【3年高考2年模擬】第十章概率與統計第一部分

三年高考薈萃2011年高考題統計(一)

一、選擇題

1.(四川理1)有一個容量為66的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：

[11,5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9[23.5,27.5)18

[27.5,31.5)II[31.5,35.5)12[35.5.39.5)7[39.5,43.5)3

根據樣本的頻率分布估計，數據落在[31.5,43.5)的概率約是

1112

6-323

A.B.

【答案】B

夕_22_1

【解析】從3L5到43.5共有22,所以663。

2.(陜西理9)設(不，乂)，(%,必)，...，(/，K是變量x和V的〃個樣本點,

直線/是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以

下結論中正確的是

A.x和丁的相關系數為直線/的斜率

B.x和〉的相關系數在。到1之間

C.當〃為偶數時，分布在/兩側的樣本點的個數一定相同

D.直線/過點(XJ)

【答案】D

3.(山東理7)某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表

廣告費用X(萬元)4235

銷售額y(萬元)49263954

人人

根據上表可得回歸方程夕=8+8中的6為9.4,據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額

為

A.63.6萬元B.65.5萬元C.67.7萬元D.72.0萬元

【答案】B

4.(江西理6)變量X與丫相對應的一組數據為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),

(13,5)；變量U與V相對應的一組數據為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),

(13,1),6表示變量丫與X之間的線性相關系數，々表示變量V與U之間的線性相關系

數，則

A々＜4＜°B.°＜與"c.弓D.

【答案】C

5.（湖南理4）通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯

表：

男女總計

愛好402060

不愛好203050

總計6050110

2

K2rn(ad-bc)-2_110x(40x30-20x20)

(。+6)(。+"乂。+。)(6+”)算得，60x50x60x50

0.0500.0100.001

P(K2>k)

k3.8416.63510.828

參照附表，得到的正確結論是

A.再犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”

B.再犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”

C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

【答案】C

二、填空題

6.（天津理9）一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊

的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數為

【答案】12

7.（遼寧理14）調查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：

萬元），調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調查數據得到y對x的

回歸直線方程：9=0254'+0321由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲

食支出平均增加萬元.

【答案】0.254

8.（江蘇6）某老師從星期一到星期五收到信件數分別是10,6,8,5,6,則該組數據的方

差/=一

【答案】3.2

9.（廣東理13）某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm

和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的

身高為cm.

【答案】185

三、解答題

10.（北京理17）

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹。乙組記錄中有??個數據模糊，無法確

認，在圖中以X表示。

甲組乙組

990%89

0

(I)如果X=8,求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；

(II)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹

丫的分布列和數學期望。

其中X為國

的平均數)

解(1)當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8,8,9,10,

所以平均數為

-8+8+9+1035

x=-----------二—

44

方差為

52=1[(8-35)2+(8-35)2+(9-35)2+(10-35)2]=11.

4444416

(H)當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9,9,11,11；乙組同學的植

樹棵數是：9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4x4=16種可能的

結果，這兩名同學植樹總棵數丫的可能取值為17,18,19,20,21事件"丫=17"等價于"甲組

選出的同學植樹9棵,乙組選出的同學植樹8棵"所以該事件有2種可能的結果，因此P(Y=17)

2_1

=16-8

尸(y=18)=1;尸(丫=19)=1;P(Y=20)=1;尸(丫=21)=1.

同理可得4448

所以隨機變量Y的分布列為：

Y1718192021

j_11J_

P

84448

EY=17xP(Y=17)+18xP(Y=18)+19xP(Y=19)+20xP(Y=20)+21xP(Y=21)

1￡11]_

=17x8+i8x4+i9x4+20x4+2ix8

=19

11.(遼寧理19)某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種

家和品種乙)進行田間試驗.選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，

隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.

(1)假設n=4,在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為X,求X的分布列和數學

期望；

(II)試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8,試驗結束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上

的每公頃產量(單位：kg/hm2)如下表：

品種甲403397390404388400412406

品種乙419403412418408423400413

分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣木方差；根據試驗結果，你認為應該

種植哪一品種？

i___

2222

=-[(^-X)+(x2-x)+---+(x?-x)]_

附:樣本數據金，/，…，覆的的樣本方差〃，其中X為

樣本平均數.

解：

(I)X可能的取值為0,1,2,3,4,且

1_1

P(X=0)=C；=70'

C：C；=8

P(X=1)

-35'

_18

P(X=2)

C；35,

C班8

P(X=3)

35'

11

P(X=4)

c「o.

即X的分布列為

X01234

181881

P

7035353570

4分

X的數學期望為

IQ1QQ,1C

E(X)=0x+lx+2x+3x+4x=2.

70353535706分

(II)品種甲的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為:

1

(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,

8

122222

S甲?2+(—3)2+(—10)2+4+(-12)+0+12+6)=57.25.

8

.8分

品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為:

X乙=(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,

8

Sl=1(72+(—9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12)=56.

8

........10分

由以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，且兩品種的樣本方差

差異不大，故應該選擇種植品種乙.

2011年高考題

(-)概率

一、選擇題

1.(浙江理9)有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本.若將其隨機

的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率

1234

A.5B.5C.5D5

【答案】B

2.(四川理1)有一個容量為66的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：

[11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9[23.5,27.5)18

[27.5,31.5)II[31.5,35.5)12[35.5.39.5)7[39.5,43.5)3

根據樣本的頻率分布估計，數據落在[31.5,43.5)的概率約是

1112

A.6B.3C.2D.3

【答案】B

尸=22=1

【解析】從3L5到43.5共有22,所以663。

3.(陜西理10)甲乙兩人一起去游“2011西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號

景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是

1151

A.36B.9C.36D.6

【答案】D

4.(全國新課標理4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學

參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為

1123

(A)3(B)2(C)3(D)4

【答案】A

5.(遼寧理5)從1,2,3,4,5中任取2各不同的數，事件A="取到的2個數之和為偶數”,

事件B="取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)=

1121

(A)8(B)4(C)5(D)2

【答案】B

6.（湖北理5）已知隨機變量服從正態分布NR'a）,且p（4<4）=88,則p（0

<&<2）=

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

【答案】C

7.（湖北理7）如圖，用K、4、4三類不同的元件連接成一個系統。當我正常工作且同、

4至少有一個正常工作忖，系統正常工作，已知K、4、4正常工作的概率依次為0.9、

0.8、0.8,則系統正常工作的概率為

―（XI——

-----QJ-----

A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576

【答案】B

8.（廣東理6）甲、乙兩隊進行排球決賽，現在的情形是甲隊只要在贏一次就獲冠軍，乙隊

需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為

1323

A.2B.5C.3D.4

【答案】D

9.（福建理4）如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內部隨機取一個

點Q,則點Q取自4ABE內部的概率等于

C.2D.3

【答案】C

二、填空題

10.（湖北理12）在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期。從這30瓶飲料中任取2瓶，則至

少取到一瓶已過保質期飲料的概率為。（結果用最簡分數表示）

28

【答案】145

11.（福建理13）盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個。

若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于。

3

【答案】5

12.（浙江理15）某畢業生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，

2

假定該畢業生得到甲公司面試的概率為3,得到乙丙公司面試的概率為夕，且三個公司是

否讓其面試是相互獨立的。記X為該畢業生得到面試得公司個數。若

"“一°）-12,則隨機變量X的數學期望E（X）

5

【答案】3

13.（湖南理15）如圖4,EFGH是以。為圓心，半徑為1的圓的內接正方形。將一顆豆子

隨機地扔到該圖內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示事

件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內”，則

(1)P(A)=;(2)P(B|A)=

2,(2)1

【答案】(1)萬'4

14.（上海理9）馬老師從課本上抄錄一個隨機變量8的概率分布律如下表

請小牛同學計算￡的數學期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但

能肯定這兩個“？”處的數值相同。據此，小牛給出了正確答案

Es=

【答案】

2X123

15.（重慶理13）將??枚均勻的硬幣投擲6次,則正「口出現時天數反山1出以的次數多的概

P（￡=X）?

率__________

11

【答案】32

16.（上海理12）隨機抽取9個同學中，至少有2個同學在同一月出生的概率是（默

認每月天數相同，結果精確到

【答案】8985

17.（江西理12）小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點,

21

若此點到圓心的距離大于5,則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于4,則去打籃球;

否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為

13

【答案】16

18.（江蘇5）5.從1,2,3,4這四個數中一次隨機取兩個數，則其中一個數是另一個的

兩倍的概率為

￡

【答案】3

三、解答題

19.（湖南理18）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：

日銷售量（件）0123

頻數1595

試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規律不變），設某天開始營業時有該商品3件，

當天營業結束后檢查存貨，若發現存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將

頻率視為概率。

（I）求當天商品不進貨的概率；

（II）記X為第二天開始營業時該商品的件數，求X的分布列和數學期型。

解（I）P（“當天商品不進貨”）=P（"當天商品銷售量為0件"）+P（“當天商品銷售量

___15_3__

為1件，，）202010'

（II）由題意知,X的可能取值為2,3.

5_1

P（X=2）=P（“當天商品銷售量為1件“）204,

P（X=3）=P（"當天商品銷售量為o件，，）+P（“當天商品銷售量為2件”）+。（“當

1953

=++=

天商品銷售量為3件”)2020204

故X的分布列為

X23

13

P

44

EX=2x，+3x3=]

X的數學期望為444

20.（安徽理20）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人

進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務

則撤出，再派下一個人。現在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率

分別P|，P2，P3,假設Pl，22，死互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.

（I）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率。若改變三個人

被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發生變化？

（II）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為％均2，%,其中%，%，%

是Pl，P2，P3的一個排列，求所需派出人員數目X的分布列和均值（數字期望）EX.

（III）假定1＞月＞22＞凸，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數

目的均值（數字期望）達到最小。

解：本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量及其分布列、均值等基本知識,

考查在復雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類讀者論論

思想，應用意識與創新意識.

解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務不能被完成的概率都是

（1一0）（1一22）（1一23）,所以任務能被完成的概率與三個被派出的先后順序無關，

并等于

）（1-02+23-P0-P2P3-

p2八）=+。P3Pl+P\PlPy

（II）當依次派出的三個人各自完成任務的概率分別為處國2,犯時，隨機變量X的分布

列為

X123

Pq】(1-71)92(1-0)(1-92)

所需派出的人員數目的均值（數學期望）EX是

EX=q、+2（1-％）12+3（1-/）（1一%）=3-2/-鄉2+/%.

（III）（方法一）由（II）的結論知，當以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時,

EX=3-2p\-p?+pm，

根據常理，優先派出完成任務概率大的人，可減少所需派出的人員數目的均值.

下面證明:對于乩也卬3的任意排列小過2，%,都有

3-2q「q2+q%N3-2p「p?+PR,（*）

事實上，△=(3-2/一夕2+夕132)-(3-20一+P1P2)

=2（P|-0）+（/?2一夕2）-，/2+0%

=2（0|一％）+（。2-%）-3-%）。2一%（。2一縱）

-（2-22）（Pl-%）+（l—%）（（P2一夕2）

N（l-%）［（P］+。2）一（見+夕2）］

>0.

即（*）成立.

（方法二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為3一（4+私）+%12一小，若交換前兩人的派

出順序，則變為3-（4+私）+4岡2—%，.由此可見，當%>/時，交換前兩人的派出順

序可減小均值.

（ii）也可將（II）中所求的EX改寫為3-24-0+042,或交換后兩人的派出順序，則

變為3-2孫一g+孫刑.由此可見，若保持第一個派出的人選不變，當私>42時，交換后

兩人的派出順序也可減小均值.

序綜合（i）（ii）可知，當⑷，%，夕3）=3，22，23）時，EX達到最小.即完成任務概率

大的人優先派出，可減小所需派出人員數目的均值，這一結論是合乎常理的.

21.（北京理17）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹。乙組記錄中有一個

數據模糊，無法確認，在圖中以X表示。

甲組乙組

990X89

1110

（I）如果X=8,求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；

（II）如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹

丫的分布列和數學期望。

其中X為花

的平均數）

解：（1）當X=8時?，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8,8,9,10,

所以平均數為

-8+8+9+1035

x=-------------=一;

44

方差為

52=1［（8—35）2+（8一352+（9一352+（］0—352］=II.

4444416

（H）當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9,9,11,11；乙組同學的植

樹棵數是：9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4x4=16種可能的

結果，這兩名同學植樹總棵數丫的可能取值為17,18,19,20,21事件“丫=17"等價于"甲組

選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”所以該事件有2種可能的結果，因此P(Y=17)

2_1

=16-8

P（Y=18）=1;P（Y=19）=1;P（Y=20）=1;P（K=21）=1.

同理可得4448

所以隨機變量丫的分布列為：

Y1718192021

]__1_11￡

P

84448

EY=17xP（丫=17）+18xP（丫=18）+19xP（丫=19）+20xP（丫=20）+21xP（丫=21）

1,111

=17x8+i8x4+i9x4+20x4+2ix8

=19

22.(福建理19)某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1,2,……，8,

其中X25為標準A,X2為標準B,已知甲廠執行標準A生產該產品，產品的零售價為6元

/件；乙廠執行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產品都符合

相應的執行標準

(I)已知甲廠產品的等級系數XI的概率分布列如下所示：

5678

P0.4ab0.1

且XI的數字期望EX1=6,求a,b的值；

(II)為分析乙廠產品的等級系數X2,從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系

數組成一個樣本，數據如下：

3533855634

6347534853

8343447567

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X2的數學期望.

(III)在(I)、(II)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購

買性？說明理由.

產品的等級系數的數學期望

注：(1)產品的“性價比”=產品的零售價

(2)“性價比”大的產品更具可購買性.

解：本小題主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力、應用意識,

考查函數與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。

AT；/1、中小EX1=6,所以5x0.4+6。+76+8x0.1=6,即6。+7b=3.2.

又由XI的概率分布列得04+。+6+0.1=1,即a+6=0.5.

6。+76=3.2,“（a=0.3,

〈解得〈

由a+b—0.5.b-0.2.

（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：

345678

X]

0.30.20.20.10.10.1

f

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數X2的概率分布列如

下：

345678

Xz

p0.30.20.20.10.10.1

所以

EX2=3P(X工=3)+4P(占=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+7P(X2=7)+SP(X2=8)

=3x03+4x0.2+5x0.2+6x0.1+7x0.1+8x0.1

=4.8.

即乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8.

（Ill）乙廠的產品更具可購買性，理由如下：

6

因為甲廠產品的等級系數的期望數學等于6,價格為6元/件，所以其性價比為7

因為乙廠產呂的等級系數的期望等于4.8,價格為4元/件，所以其性價比為4

據此，乙廠的產品更具可購買性。

23.（廣東理17）為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的

產品中分別抽出取14件和5件，測量產品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）.下表是

乙廠的5件產品的測量數據：

編號i2345

X169178166175180

y7580777081

（1）已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品數量；

（2）當產品中的微量元素x,y滿足x2175,且y275時，該產品為優等品。用上述樣本數據

估計乙廠生產的優等品的數量；

（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優等品數自的分

布列極其均值（即數學期望）。

98urcu

—I5x7=3s

解：（1）14,即乙廠生產的產品數量為35件。

2

（2）易見只有編號為2,5的產品為優等品，所以乙廠生產的產品中的優等品5

35x2=14

故乙廠生產有大約5（件）優等品,

(3)4的取值為0,1,2o

PG=0)U,尸C=1)1

5iu510

所以4的分布列為

012

P361

101010

J的均值為EJ=0x+lx+2x

故105

24.（遼寧理19）某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種

家和品種乙）進行田間試驗.選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，

隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.

（I）假設n=4,在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為X,求X的分布列和數學

期望；

（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8,試驗結束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上

的每公頃產量（單位：kg/hm2）如下表：

品種甲403397390404388400412406

品種乙419403412418408423400413

分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣木方差；根據試驗結果，你認為應該

種植哪一品種？

222

=—[(.^1—xY+(x2—X)4-----F(X—X)J—

附：樣本數據毛，覆，…，X”的的樣本方差〃，其中X為

樣本平均數.

解:

（I）X可能的取值為0,1,2,3,4,且

P(X=0)="1,

70

P(X=1)=C；=35，

p(X=2)==I8,

C；35

P(X=3)=0；：=&

C；35

P(X=4)=)=1.

C；70

即X的分布列為

X01234

181881

p

7035353570

.................4分

X的數學期望為

1Q1QQ1

E(X)=Ox+lx+2x+3x+4x=2.

7035353570.................6分

(ID品種甲的每公頃產量的樣木平均數和樣本方差分別為:

x甲=1(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,

8

s甲=1(32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62)=57.25.

8

.......8分

品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為：

X乙=1(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,

8

Sl=1(72+(-9)2+。2+62+(—4)2+1F+(—12)2+/)=56.

8

.......10分

由以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，且兩品種的樣本方差

差異不大，故應該選擇種植品種乙.

25.(全國大綱理18)根據以往統計資料?，某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種

保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設各車主購買保險相互獨立

(I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的I種的概率；

(H)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數。求X的期望。

解：記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險；

B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；

C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種;

D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；

(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,.............3分

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(S)=0.8..............6分

D=C,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,

X?8(100,0.2),即x服從二項分布,........io分

所以期望EX=10°X0.2=20............................12分

26.(全國新課標理19)某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標越大表明質量越好,

且質量指標值大于或等于102的產品為優質品.現用兩種新配方(分別稱為A配方和B配

方)做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每產品的質量指標值，得到時下面試驗結

果：

A配方的頻數分布表

指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

頻數82042228

B配方的頻數分布發

指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

頻數412423210

(I)分別估計用A配方，B配方生產的產品的優質品率；

(II)已知用B配方生產的?種產品利潤y(單位：元)與其質量指標值t的關系式為

-2,r<94

y=<2,94<Z<102

4,/>102

從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X(單位:元).求X的分布列及數學期望.(以

試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率).

解

22+8=0.3

(I)由試驗結果知，用A配方生產的產品中優質的平率為10°,所以用A配方生

產的產品的優質品率的估計值為0.3.

32+10=0.42

由試驗結果知，用B配方生產的產品中優質品的頻率為100，所以用B配方生產

的產品的優質品率的估計值為0.42

(II)用B配方生產的100件產品中,其質量指標值落入區間畋94),[94,102),[102,110]

的頻率分別為。04,,054,0.42,因此

P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,

即X的分布列為

X-224

p0.040.540.42

X的數學期望值EX=-2x0.04+2x0.54+4x0.42=2.68

27.(山東理18)紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A,乙對B,

丙對C各一盤，已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,050.5,假設各盤比賽結果

相互獨立。

(I)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；

(II)用4表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求&的分布列和數學期望E4.

解：(I)設甲勝A的事件為D,

乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,

則萬，及*分別表示甲不勝A、乙不勝B,丙不勝C的事件。

因為P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,

由對立事件的概率公式知

P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5,

紅隊至少兩人獲勝的事件有：

DEF,DEF,DEF,DEF.

由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，

因此紅隊至少兩人獲勝的概率為

P=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)

=0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5

=0.55.

(ID由題意知歲可能的取值為0,1,2,3。

又由(I)知萬力云R是兩兩互斥事件，

且各盤比賽的結果相互獨立，

因此尸C=0)=P(DEF)=0.4X0.5X0.5=0.1,

P記=1)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5

=0.35

P化=3)=P(DEF)=0.6x0.5x0.5=0.15.

由對立事件的概率公式得

%=2)=1-PC=0)—=1)--3)=0.4,

所以4的分布列為:

40123

p0.10.350.40.15

因此=0x0.1+1x0.35+2x0.4+3x0.15=1.6.

28.(陜西理20)如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,據統計，通過兩條路徑所用的

時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：

時間(分鐘)10?2020?3030?4040?5050?60

L1的頻率0.10.20.30.20.2

L2的頻率00.10.40.40.1

現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站。

(I)為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？

(II)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對(I)的選擇方案,

求X的分布列和數學期望。

火車站

解(1)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑

Li時，50分鐘內趕到火車站”，i=l,2.用頻率估計相應的概率可得

P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,

丁P(Al)>P(A2),一甲應選擇Li

P(Bl)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,

*,P(B2)>P(Bl),??乙應選擇L2.

(II)A,B分別表示針對(I)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，由(I)

知尸(⑷=0.6,P(B)=0,9，又由題意知,A,B獨立,

P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4x0.1=0.04

P(X=1)=P(AB+AB)=P(7)P(B)+尸(N)尸(歷

=0.4x0.9+0.6x0.1=0.42

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6x0,9=0.54

:，X的分布列為

X012

P0.040.420.54

=0x0.04+1x0.42+2x0.54=1.5.

29.（四川理18）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車

點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時

的部分按1小時計算）。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設甲、乙不超過兩

11

小時還車的概率分別為4'2；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為2'4；兩人租

車時間都不會超過四小時。

（I）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率;

（II）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量自，求自的分布列與數學期望“4；

1