=cosx{x\xeR}

f(x)=tanrx\xeR且無羊k九+；/r,ksZI

f(x)=cotv{x|XGRJirhk兀,k^z]

f(x)=secx\x\xeR且tw攵萬+；萬，左￡Z

f(x)=esex{x|XGR_SLrwk/r,keZ}

shlg

8、同角三角函數的基本關系式：-tanQ.C0.

cosasitu

tanacota=lcscasina=lsecacosa=1

sin2a4-cos2a=1sec2a-tan2a=1esc2a-cot2a=1

9、誘導公式：

把竺±。的三角函數化為a的三角函數，概括為:

2

“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數的公式：（一）基本關系

公式組一公式組二公式組三

sinx.22[

sinx?cscx=1tanx=sinx+cosx=1sin(2^+x)=sinxsin-(r)=-sint

cosx

cos(2A1+x)=cosxcos-(r)=cox

COSX.22

cost?secx=1cotx=1+tanx=secxtan(2^+x)=tanxtan-記)=-tarr

smx

cot(2k乃+x)=cotxcoY)=-cot

tanr?cotr=11+COt2A=CSC2X

公式組四公式組五公式組六

sin(^,+x)=-sinxsiri2^r-x)=-sinrsi瞰-x)=sinr

cos(笈+x)=-cosxco甑-x)=cosrco飆-x)=-cos:

tan0r+x)=tanxta12t-x)=-1airtanr(-x)=-1arr

cot(^+x)=cotxco=-cOXcoVr(-x)=-cot

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos(a+4)=cosacossinasinpsin2rz=2sinacosa

cos(a-/?)=cosacos夕+sinasinpcos2a=cos2a—sin2a=2cos2二一1=1-2sin2a

2tana

sin(a+4)=sinacos(3+cosasinptan2a=■7

l-tan-a

1-costz

sin(a一。)=sinacosP-cosasinpsin一=±

22

/八、tana+tan￡aI1+COS6T

tan(a+￡)=----------------—cos-=±------------

1TanatanB2V2

,小tana-tanBsina1-COS6Z

tan(a—￡)=-----------------

1+tanatan°1+cosasina

公式組三公式組甲公式組五

sinacos/?=—[sin(a+/)+sin(a一夕)