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文檔簡介

高考數學

典型易錯題會診

(±)

目錄

考點1集合與簡易邏輯

典型易錯題會診

命題角度1集合的概念與性質

命題角度2集合與不等式

命題角度3集合的應用

命題角度4簡易邏輯

命題角度5充要條件

探究開放題預測

預測角度1集合的運算

預測角度2邏輯在集合中的運用

預測角度3集合的工具性

預測角度4真假命題的判斷

預測角度5充要條件的應用

考點2函數(一)典型易錯題會診

命題角度1函數的定義域和值域

命題角度2函數單調性的應用

命題角度3函數的奇偶性和周期性的應用

命題角度4反函數的概念和性質的應用

探究開放題預測

預測角度1借助函數單調性求函數最值或證明不等式

預測角度2綜合運用函數奇偶性、周期性、單調進行命題

預測角度3反函數與函數性質的綜合

考點3函數(二)

典型易錯題會診

命題角度1二次函數的圖象和性質的應用

命題角度2指數函數與對數函數的圖象和性質的應用

命題角度3函數的應用

探究開放題預測

預測角度1二次函數閉區間上的最值的問題

預測角度2三個“二次”的綜合問題

預測角度3含參數的對數函數與不等式的綜合問題

考點4數列

典型易錯題會診

命題角度1數列的概念

命題角度2等差數列

命題角度3等比數列

命題角度4等差與等比數列的綜合

命題角度5數列與解析幾何、函數、不等式的綜合

命題角度6數列的應用

探究開放題預測

預測角度1數列的概念

預測角度2等差數列與等比數列

預測角度3數列的通項與前n項和

預測角度4遞推數列與不等式的證明

預測角度5有關數列的綜合性問題

預測角度6數列的實際應用

預測角度7數列與圖形

考點5三角函數

典型易錯題會診

命題角度1三角函數的圖象和性質

命題角度2三角函數的恒等變形

命題角度3三角函數的綜合應用探究開放題預測

預測角度1三角函數的圖象和性質

預測角度2運用三角恒等變形求值

預測角度3向量與三角函數的綜合

考點6平面向量

典型易錯題會診

命題角度1向量及其運算

命題角度2平面向量與三角、數列

命題角度3平面向量與平面解析兒何

命題角度4解斜三角形

探究開放題預測

預測角度1向量與軌跡、直線、圓錐曲線等知識點結合

預測角度2平面向量為背景的綜合題

考點7不等式

典型易錯題會診

命題角度1不等式的概念與性質

命題角度2均值不等式的應用

命題角度3不等式的證明

命題角度4不等式的解法

命題角度5不等式的綜合應用

探究開放題預測

預測角度1不等式的概念與性質

預測角度2不等式的解法

預測角度3不等式的證明

預測角度4不等式的工具性

預測角度5不等式的實際應用

考點8直線和圓

典型易錯題會診

命題角度1直線的方程

命題角度2兩直線的位置關系

命題角度3簡單線性規劃

命題角度4圓的方程

命題角度5直線與圓

探究開放題預測

預測角度1直線的方程

預測角度2兩直線的位置關系

預測角度3線性規劃

預測角度4直線與圓

預測角度5有關圓的綜合問題

考點9圓錐曲線

典型易錯題會診

命題角度1對橢圓相關知識的考查

命題角度2對雙曲線相關知識的考查

命題角度3對拋物線相關知識的考查

命題角度4對直線與圓錐曲線相關知識的考查

命題角度5對軌跡問題的考查

命題角度6考察圓錐曲線中的定值與最值問題

探究開放題預測

預測角度1橢圓

預測角度2雙曲線

預測角度3拋物線

預測角度4直線與圓錐曲線

預測角度5軌跡問題

預測角度6圓錐曲線中的定值與最值問題

考點10空間直線與平面

典型易錯題會診

命題角度1空間直線與平面的位置關系

命題角度2空間角

命題角度3空間距離

命題角度4簡單兒何體

探究開放題預測

預測角度1利用三垂線定理作二面角的平面角

預測角度2求點到面的距離

預測角度3折疊問題

考點11空間向量

典型易錯題會診

命題角度1求異面直線所成的角

命題角度2求直線與平面所成的角

命題角度3求二面角的大小

命題角度4求距離

探究開放題預測

預測角度1利用空間向量解立體幾何中的探索問題

預測角度2利用空間向量求角和距離

考點12排列、組合、二項式定理典型易錯題會診

命題角度1正確運用兩個基木原理

命題角度2排列組合

命題角度3二項式定理

探究開放題預測

預測角度1在等可能性事件的概率中考查排列、組合

預測角度2利用二項式定理解決三項以上的展開式問題

預測角度3利用二項式定理證明不等式

考點13概率與統計

典型易錯題會診

命題角度1求某事件的概率

命題角度2離散型隨機變量的分布列、期望與方差

命題角度3統計探究開放題預測

預測角度1與比賽有關的概率問題

預測角度2以概率與統計為背景的數列題

預測角度3利用期望與方差解決實際問題

考點14極限

典型易錯題會診

命題角度1數學歸納法

命題角度2數列的極限

命題角度3函數的極限

命題角度4函數的連續性

探究開放題預測

預測角度1數學歸納法在數列中的應用

預測角度2數列的極限

預測角度3函數的極限

預測角度4函數的連續性

考點15導數及其應用

典型易錯題會診

命題角度1導數的概念與運算

命題角度2導數幾何意義的運用

命題角度3導數的應用

探究開放題預測

預測角度1利用導數的兒何意義

預測角度2利用導數探討函數的單調性

預測角度3利用導數求函數的極值和最

考點16復數

典型易錯題會診

命題角度1復數的概念

命題角度2復數的代數形式及運算

探究開放題預測

預測角度1復數概念的應用

預測角度2復數的代數形式及運算

答案與解析

考點-1

集合與簡易邏輯

集合的概念與性質集合與不等式

集合的應用簡易邏輯

充要條件集合的運算

邏輯在集合中的運用集合的工具性

真假命題的判斷充要條件的應用

典型易錯題會診

命題角度1集合的概念與性質

1.(典型例題)設全集U=R,集合M={x|x>l},P=則下列關系中正確的是()

A.M=PB.PuM

C.MuPD.GMnP=0

[考場錯解]D

[專家把脈]忽視集合P中,X<-1部分.

[對癥下藥]CVx2>l或x<T.故MuP.

2.(典型例題)設P、Q為兩個非空實數集合,定義集合P+Q={a+b|aeP,beQ},若P{0,2,5),Q=

{1,2,6},則P+Q中元素的個數是()

A.9B.8

C.7D.6

[考場錯解]AP中元素與Q中元素之和共有9個.

[專家把脈]忽視元素的互異性,即和相等的只能算一個.

[對癥下藥]BP中元素分別與Q中元素相加和分別為1,2,3,4,6,7,8,11共8個.

3.(典型例題)設f(n)=2n+l(neN),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},記戶={neN|f(n)eP},

Q={neN|f(n)e

則(戶nc、。)u(@ncj)等于()

A.{0,3}B.{1,7}

C.{3,4,5}D.{1,2,6,7)

[考場錯解]DPDC'Q={6,7}.Qnc、p={1,2}.故選D.

[專家把脈]未理解集合P的意義.

[對癥下藥]B':P={1,3,5}.Q={3,5,7}..n(:出={1}.PfyC.Q={7}.故選B.

4.(典型例題)設A、B為兩個集合,下列四個命題:

①ABo對任意xwA,有x史B;②ABoADB=0;③AB=AB;④人8。存在會人,使得x紀B.其

中真命題的序號是.

[考場錯解]B,即A不是B的子集,對于xeA,有x宏B;ADB=0,故①②④正確.

[專家把脈]對集合的概念理解不清.B,即A不是B的子集,但是A,B可以有公共部分,即存

在xeA,使得xwB.不是對任意xeA,有x史B,故④正確.“AB”是“任意xeA,有XEB”的必要

非充分條件.②同①.

[對癥下藥]畫出集合A,B的文氏圖或舉例八={1,2},B={2,3,4},故①、②

圖I-I

均不成立,③A(1,2,3),B={1,2},AAB但BuA,故也錯.只有④正確,符合集合定義.故填④

5.(典型例題I)設A、B、I均為非空集合,且滿足AuBuI,則下列各式中錯誤的是()

A.(CiA)UB=I

B.(C,A)U(CiB)=I

C.Afi(CiB)=0

D.(GA)n(CB)=GB

[考場錯解]因為集合A與B的補集的交集為A,B的交集的補集.故選D.

[專家把脈]對集合A,B,1滿足AuBuI的條件,即集合之間包含關系理解不清.

[對癥下藥]如圖是符合題意的韋恩圖.

從圖中可觀察A、C、D均正確,只有B不成立.或運用特例法,如人={1,2,3},B={1,2,3.4},1=

{1,2,3,4,5).逐個檢驗只有B錯誤.

專家會診

1.解答集合問題,首先要正確理解集合有關概念,特別是集合中元素的三要素;對于用描述法給出的

集合{x|xeP},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質P;要重視發揮圖示法的作用,充

分運用數形結合(數軸,坐標系,文氏圖)或特例法解集合與集合的包含關系以及集合的運算問題,直觀地

解決問題.

2.注意空集。的特殊性,在解題中,若未能指明集合非空時,要考慮到空集的可能性,如AaB,則

有A=0或Aw。兩種可能,此時應分類討論.

考場思維訓練

1全集U=R,集合M={1,2,3,4},集合N=則Mn(GN)等于()

V2-1J

A.{4}B.{3,4}

C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

答案:B解析:由得N=五}+l,CiN=(dxA6+1卜.Mc(CuN)={3,4}

2設集合M={x|x=3m+l,mGZ),N=y|y{=3n+2,neZ),若xo^M,y()wN,則x()yo與集合M,N的關系是

()

A.XOYO^MB.XOYO^MMM

C.xoyo^ND.xoyo^N

答案:C解析::

X。GMxo=3m+\,yoGNyo=3〃+2,/.x^yo=(3m+1)(3〃+2)=9mn+6m+3〃+2=3(3mn+2m+〃)+2£N.故選C.

3設2{x|x4a,aER},N={y|y=3x,x£R},則()

A.MDN=0B.M=N

C.Mz>ND.MuN

答案:B解析:M二卜Ix=4",Qe/?)=M={xIx>0}={yIy>()}=N.選B

4已知集合A二{0,2,3},B={x|x二ab,a、b《A且aWb},則B的子集的個數是()

A.4B.8C.16D.15

答案:解析:?.?8={0,6},它的子集的個數為22=4。

5設集合M={(x,y)|x=(y+3)?y-l|+(y+3),->WyW3},若(a,b)£M,且對M中的其他元素(c,

2

d),總有c2a,則a=.

答案:解析:依題可知,本題等價于求函數不勝數x=f(y)=(y+3).|y-l|+(y+3)在時的最小值.

(1)當一1VyVI時,8=(丫+3)(1_丫)+(丫+3)=_丫2_丫_6=_(了+3)2+弓,所以},=_1,時,*111"=:.

1wy3時

x=(y+3)(y-l)+(y+3)=y2+3y=(y+-|)所以當),=1時,小2=4.而4”,因此當),=■時,x有最小值、,即a=*

命題角度2集合與不等式

1.(典型例題)集合A={xl缶YO卜B={xk-b|<a=,若“a=l”是“AABW0”的充分條件,則b

的取值范圍是()

A.-2Wb<2B.-2(bW2

C.-3<b<-lD.-2<b<2

[考場錯解]A當a=l時,人=以|-1<*<1=且B={x|bT<x<b+l=.AABW0.bTVI且b+12T.

故-2Wb<2....只有A符合.

[專家把脈]AABW0時,在點T和1處是空心點,故不含等于.

[對癥下藥]D當a=l時,A={x|-l<x<l=.B={xb-l<x<b+l=.此時ACBA。的充要條件是b-1

<1且b+l>T.B|J-2<b<2.故只有D符合.

2.(典型例題)⑴設集合A山由T》9,xGR},B/%。,x《R},則AAB=

[考場錯解]以鼠遼-3或;(2表―

[專家把脈]V—>0/.x(x+3)^0.而此忖x+3W0.故不含x=-3.

x+3

[對癥下藥]A={x|xW-3或x》』}.B={x|x-3或xMO}..,/恤。3或x/}.

22

3.(典型例題)已知f(x)==*(xGR)在區間[T,1]上為增函數.

?+2

(1)求實數a的值所組成的集合A;

(2)設關于x的方程f(x)=’的兩根為xaxz,試問:是否存在實數m,使得不等式m'+tm+l)IxLx/對任

X

意aGA及tG[T,1]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

[考場錯解](1)因為f(x)=4(xGR),所以f(x)=-21+2”:+4,依題意f(x)20在[T,1]上恒

成立,即2x?-2ax-4W0在[T,1]上恒成立.

當x=0時,aWR;當OVxWl時,aex-2恒成立,又y=x-2在(0,1)上單調遞增,所以y=x-2的最

XXX

大值為T,得a2-l,當-lWx<0時x-2恒成立,由上知aWl.綜上:adR(注意應對所求出的a的范圍求

X

交集).

(2)方程f(x)=’變形為x2-ax-2=0,鳳』|=廬?,又TWaWl,所以|x「X2|=《^的取大值為3,

X

n?+tni+lN|x「X21對任意a《A及te[-1,1]恒成立等價于療+5+1》3在[T,1]恒成立,當m=0時,

222

顯然不成立,當m>0時,t2互。恒成立,所以-12三竺-,解得m22;當m<0時,恒成立,所

inmin

2

以1W20/,解得mW-2.

m

綜上:故不存在實數m,使得不等式而+tm+ie|x「X2|對任意a£A及[T,1]恒成立.

[專家把脈](1)討論x求參數的范圍,最后應求參數的交集而不是并集.因為xe[-l,l]0j,f(x)

20恒成立.(2)注意對求出的m的值范圍求并集而不是交集.

[對癥下藥](1)因為f(x)="(xGR),所以#&)=--2總+2號+4,依題意*(X)》。在[-1,1]

上恒成立,即2xJ2ax-4W0在[T,1]上恒成立.

當x=0時,a£R;當0<xWl時,a2x-2恒成立,又y=x-2在(0,1)上單調遞增,所以y=x-2的最

XXX

大值為T,得a》T;當TWx〈O時aWx-2恒成立,由上知aWl.綜上WaWl(注意應對所求出的a的范

X

圍求交集).

(2)方法1:方程f(x)=’變形為x?-ax-2=0,|XLX21二J/+8,又-IWaWl,所以|xi-X21二J/+8的最

X

大值為3m'+tm+ie|x「X21對任意a£A及[T,1]恒成立等價于82+面+123在[-1,1]恒成立,

222

當m=0時,顯然不成立,當m>0時,?_"?.恒成立,所以-122一,解得田22;當m<0時,tW之二〃L

mmin

恒成立,所以1〈三oL2,解得mW-2.

in

綜上:存在實數nb使得不等式n?+tm+12|x「X21對任意a£A及te[T,1]恒成立,m的取值范圍是

{m|m22或m<-}2(注意對求出的m的取值范圍求并集).

方法2:方程f(x)=,變形為x'-ax-2=0,|X「X2|=J/+8,又-IWaWl,所以|x「X21=+8的最大值

X

為3,m2+tm+l》IXLXJ對任意aGA及te[T,1]恒成立等價于m'+tm+l23在te[T,1]恒成立,令

g(t)=tm+m2-2,有g(T)=m'+m-220,gW-m-m-2^0,解得{m|m22或mW-2}.(注意對求出的m的取值

范圍求交集).

專家會診

討論參數a的范圍時,對各種情況得出的參數a的范圍,要分清是“或”還是“且”的關系,是“或”

只能求并集,是“且”則求交集.

考場思維訓練

1設[x]表示不超過x的最大整數,則不等式[x]2-5[x]+6W0的解集為()

A.(2,3)B.[2,3]

C.[2,4]D.⑵4]

答案:C解析:由[x]2-5[x]+6W0,解得2<[x]W3,由[x]的定義知2<x<4所選C.

2已知不等式成立的充分非必要條件是IYXYL,則實數m的取值范圍是()

32

C.(一8,一小D.*+oo

m-\<

|4

答案:B解析:因不等式|x-m|G等價于m-kx<m+l,依題意有3——<m<—,所以選及

23

m+l>

2

3設A、B是兩個集合,定義A-B={x|x£A,且x〉B}.若M={x|x+lW2},N={x|x=sin。|a£等R},則

M-N等于()

A.[-3,1]B.[-3,0]

C.[0,1]D.[-3,0]

答案:B

4已知集合人=巳|(x-2)[x-(3a+l)]<0=,B={x|尸孑y。}.

x-(a-+l)

⑴當a=2時,求ACB;

(2)求使B=A的實數a的取值范圍.

解析:(1)當a=2時,A=(2,7),B=(4,5)AAnB=(4,5).

(2),/B=(2a,a2+l),當a〈[時A=(3a+1,2)要使Bu4,必須產:-%)此時&=_];當&=_1時*=0,使

3一?2+1<23

Ih\2a>2?)

8勺4的61不存在;當。>一時,/1=(2,3。+1)要使8勺4必須《,,此時lWaW3.

3-[a2+1<3a+1

綜上可知,使BgA的實數a的取值范圍為[1,3]ul-ll

命題角度3集合的應用

1.(典型例題)3是正實數,設S“={。|/6)=<:05[36+。)]是奇函數},若對每個實數a,S“n(a,a+l)

的元素不超過2個,且有a使S“C(a,a+1)含2個元素,則3的取值范圍是____.

[考場錯解](n,2JT)

[專家把脈];a使S“n(a,a+1)含兩個元素,如果會>1時,則超過2個元素,注意區間端點.

(D

[對癥下藥]由S“n(a,a+1)的元素不超過兩個,...周期生X,〈l.又?.?有a使S3n(a,

co2

a+1)含兩個元素,,女周期21.I.3W2兀.故3e(兀,2n).

CD

2.(典型例題)設函數f(數=--^(xWR),區間M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x6M},則使M=N

1+IXI

成立的實數對(a,b)有()

A.0個B.1個

C.2個D.無數多個

[考場錯解]D???y=f(x)是奇函數,不妨設x>0.f(x)=T+—L,,f(x)在(0,+8)上為減函數,即

X+1

y=f(x)在[a,b]上為減函數,;.y=f(x)的值域為[―工NG

l+\b\14-1al

-b-a

l+IZ?ri+l?l_

?;M=N,...MuN...a2上L,且bW」一,故有無數組解.

一l+\h\1+lal

[專家把脈]錯誤地理解了M=N,只是MgN,忽視了M=N,包含McN和NcM

兩層含義.

—1H------(xN0)

[對癥下藥]???f(x)=X:,丁尸f(x)在[a,b]上為減函數???y=f(x)的值域為

VN={y|y=f(X)},AN表示f(x)的值域-b

-b

a=--------

,M=N,,"""nan/,,而已知a〈b,...滿足題意的a、b不存在,故選A.

,-a

b=--------

1+1aI

3.(典型例題)記函數f(x)=J-當的定義域為A,g(x)=lg[(x-aT)(2a-x)](a<l)的定義域為B.

⑴求A;

(2)若BuA,求實數a的取值范圍.

[考場錯解](1)由2-320,得x<T或xel..?.A={x[x<-1或xel}

x+\

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.Va<l,.,.a+l>2a,:.B=(2a,a+1)

VBcA,2a>l或a+lWTAa>-!-gKa^-2XVa<l/.a<-2^l<a<l

22

[專家把脈]利用集合的包含關系時,忽視了端點的討論.

[對癥下藥](1)由2-g\0,得x〈T或xel.

X+1

(2)由(x-aT)(2a-x)>0,得(x-aT)(x-2a)<0.Va<l,a+l>2a,B=(2a,a+1)

:BuA,,2a2l或a+lWT,即a2/或aW-2,而a<l,Wa〈l或aW-2,故當BuA時,實數a

22

的范圍是(-8,-2)U[l,1].

2

專家會診

集合與不等式、集合與函數、集合與方程等,都有緊密聯系.因為集合是一種數學工具.在運用時注意

知識的融會貫通.有時要用到分類討論,數形結合的思想.

考場思維訓練

1已知集合A={xI(a?-a)x+l=0,xGR},B={x|ax2-x+l=0,xGR},若AUB=0,則a的值為()

A.0B.1C.0或1D.0或4

答案:B解析:AUB=0,/.A=0且B=。,由A=。得a=0或1;由B=。得a>0且△<(),解得a=1.

4

2設集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7}定義PXQ={(a,b)|aeP,beQ,則PXQ中元素的個數為

()

A.3B.4C.7D.12

答案:D

3已知關于x的不等式鏟Y0的解集為M.

(l)a=4時,求集合M;

答案:⑴當a=4時,原不等式可化為牛^<0,即4*-9)(8-2)<0,.?€(—1,-2)5*.2),故“為(-00,-2)5』,2).

X2-4444

(2)若3WM且5任M,求實數a的取值范圍.

答案:由3€4/得當二^<0,,。>9或°<2,①

32-a3

由5SEM得竽,W0,.1lVa<25,②

52-a

由①、②得1Va<*或9<a<25.因此a的取值范圍是[1,$u(9,25).

命題角度4簡易邏輯

1.(典型例題)對任意實數a、b、c,給出下列命題:

①“a=b”是"ac=bc”的充要條件;②“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件;③“a>b”是

“a2>b2”的充分條件;④“a<5”是“a<3”的必要條件.

其中真命題的個數是()

A.1B.2C.3D.4

[考場錯解]D

[專家把脈]忽視①中c=0的情況,③中a,b小于0的情況.

[對癥下藥]B①中c=0時,非必要條件;③中0>a>b時,非充分條件,②④正確.

2.(典型例題)給出下列三個命題

①若a》b>T,貝

\+a1+/;

②若正整數m和n滿足mWn,則向二荷V、

③設P(x“yj為圓OKx?+y2=9上任一點,圓”以Q(a,b)為圓心且半徑為1.當(a-xM+(b-yM=l時,

圓Ch與圓相切

其中假命題的個數為()

A.0B.1C.2D.3

[考場錯解]A

[專家把脈]③中(a-xM+(b-yM=l時,即圓與Oi上任?點距離為1,并不??定相切.

[對癥下藥]B

3.(典型例題)設原命題是“已知a,b,c,d是實數,若2巾,c=d,則a+c=b+d”,則它的逆否命題

是()

A.已知a,b,c,d是實數,若a+c#b+d,則a#b月一cWd

B.已知a,b,c,d是實數,若a+c¥b+d,則aWb或cWd

C.若a+cWb+d,則a,b,c,d不是實數,且aWb,cWd

D.以上全不對

[考場錯解]A

[專家把脈]沒有分清"且”的否定是“或",''或"的否定是“且”.

[對癥下藥]B逆否命題是''已知a,b,c,d是實數,若a+cWb+d,則aWb或cWd”.

4.(典型例題)已知c>0,設P:函數y=c”在R上單調遞減;Q:不等式x+|x-2c|>1的解集為R,如果

P和Q有且僅有一個正確,求c的取值范圍.

[考場錯解]由函數y=c*在R上單調遞減,得0Vc<1;???x+1x-2c|-'2;所以函數y=x+|x_2c|

[2c,xY2c

在R上的最小值為2c,因為不等式x+|x-2c|>l的解集為R,所以2c>1,得c>;.

如果P真,得0<c<l,如果Q真,則c>L

2

所以c的取值范圍是(0,+8).

[專家把脈]將P和Q有且僅有…個正確,錯誤理解成P正確或Q正確.

[對癥下藥]由函數y=c”在R上單調遞減,得0<c<l;???x+|x-2c|=fx-2cr'2c,所以函數y=x+|x_2c|

|2c,xY2c

在R上的最小值為2c,因為不等式x+|x-2c|>l的解集為R,所以2c>1,得c>L

2

如果P真Q假,則OVcWL;如果Q真P假,貝Uc》l.

2

所以c的取值范圍是(0,L)U[l,+8]

2

專家會診

1.在判斷一個結論是否正確時,若正面不好判斷,可以先假設它不成立,再推出矛盾,這就是正難則

反.

2.求解范圍的題目,要正確使用邏輯連結詞,“且”對應的是集合的交集,“或”對應的是集合的并集.

考場思維訓練

1已知條件P:|x+11>2,條件q:5x-6>x\則>是飛的()

A.充要條件B.充分但不必要條件

C.必要但不充分條件D.既非充分也非必要條件

答案:B解析:p:x〈-3或x>l,q:2<x<3,則q是p的充分但不必要條件,故'p是飛的充分但不必要條件。

2已知命題p:函數log。.5(x、2x+a)的值域為R,命題q:函數y=-(5-2a)”是減函數.若p或q為真命

題,P且q為假命題,則實數a的取值范圍是()

A.aWlB.a<2

C.l<a<2D.aWl或a22

1.答案:解析:命題p為真時,即真數部分能夠取到大于零的所有實數,故二次函數x?+2x+a的判別式

△=4-4a20,從而aWl;命題q為真時,5-2a>l今a<2.

若P為真,q為假時,無解;若P為假,q為真時,結果為l〈a<2,故選C.

3如果命題P:0G{0},命題Q:0u{0},那么下列結論不正確的是()

A."P或Q”為真B.“P且Q”為假

C.“非P”為假D.“非Q”為假

答案:B

4已知在x的不等式0<x2-4<6x-13a的解集中,有且只有兩個整數,求實數a的取值范圍.

答案:解析:原不等式等價于

x>2或x>-2。aio

,,4/(%)=x2-6x+13a,畫町(x)的函數圖象,由已知可在/'(4)<0/⑸>0,解得一<a<—.

A-2-6X-4+13O<01313

5已知命題p:方程aV+ax-2=0在[-1,1]上有解;命題q:只有一個實數x滿足不等式d+2ax+2aW0,

若命題“P或q是假命題,求a的取值范圍.

答案:解析:由a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,顯然aW0x=--^x=-':

21

X€[一1』,故I一&1或I-Ka\>1“只有一個實數滿足x、2ax+2aW0”.即拋物線y=x'+2ax+2a與x軸只有一

aa

個交點,

4a2-8a=0,.,.a=0或2,,命題“p或q為真命題”時"|a|21或a=0"1?命題“p或q”為假命

題.,.a的取值范圍為{aI-1<a<0或0<a<l}

命題角度5充要條件

1.(典型例題)“m=1"是''直線(m+2)x+3my+l=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直''的()

2

A.充分必要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

[考場錯解]A

[專家把脈]當兩直線垂直時,AIA+BIB2=0,m2-4+3m(m+2)=0,即或8=-2;故不是充分必要條件.

22

[對癥下藥]B當時兩直線垂直.兩直線垂直時呼3或m~2,故選B.

2.(典型例題)設定義域為R的函數f(x)=『gUT"'"!,則關于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個

[O,x=l

不同實數解的充要條件是()

A.b<0且c>0B.b>0且c<0

C.b〈0且c=0D.b20且c=0

[考場錯解]B△=F-4ac.當c<0時,△>().故f(x)有兩個不同實根,;.x有7個不同根.

[專家把脈]???f(x)的根為正時,x有4個不同實根.應考慮f(x)的根的正負.

[對癥下藥]C當x=l時f(x)=O,.k=0.

當xWl時,f(x)=|lg|x-lI|,/.f2(x)+bf(x)+c=lg21x-l|+blg|x-11=0.即,11g|x-11(lgIx-1|+b)=0,

lg|xTI=0或lg|x-l|=-b,x-2或x=0或Iglx-1|=-b?/.b<0.①式有4個不同實根故c=0且b<0,

恰有7個不同實根

3.(典型例題)若非空集合MuN,貝iJaGM或aWN是ae(MCN)的()

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

[考場錯解]aC(MC1N)的意思是a《M且aWN,所以a《M或a《N不能推出ad(MAN),同樣ae(M

PIN)也不能推出adM或aWN,所以aGM或aGN是aW(MCN)的既不充分也不必要條件,所以選D.

[專家把脈]“或”與“且”理解錯誤,邏輯中的“或”與生活中的“或”有區別,aWM或aGN包

括三種:aWM但a紀N;aGN但a?EM;adM且aGN.所以ae(MAN)可以推得aGM或aGN.

[對癥下藥]ae(MAN)的意思是aGM且aGN,而aGM或aGN包括三種:aGM但a/N;aWN但a任M;

aGM且aWN,所以a^M或aWN不能推出aS(MCN);aS(MCN)可以推得a^M或aGN.所以選B.

2

4.(典型例題)設命題p:關于x的不等式aix'+bix+ci>0與a2x+b2x+c2>0的解集相同;命題q:

生="=幺,則命題p是命題g的()

。2團會

A.充分但不必要條件

B.必要但不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2

[考場錯解]因為"=久=幺,所以不等式aN+bix+cOO與a2x+b2x+c2>0是等價的不等式,解集相同,

。2b?。2

2

所以q能推出p而不等式aV+bix+cDO與a2x+b2x+c2>0的解集相同不能得出"=h=£L,所以選B.

"2"2。2

22

[專家把脈]因為"=久=幺若ai與a2的符號不同,這時aiX+bix+ci>0與a2x+b2x+c2>0的解集不相

b2。2

同,如-X2+3X-2>0與X2-3X+2〉0,盡管d=.=曳=-1,但它們的解集不相同,所以q不能推出P.

b2C2

[對癥下藥]因為"=久=幺,若ai與a2的符號不同,這時aix'bix+cDO與azx,bzx+czX)的解集不

02。2

相同,所以q不能推出P;不等式X、x+3〉0與/+1>0的解集相同,但"所以p不能推出q,

b?6?2

所以選D.

專家會診

(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念:當“若P則q”形式的命題為真時,就記作pnq稱P是

q的充分條件,同時稱q是P的必要條件,因此判斷充分條件或必要條件就歸結為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念,對于符號“=”要熟悉它的各種同義詞語:“等價于”,“當且僅當”,

“必須并且只需”,“……,反之也真”等.

(3)數學概念的定義具有相稱性,即數學概念的定義都可以看成是充要條件,既是概念的判斷依據,又

是概念所具有的性質.

(4)從集合觀點看,若AaB,則A是B的充分條件,B是A的必要條件;若A=B,則A、B互為充要條依.

(5)證明命題條件的充要性時,既要證明原命題成立(即條件的充分性),又要證明它的逆命題成立(即

條件的必要性).

考場思維訓練

1設ab、是非零向量,則使a?b=|a||b|成立的一個必要非充分條件是()

A.a=bB.a_Lb

C.a//bD.a=Xb(>0)

答案:C解析:由a,b=|a|b|可得2〃13;但a〃b,a-b=±|a|b,,故使a,b=|a||b|成立的—?個必

要充分條件是:a〃b.故選C.

2若條件甲:平面a內任一直線平行于平面B,條件乙:平面a〃平面6,則條件甲是條件乙的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

答案:C解析:甲乙可以互推。選C.

3.已知函數f(x)=ax+b(OWx<l),則a+2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

答案:B解析:?.?f(x)>0在[0,1]上恒成立=a+2b>0,但a+2b>0推不出f(x)〉0在[0,1]上恒

成立。

4命題A:|x-l|<3,命題B:(x+2)(x+a)<0,若A是B的充分不必要條件,則a的取值范圍是()

A.(4,+8)B.[4,+°°]

C.(-8,-4)D.(-8,-4)

答案:C

探究開放題預測

預測角度1集合的運算

1.設I是全集,非空集合P、Q滿足PuQuI,若含P、Q的一個運算表達式,使運算結果為空集,則

這個運算表達式可以是;如果推廣到三個,即PcQcRcI,使運算結果為空集,則這個運算表達

式可以是.(只要求寫出一個表達式).

[解題思路]畫出集合P、Q、I的文氏圖就可以看出三個集合之間的關系,從它們的關系中構造集合

表達式,使之運算結果為空集.

[解答]畫出集合P、Q、I的文氏圖,可得滿足PaQaL含P、Q的一個運算表達式,使運算結果為

空集的表達式可以是PC(CQ);同理滿足PuQuRuL使運算結果為空集的表達式可以是(PCQ)C(CR),

或(PAQ)n(CiR).答案不唯一.

2.設人={6,y)|y2-x-l=O},B={(x,y)14x2+2x-2y+5=0},C={(x,

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