高考復習寶

目錄

1.二次函數.............................................................................................2

2復合函數.............................................................................................4

3.創新型函數.........................................................................................7

4.抽象函數..........................................................................................12

5.導函數——不等式..................................................................................13

6.函數在實際中的應用................................................................................21

7.函數與數列綜合...................................................................................22

8.數列的概念與性質..................................................................................33

9.Sn與an的關系....................................................................................39

10.創新型數列.......................................................................................42

11.數列一不等式.....................................................................................44

12.數列與解析幾何.................................................................................48

13.橢圓............................................................................................50

14.雙曲線...........................................................................................53

15.拋物線...........................................................................................56

16解析幾何中的參數范圍問題........................................................................59

17解析幾何中的最值問題.............................................................................65

18解析兒何中的定值問題..............................................................................69

19解析兒何與向量.................................................................................71

20探索問題...........................................................................................79

(1)a+b+c...2%，...............................................................................................................................................................112

(2)a+b+c<2TT....................................................................................................................................................................112

1.二次函數

1,對于函數/(x)=a/+S+l)x+b-2("0),若存在實數%,使/(/)=%成立，則稱/為/⑴的

不動點.

(1)當。=2,。=-2時，求f(x)的不動點;

(2)若對于任何實數3函數/(X)恒有兩個相異的不動點，求實數。的取值范圍；

(3)在⑵的條件下，若>=/(幻的圖象上A1兩點的橫坐標是函數/(x)的不動點，且直線

,1

V=04---——

2a-+1是線段A8的垂直平分線，求實數6的取值范圍.

分析,本題考查二次函數的性質、直線等基礎知識，及綜合分析問題的能力.

函數與方程思想

2

解：f(x)=ax+(b+l)x+b-2(a^0)；

(1)當。=2/=—2時，f(x)-2x2-x-4

設x為其不動點，即2尤2_"4=尤，則2/-2》-4=0.所以％=-1，/=2,即的不動點是一1,2.

(2)由/(兀)=不得ax2-^-bx+b-2=Q

由已知,此方程有相異二實根,所以AL/T貼-2)>0,即從一4"+8a>°對任意恒成立.

<0,.\16?2-32a<00<a<2

,=履+_L

(3)設直線'-*+2/+1是線段AB的垂直平分線,，k=-l.

bih

■</\/=---*?*f(x)=xux~+bx+b—2=0,「.M+x)=—

記AB的中點“(x°，x。)，由(2)知。2?."?

,1bb1

y=kx-\------/.---=---1---z—

丁用在24+1上，2a2a2a"+1

「a_1、1_^2

“十2J2。?一a——

化簡得："'a，當2時，等號成立.

2f（%]+-2]</（-）+/（-2）

例2已知函數〃x）=/+4x-2,若對任意再，x?eR且玉f,都有I2J2.

（I）求實數。的取值范圍；

（H）對于給定的實數。，有一個最小的負數"（a）,使得xe[M（a）,O]時，~4W/（x）44都成立,

則當。為何值時，M（“）最小，并求出M（“）的最小值.

X+XX]+XaX2+X+c+aX

小+.]/一）+/（》2）=（\2Y+1）（-^+c'^\2+bx2+C

解22JI2JC2

_“2)—<0

,.,%*々，...。>（）....實數。的取值范圍為（0,+°0）.

f(x]-ax'+Ax—2-a\x+—|—2/((\\_、x=<0

(II)???Ia)a,顯然/⑼=-2,對稱軸。。

⑴當一2一Z<一",即o<a<2時，了°]且/["(a)]7.

一2±-4—2a

9X=

令ar+4x-2=-4,角星得a,

/、-2+d4-2a-2

.</\M(a)=-----------=/---

此時“⑺取較大的根，即aV4-2a+2,?；0<a<2,

M(a)=.-2—>-1

'7J4-2a+2

⑵當一27”即，22時，加⑷<一丁且/⑷]=4.

_-2±j4+6a

令ax2+4x-2=4,解得“一?,此時M（a）取較小的根

即

/、-2-、4+6〉—6

M⑷=-----------

(4+6〃+2

M(a)=[----------->-3

???〃22,JJ4+6Q—2.當且僅當a=2時?，取等號.

3<-1,.?.當a=2時，加（。）取得最小值一3.

2復合函數

f(Y\/'(logX)=——(%-尤-1)

1.已知函數町滿足a-T',其中a〉0,月.4/1。

⑴對于函數“尤)，當時，“1-加)+了(1-也<0,求實數m的取值范圍；

(2)當*￡(—泡2)時，/'(X)-4的取值范圍恰為(-8,0),求。的取值范圍。

/(logux)=0(X-X~')(a>0

解：?2-l且"D

iox,=-a")=

設，Tog,,x,則x=a/.a--1/.a~-1

a<0

當ae(0,1)時，.../_]<屋5「T...y=/(x)在其定義域上f

a>Q

當ae(l,+oo)時，.../_]>,/T,...y=/(x)在其定義域上T

Va>°且a/1,都有y=/0)為其定義域上的增函數

/(—x)=^—(/*—/)=-/⑴〃、

又,:?-1"幻為奇函數

222

(1)?;當xw(-l,l)時，/(l-m)+/(l-m)<0A/(1-m)<-/(1-m)=/(zn-1)

-1<1-m<1

<-1<m2-1<1=>1<<V2

.1一加<加2一1

??i

(2)當xw(-8,2)時，.../。)=/(幻一4在(一8,2)上個，月值域為(一8,0)...F(2)=/(2)-4=0

a4

a,2]、“?-1A

a2a2a2-1a2tz2+l=4a/.a=2±g

_2](xuH)_4-3x

例2.函數/(*)是)-1。'+1'的反函數，g口)的圖象與函數,-次T的圖象關于直線

二=%一1成軸對稱圖形,記尸(x)=/("+g(x)。

(1)求/(*)的解析式及其定義域；(2)試問/(*)的圖象上是否存在兩個不同的點A、B,使直線AB

恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由。

y=--——110r+1=^-10'x=lg|Z^-/(x)=lg—(-1<X<1)

解(1)iov+iy+ii+yi+y，i+x

4-3x

y=------

???g(x)的圖象與.X-1的圖象關于直線>="一1成軸對稱圖形

4—3x3—2x

y------卜］二-----

g(x)+i的圖象與x-ix-i的圖象關于直線y=x對稱

3-2x

■y----------

即：g(x)+l是X-1的反函數孫-y=3-2x

/、<x+31

g(x)+l=——-g(x)=

(y+2)x=y+3y+2x+2x+2

1—xI

F(x)=/(x)+g(x)=lg—+—(-1<X<1)

11—X1

L/、JIlg----+-----=C

(2)假設在尸(X)的圖象上存在不同的兩點A、B使得［軸，即丸eR使得方程1+xx+2

有兩不等實根

t_1-x_］+2

設‘一！71一一+7Ti,則，在(一1,1)上J且r>o

l-r1r+1,r+1

X=---------=-----lg/H-----=C

：.1+，,x+2，+3丸eR使得方程/+3有兩不等正根

./+12

IgZ=C------=(C-1)H------

f+3f+3

/、，?2

,/、iz\(P&)=(C-1)4-----

設〃(f)=lg?),'t+3

2

Igr=(c-l)+

由函數圖象可知：VceR,方程f+3僅有唯一正根...不存在點A、B符合題意。

八=e'—x—l,g(x)=—x~cx.

3.設“eR且"N°，e為自然對數的底數，函數f(x)2

(1)求證：當。21時，"x)Wg(x)對一切非負實數x恒成立；

(2)對于(0,1)內的任意常數a,是否存在與a有關的正常數%。，使得/(X。)>g。。)成立？如

果存在，求出一個符合條件的4；否則說明理由.

分析：本題主要考查函數的單調性，導數的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題

的能力.分類討論、化歸(轉化)思想方法

x>0時,/(x)<g(x)o1<—x14----—h(x)=—x2+"?=>力'(x)=x(a———)

解(1)當2e,令2/e'

va>l,x>0/.h\x)>0,=>力(%)在［0,+8)上單調遞增,

h(x)>/?(0)=1=>f(x)<g(x)

/Uo)>gUo)=>^0+包?-1<0

⑵2e(1),

/、ax+11

=~x2+-;1

需求一個X。，使(1)成立，只要求出2e的最小值，滿足，(X)min<0，

f'(x)=x(a-工)在(0,-Ina)

e，上I

a2

在(-Ina,+8)上t,lna)=5hra+a(-lna+l)-l

—ln~a+〃(lna+l)-l<0在〃G(0,1)

只需證明2內成立即可，

°(a)=—In2a+a(-Ina+1)-1=>(p\d)=—(ln2tz)>0=>°(a)

令22

a.

=>叭a)<0⑴=0=>—ln~a+Q(-lna+1)-1<0,

為增函數2

???(f(x))mm<0,故存在與a有關的正常數Xo=Tna(O<a<l)使⑴成立。

3.創新型函數

?'.p?q=—―（p-c）（q—8）+4沙cff_2_2c

1.在R上定義運算3（b、c為實常數）。記力（力一y力2c,

力（#）=%—2b,%eR令/（%）=￡（%）③工（%）

_4

（I）如果函數八％）在/=1處有極值一?，試確定b、c的值；

（II）求曲線V=〃力）上斜率為c的切線與該曲線的公共點；

（III）記g（x）=1/（小（―17訓的最大值為“.若加乂對任意的爪c恒成立，試示上的最大值。

解...〃x）='（x）⑥力（耳=—3c）（x-33+4兒=—9+~+以+左*+2法+'

_4

（I）由/（"）在'=1處有極值一可得

=—l+2b+c=0

4Jb=\p=-l

f^---+b+c+be-解得］c=—1或t。=3

3

若6=1,c=-l,則r3=*+2x-1=-(一『AO,此時/(x)沒有極值;

若b=7,c=3,則/(X)=T2_2X+3=_(X_1)(X+3)。

當x變化時，"X）、/‘（”的變化情況如下表:

X(—oo,—3)-3㈠，1)1(1,+8)

f'M—0+0—

極小值單調遞增極大值

/(x)單調遞減單調遞減

-12_4

~3

_4

.?.當x=］是，/"）有極大值一§,故b=T，c=3即為所求。

（II）設曲線,=/（"）在x=f處的切線的斜率為c,

/（x）=f+2bx+c,..._產+2歷+c=c,即〃-2初=0。解得f=0或f=2b。

若1=。,則/（°）=從，得切點為（°力,），切線方程為>=以+兒；

4

f(2b)=-bi+3bc2b,-b3+3bcy=cx+bc+—by

若t=2b,則'/3,得切點為3,切線方程為.3

--x3+bx2+cx+bc=cx+bcox3-3bx2-0”“n”"

若3,解得玉=々=0,%=3b

則此時切線y=cx+歷與曲線y=〃x）的公共點為（°，反）,（3b，4兒）.

--x3+Z?x2exbe-cx-vbc<=>x3-3bx2+4/?3=0

⑵若33,

iy=ex+be—_f（\4-3/?c|

解得士二々=2。，x3=-b9此時切線3與曲線”/⑴的公共點為I3

綜合可知，當b=°時，斜率為C的切線與曲線y=〃x）有且只有一個公共點（°'°）；當斜率為

，b4b3+3兒、

c的切線與曲線y=有兩個不同的公共點，分別為（°氏）和（3瓦4反）或〔’§J,

（HI）g（x）=/（x）卜卜（x-b『+〃+c

（1）當例>1時，函數>=/'（》）的對稱軸x=b位于區間JU］外，/'（X）在［T，l］上的最值在兩端點處取

得，故知應是g（T）和g⑴中較大的一個。

...2MNg（l）+g（—l）=H+2b+d+H-2Hc|N|例>4,即...”>2

⑵當心1時，函數y=f（x）得對稱軸位于區間I，11之內

此時M=max{g(-l),g(l),g(b)}

由f'd)~尸(一1)=4.有了⑥)=(bml)2>0

若-HWO,則f'(1)Wf'(T)<f'(b)g(-l)<max{g(—l),g(b)]

M=max{，(-⑴|+|八帥<(，⑴卜|:(帥=：3-1)?

于是222

若04b41,則4f(b),-.g(l)<max{g(-l),g(/?)}

川M=max{|r(—i)|,/s)|}2；(|r(T)|+/s)|RJ(右(—i)|—|rs)|)=：s+i)2>1

乙乙乙乙

M>—

綜上，對任意的b、c都有2

1/、211

b=O,c=-g(x)=—x+—M=-

而當，2時，2在區間上的最大值2

故MNK對任意的b,c恒成立的k的最大值為5。

1

X4--

〃X)=----：--------：——(X>O)

[x][-]+[x]+[-]+lri

例2.設函數XX，其中團表示不超過x的最大整數，如

⑵=2,中=0,[L8]=1

(1)求"萬)的值；

(II)若在區間⑵切上存在x,使得/(x)<k成立,求實數卜的取值范圍；

(III)求函數,(X)的值域.

32

3=丁]=巨

[-]=i.[-]=o5[-]-[-]+[-]+[-1+112

解：(1)因為23，所以l2Jl3JL2JL3J

[x]=2,[-]=0

(H)因為24x<3,所以x,

f(x)=-(x+-)yv)=-(l--4)、A

則，3X.求導得3x2,當24x<3時,顯然有/(x)>0,

所以〃x)在區間23)上遞增，即可得"X)在區間［2,3)上的值域為6'7,

在區間［2,3)上存在*,使得/(外乙成立,所以一6

(III)由于,(X)的表達式關于x與二對稱,且x>0,不妨設x>l.

當x=l時，3=1,則/⑴當x〉l時，設x=n+c,neN*,0,<L

1

「I]〃+a+------

x

_=0f()=+a)=--------十0

則[x]=nJ'」，所以L〃+l

??,設g(x)=X+'g(x)=1-3>0,

X，X

n4—<〃+a+L<〃+i+-L

g(x)在[1,+OO)上是增函數，又〃4〃+a<〃+l,〃n+a"+1,

/?+—Z2+1+----

G___n______fl+1

/W=ln(〃GN*,n>2)

n+1n+1

當心2時;

2

當xe(l⑵時,故xe（l，+°°）時，/（X）的值域為nUI2Lb“UInUi

11

〃+一〃+1+

幾2+1—^-=1+—

a?___n_b“=

〃+14-1)'"+1(〃+1)一，則/“=&,b]

設

71—2

"""〃5+l)("+2),.?.當nN2時,a2=a3<a4<“yan<…

又bn單調遞減，.\b2>b3>…>bn>…a2,b2)=12*13*I4*-***In*

/?,)=1,|1/2=[a2,3=I，yj

I1UI2U-UInU-=IlUl2」”|_69

綜上所述,,⑺的值域為出■，Z

例3.我們用mm｛S|,$2，…,S"｝和maxtvi，$2，…，$,,｝分別表示實數、，$2，…，s?中的最小者和最大者.

⑴設f(x)=min{sinx,cosx},g(x)=max{sinx,cosx},XG[0,2%],函數/(x)的值域為A,函數

g（x）的值域為6,求ADR

（2）提出下面的問題：設％,%,…，""為實數，xwR,求函數

/(%)=a]\x-x}I+%\x-x2I+???+〃〃Ix-x〃I

（xl<x2<-<xneR）的最小值或最大值.為了方便探究，遵循從特殊到一般的原則，先解決兩個

特例:求函數/(x)T1+21+31x+11-11一11和^(x)=1x+11-41x-11+21x-21的最值。得出的結論是:

"(x)]min=min{/(—2)J(—l),/Xl)},且/(x)無最大值；[g(x)]max=max{g(—l),g⑴,g(2)},且g(x)無最

小值.請選擇兩個學生得出的結論中的一個，說明其成立的理由；

(3)試對老師提出的問題進行研究，寫出你所得到的結論并加以證明(如果結論是分類的，請選擇

一種情況加以證明).

解：⑴kN

(2)若選擇學生甲的結論，則說明如下,

-3x-6,xW—2

—x—2,—2<x<一1

/(x)='

5x+4,-1<x<1

3x+6,x>i,于是“X)在區間(一°°，-2］上是減函數，在上是減函數，在

［TJ］上是增函數，在口+8)上是增函數，所以函數"X)的最小值是min{/(-2)J(-1),/⑴},且函數

/(x)沒有最大值.

若選擇學生乙的結論，則說明如下，

X—1,X?-1

3x+l,-1<x<1

g(x)=4

-5x+9,l<x<2

-x+l,X>2,于是g(x)在區間(-8,7]上是增函數，在[TJ上是增函數，在[1,2]

上是減函數，在[2，+°°)上是減函數.所以函數且。)的最大值是max{g(-l),g⑴,g(2)},且函數g(x)沒

有最

小值.

(3)結論：

若%+。2+"-+??>0,則"(x)]min=min{/(X])J(X2),…,"X")}；

若％+。2+…+%〉o,則"(x)lmax=rnax{/(xl),/(x2),---,/(x,l)}；

若%+出+…+%=0,則"(x)]n,in=min{/(xJ,/(X2),…J(x“)},

"(x)]max=rnax{f(xl),f(x2),---,f(xn))

以第一個結論為例證明如下：

...ax+a2-\----Fa“>0,...當xe(-oo,xJ時.，

/(x)=-(%+出+…+。.)》+(。內+a2x2+…+a”x")，是減函數,

當xe[x“,+oo）時,/（x）=3i+a2+---+a?）x-（aAxi+a2x2+--+anxn）是增函數

當無€凡乙]時,函數/（X）的圖像是以點（x"（xj）,。2，/*2））,…，*"J（x”））為端點的一系列互相

連接的折線所組成，

所以有=min{/a）），…，/（x“）}.

4.抽象函數

2

1.設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=l對稱，對任意xl、X2E[0,5],都有

f(xl+x2)=f(xl)?f(x2),且f(l)=a>0.

iiJ..。、

⑴求f(2)、f(4)；⑵證明f(x)是周期函數;⑶記an=f(n+2〃)，求28

-/(-+-)=/(-)

解：(1)因為對xl,x2W[0,2],都有f(xl+x2)=f(xl)?f(x2),所以f(x)=222^0,xG[0,1]

J.!!!1111111

又因為f(l)=f(5+5)=f(5)-f(2)=Ef(2)J2,f(2)=f(4+4)=f(4).f(4)=[f(4)]2

111,

又f(l)=a>0f(2)=a2,f(4)=a4

證明：(2)依題意設y=f(x)關于直線x=l對稱，故f(x)=f(l+l—x),即f(x)=f(2—x),x￡R.

又由f(x)是偶函數知f(-x)=f(x),xER/.f(―x)=f(2—x),xGR.

將上式中一x以x代換得f(x)=f(x+2),這表明f(x)是R上的周期函數，且2是它的一個周期.

解：⑶由⑴知f(x)N0,xe[0,1]

2_L_L_LJ_J_

Vf(2)=f(n?2n)=f(2n+(n-1)2n)=f(2n).f((n—1)?2n)

±±_L±i±±

........=f(2〃)?f(2n).............f(2")=[f(2n)]=a2,f(2/7)=a2n.

又???f(x)的一個周期是2

11?.“、.,1

——limQn%)=]im(—

???f(2n+2〃)=f(2〃)，因止匕an=a?",J…②—2n

例2.定義在R上的函數f（x）滿足：對任意實數m,n,總有〃幽+㈤，且當x>0時,

0<f(x)<lo

(1)判斷f(x)的單調性；(2)設乂={@，川

8=(31y)|/(ax-y+應)=1,ae&),若AuB為空集，試確定a的取值范圍。

解⑴在〃?+%)='(的"㈤由令加=1，”=0,得〃1)=")\/(。)，邸j」(1)*。，眄,(0)=1。

在/3+%)=」(那)/(%)中，令用=x,n=-x

因為當x>。時，所以當x〈。時「為>°，Ov/G為cl

.........../(x)=>1>0

而」。)」(一?=/(0)=1,所以/(一左)

又當x=OH寸，〃0)=1>0,所以，綜上可知，對于任意xeR,均有了。)>0。

設_00<%!<X2<+00,貝|JX?一為>0，0</(^2-Xj)<1

所以了(小)=力>1+(必一句)]=/。1)/(小一馬)</U)

所以y=/")在R上為減函數。

(2)由于函數y=f(x)在R上為減函數，所以/02)./(>2)=/(/+/)>/⑴

即有又/(以_。+庶)=1=/(°),根據函數的單調性,有公-y+血=。

由AuB=0,所以直線數-y+脆=°與圓面,+力<1無公共點。因此有、匹T,解得

-IKI0

5.導函數——不等式

1,已知函數〃x)=e'_米，xwR

(I)若』,試確定函數/(X)的單調區間；

(II)若%且對于任意xeR,/(忖)>°恒成立，試確定實數上的取值范圍；

(III)設函數尸(x)=f(x)+/(-x),求證：F(1)F(2)-F(n)>(en+,+2AneN*).

分析：本小題主要考查函數的單調性、極值、導數、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數性質

的方法，考查分類討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。

解（［）由女=€得/*）=6'_曾，所以/'（x）=e'_e.

由/'*）>°得x>1,故/（x）的單調遞增區間是（1，+8）,

由f'M<°得x<1,故/（X）的單調遞減區間是（-8,1）.

（n）由"一冊=〃忖）可知/（H）是偶函數.

于是外力>°對任意x€R成立等價于fM>0對任意X20成立.由廣（x）=e'-&=0得X=］nk.

①當（0,1］時一，r（x）=eJR〉l—k20（x>0）.止匕時/（幻在［0，+⑼上單調遞增.

故〃x）》/（0）=l>0,符合題意.

②當Ze（l,+oo）時，InZr>0.當x變化時/'（x），/“）的變化情況如下表：

X(0,lnZ)Ink(lnA,+8)

/⑴—0+

/（X）單調遞減極小值單調遞增

由此可得,在。+8)上，f(x)》fQnk)=k-klnk

依題意，k-k}nk>Q,又攵綜合①，②得，實數人的取值范圍是0<攵<e.

(III)v尸(x)=/(x)+/(—X)=ev+e-*,

-Jt|+t2x,+j2-<t+X2)t,+X2

F(X,)F(X2)=+e-5+x2)+e*f+e>e+e'+2>e+2,

F(l)F(n)>e,,+l+2,

F(2)F(H-l)>en+1+2

F(n)F(l)>en+1+2.

由此得，便⑴/(2-)-F(n)]2=[F(l)F(n)][F(2秋〃一1)]…[尸⑺/⑴]>(e、+2"：

n

故F(1)F(2)---F(n)>(e,,+1+2P，〃eN*

x3I2

/(x)=—g,(x)=#x——t

2.設3,對任意實數f,記3

(I)求函數y=/(x)-g8(x)的單調區間；(H)求證：(i)當x>0時，/(口"3對任意正實數，

成立；

（ii）有且僅有一個正實數%,使得g8（Xo）Ng,（x°）對于任意正實數f成立。

分析：本題主要考杳函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知

識分析和解決問題的能力.分類討論、化歸（轉化）思想方法

由》'=/-4=0,得了=±2.因為當xe(-co,-2)時，

當xe(-2,2)時，y'<0,當xe(2,+8)時，/>0

故所求函數的單調遞增區間是（一8,-2）,（2,+8）,單調遞減區間是（-2,2）.

（II）證明：（i）方法一：

x3122

令〃（》）=小）_&。）=1一己+§心〉0,則如）=/_戶，

11

當，＞0時，由〃'（x）=°,得X=f3,當xe（x3,+8）時，1（尤）＞0,

所以〃（X）在（0，+8）內的最小值是〃（"）=0.故當x〉o時，/（x）?g，（x）對任意正實數『成立.

方法二：

122---

A(r)=g(x)=t3x——t(t>0)h\t)=—t3(x-r3)

對任意固定的x〉°,令3，則3

由"（r）=0,得當0＜「＜/時，力'⑴＞。；當ex'時，

力，）=―/

所以當，=V時，〃⑺取得最大值’3.因此當x＞0時，/（x）Ng（x）對任意正實數/成立.

（ii）方法一：

8

‘⑵一3一"⑵.由（i）得，g⑵2g，⑵對任意正實數，成立.

即存在正實數"。=2,使得g，（2）2g，Q）對任意正實數f成立.

下面證明毛的唯一性：

當e,x0＞o—8時，"與）=￥,g，a）=4%*,

由⑴得，事例g,再取"*得g.W。）音，

所以4(龍。)一仇一可<石_g媼(%),即玉尸2時，不滿足gx(X°)，g,(Xo)對任意f>0都成立.

故有且僅有一個正實數入。=2,使得gx(Xo)O2g,(Xo)對任意正實數f成立.

/、“16

方法二：對任意X。>u,3,

lx3

因為g,ao)關于r的最大值是3'°,所以要使以(/)?當(%)對任意正實數成立的充分必要條件是：

4、。一號即(X°—2)2(X°+4)W0

①

又因為不等式①成立的充分必要條件是%=2,所以有且僅有一個正實數為=2,

使得心(尤0)三&。0)對任意正實數f成立.

3.定義函數fn(x)=(l+x)n—1,x>—2,nGN*

(1)求證：fn(x)2nx；

(2)是否存在區間[a,0](a<0),使函數h(x)=f3(x)-f2(x)在區間[a,0]上的值域為

[ka,0]?若存在，求出最小實數k的值及相應的區間[a,0],若不存在，說明理由.

分析：本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知

識分析和解決問題的能力.分類討論、數形結合思想方法

解：(1)證明：fn(x)—nx=(l+x)n—1—nx,

令珞(x)=(l+x)n—1—nx,貝ijg'(x)=n[(l+x)n—1—1].

當xW(—2,0)時，g'(x)VO,當xC(0,+°°)時;g'(x)>0,

.*.g(x)在x=0處取得極小值g(0)=0,同時g(x)是單峰函數，

則8(0)也是最小值.，g(x)20,即fn(x)2nx(當且僅當x=0時取等號).

注：亦可用數學歸納法證明.

(2)Vh(x)=f3(x)—f2(x)=x(1+x)2(x)=(l+x)2+x?2(l+x)=(l+x)(1+

3x)

令h'(x)=O,得x=—1或x=一

???當x￡(—2,—1),h，(x)>0；當x6(一1,一Q)時、h'(x)

o

當XW(一1,+8)時，h'(x)>o.

O

故作出h(x)的草圖如圖所示，討論如下：

14

①當一鼻<aVO時,h(x)最小值h(a)=kaAk=(1+a)22d

4114—414

②當一三時h(x)最小值h(a)=h(一1)=—指=kak=T—

3332727a99

414

③當a=一可時h(x)最小值h(a)=a(l+a)2=kak=(l+a)22.a=一不時取等號.

Oi/O

14

綜上討論可知k的最小值為G，此時[a,0]=[一鼻，0].

?Jo

/(x)=^~-(xeR)

例4.已知/+2在區間[T』上是增函數。

(1)求實數。的值組成的集合A；

/(x)=—

(2)設關于％的方程x的兩個非零實根為玉、血。試問：是否于〃eR,使得不等式

機2+〃"+1N|X「X2I對VaeA及恒成立？若存在，求加的取值范圍；若不存在，請說明理由。

分析：本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知

識分析和解決問題的能力.函數方程思想、化歸(轉化)思想方法