第一章函數極限連續姓名學號

§1函數

1.求下列函數的定義域：

(1)y=siny14-x2(2)y=~~-----+Jx+2

x-4x+3

,x

(3)y=arccosIn—;(4)y=/g(x+l);

10

(5)y-j3-x+arctg—;(6)y=Jsinx+J16-尤2

x

2\-1<x<0,

11

2.設/(x)=<2,0<%<1,求/(3),/(2),/(0),/(5),/(一萬).

X-1,1<x<3,

3.設f(x)=y[x,g(x)=-x2+4%一3,求/[g(x)]的定義域。

1,|x|<1,

4.設/(x)=<0,|x|=1,8。)=",求/卜(》)］，8［/(》)］。.

-1,|x|>1,

5.設/(x)的定義域是[0,1],求/(sinx)的定義域。

2x+l,x>0,

6.設/(x)=<八4相。求八1)+〃川)。

7.已知f(x)是二次多項式，且/(x+l)—/(x)=8x+3,求/(x)。

姓名學號

8.設，(x)為奇函數，g(x)為偶函數，試證：/[/(初為奇函數，§[/(%)]為偶函數。

1+X2

9..證明/(x)=---5■在(-8,+8)上有界。

1+X

10.求下列函數的反函數:

(1)y-ln(x+2)+l;

2X

(2)y=

2X+T

x+l,x>0,

(3)=V

x,x<0.

11.將下列函數拆開成若干基本初等函數的復合:

(1)y=sin3(l+2x);

(2)y=10⑵I/；

(3)y=arctg\tg(a2+e")]21>

12.?球的半徑為r,作外切于球的正圓錐，試將其體積表示為高的函數，并說明定義域。

§2數歹!J極限姓名學號

數列極限定義及性質

1.是非題，若非，請舉例說明。

(1)設在常數。的無論怎樣小的￡鄰域內存在著｛X,,｝的無窮多點，則｛%｝的極限為

a?()

(2)limx2n-a,limx2n_x-a,貝lllimx“=a。()

?->ooH->00

(3)設x“=0.11…1(n個),則limx”=-)

”->89

2.用數列極限證明：

,,、「2n-l1

(1)lim--------=—;

oO4/1+32

(2)lim(VnTT-Vn)=0

〃一>00

3.如果limx”=a,證明舉例說明反之未必成立。

，，—"一kg]'

4.若limx〃存在，證明lim〃sinN~=O。

n—>00〃一>8幾~

5.若數列x“有界，又limy”=0,證明limx“y“=0。

數列極限運算法則及存在準則姓名學號

1.是非題，若非，請舉例說明。

（1）若limx”存在，而limy“不存在。則lim（x“±y“）不存在。（）

（2）若limx“存在，而limy“不存在。貝ijlim（x“y”）不存在。（）

(3)若匕，都存在，且滿足〃“<匕,(〃=1,2,…)，則limM“<limv“。()

“TOO〃一>co〃一>00〃T8

2.設有兩個數列",與匕］,已知lim%=awO,又lim〃“=0,證明limvw=0o

/I—>coyn—>oo〃—>oo

3.求下列極限:

4n3-2n+1(-2)"+3"

(1)lim(2)lim

〃T82/+3/-171-?00(-2)n+1+3n+,

(3)lim)(J〃2+17n2-1);(4)liml+3+-+(2//-l).

1+2+???+〃

(5)lim(l-[)(1-1)???(1-，)；(6)lim(l+-)2n;

22

”f82-3ngoon

(7)lim(l+-)"；

28n+1

11

4.證明數列x“------FH1-------有極限。

2+122+l2"+l

5.設0＜再＜2,x“+i=12+%（〃=1,2,…）,證明數列x“有極限,并求出該極限。

c4narctgnx

6.求極限hm/&。

“T8加2+〃

7.求極限lim

〃T8]+e-nx

§3函數極限姓名學號

函數極限的定義及性質

1.用“￡一〃”或“￡—3”語言，寫出下列各極限的定義。

(1)lim/(%)=2;(2)lim/(x)=-l;

X->-00

(3)limf(x)=1;(4)lim/(x)=4;

x+2-

2.極限定義中的￡與b有何特性?

3.用極限定義證明：

/.、「sinx_,c、「

(1)lim--j=^=0;(2)lim--X--+--l-二一1；

XT+CO飛xis2x-l2

(3)lim(2x-l)=l;(4)limVx=2;

A->4

2x-l,x<1,一

4.設/(x)=<問limf(x)是否存在？畫出y=/(x)的圖形

0,X>\,XT1

5.若lim/(x)=A>0,證明在x0的某一個去心鄰域內/(x)>0。

§5函數極限運算法則姓名學號

1.選擇填空：

x~+2x-sinx

(1)lim--------------

282x+sinx

(A)不存在.(B)0.(02.(D)

2

er+1

(2)設/(x)=—.—，貝ijlimf(x)o()

—Lx->0

2eX+1

(A)oo.(B)不存在.(C)0.(D)

-x,X<1,xr<1

(3)設/(x)=g（x）=則管丹g（x）］。（)

3+x,x>1;

(A)-1.(B)1(C)4.(D)不存在.

(1+CL)X^+hx+2.八rii、r/、

(4)lim----------A-------=-2,則a,b的值分別為()

x->8T+￡_]

(A)a=-3,b=0(B)a=O,b=-2,(C)a=-1,b=0,(D)a=-l,b=-2

x2-l

(5)變量/(x)在（）的變化過程中是無窮小量。

(X—1)J+1

(A)x-1(B)x-—1(C)x-0(D)x-oo

2.求下列各式的極限:

(3X+1)70(8X-1)30X3X2

(1)lim(2)lim(）；

XTOO100

(5x+2)X->82x"-12x+1

y[x.、..x+sinx

(3)lim(4)lim--------

X—>4-00XT8x-cosX

(5)limx(\x2+1-x)；(6)lim2二77

XT+<?HX-\

2.Vx-1

(7)lim(—--T）；(8)lim——；

fl-t1-IfJX—1

F—zj—v4-4-

3.設lim-----有極限值m,試求a及m的值

XT-Ix+1

?1八

xsin—,-oo<x<0,

X

4.討論lim/(x)的存在性，其中/(幻=<x24-2X-1,0<X<1,且/=OJo

XfXq

x2-l1

-----,1<X<+00；

、工一1

§6極限存在準則兩個重要極限姓名學號

1.求下列極限

(1)lim(—二+—、=+???+—；

(2)lim〃(―^—+———+???+-^——)；

乃〃~+2乃〃+〃4

(4)limxsin—；

XT0°X

(5)lim(l-x)sec—；

(6)lim(l+3^2x)f,g2jt；

(7)lim(U)「+2；

isx+3

Y

⑻陽…

V1+tanx-V1+sinx

(9)hm----------1-----

XTO%3

(10).limxsinln(l+—)-sinln(l+—)

18xx

§7無窮小的比較姓名學號

1.當x->0時判斷下列各無窮小對無窮小x的階

(1)y[x+sinx；(2)x2'3-x1/2;

(3)y[x-3x3+x5;(4)tgx-sinx;

2.利用等價無窮小代換，求下列各極限:

3sinx+x2cos—

「l-cos2x

(1)lim---------(2)lim---------------

“T°xsinxa。(l+cosx)ln(l+x)

「1-cos3X

(3)lim--------(4)------),

xsin2x9。sinxtgx

A/1+X2-1

(5)(6)lim

XTOln(x+l)XTO

(7)limVH(V^-I)：

n—>oo

8.E(a+》)+ln(4-x)-21na

iox2

Jl+/(x)sin2x-l

3.已知lim2,求理"x)

3x

XTOe-\

4比較下列各組無窮小:

上三與1-五；

(1)當xfl時,

1+X

(2)當x―0時(1-cosx)2-^sin2x；

(3)當xf1時，無窮小l-x是1-次的幾階無窮?。?/p>

第一章函數極限連續

§1函數

1.解：(1)要使sinj4—x2有意義,必須4—/NO,即使國＜2.所以定義域為［-2,2］.

(2)當x#3且xR1時，十一!——有意義;而要使有意義，必須x2-2,故函數

的定義域為：［-2,l)、(l,3)、(3,+oo).

yy1y1Q

(3)要使arccosln—有意義，則使一1Win—41,即一K—We.「.一〈xWlOe,即

1010e10e

定義域為［WjOe］.

e

77

(4)要使吆(x+1)有意義，則必有x++&I次=0,±1,±2,???.;即函數定義域為

1x|xGR月/wk乃+]—1次=0,±1,±2,…1.

(5)當x43時有意義；又當xwO時areg，有意義，故函數的定義域為:

X

(-00,0)、(0,3].

(6)當2版■WxWQ攵+1)萬(4=0,±1,±2-)時而，有意義；有要使川6-、有意義,

必須有一4<x<4.所以函數的定義域為：[—4,一捫、[0,乃].

2./⑶=2,/(2)=1,/(0)=2,/(；)=2,/(-1)=2*

3.解：/[g(x)]=J—F+4x—3,因止匕要使J——2+4x—3有意義;必須14x43,

即/[g。)]的定義域為[1，3]?

XL

‘<

rl,x<0,e,|x|<1,

eX=L=

4.解/[g(x)]=<0,x=0,g"(x)]=/')=.1,|x|=1,o

e">L-1,x>0;1I-

一，k>L

1e

5.BO<sinx<1時/(sin尤)有意義，故其定義域為[2左乃,(2k+1)幻伏=0,±1,±2…).。

2^-l,x>1,2x+3,x>-1,

6./U-l)=/U+l)=

2

x-2x+5,x<1;尤?+2x+5,x<—1;

2廠+10,x<—1,

故/(X-1)+f(x+1)=<X2+8,-1<X<1,o

4x+2,x>1.

7解：設/(x)=ax2+/?工+。,由/(1+1)-f(x)=8x+3=a(x+1)?+6(x+1)+c-(ax?

+0x+c)=2ax+a+瓦得2a=8,a+b=3,即a=4,b=-L/(x)=4x2-x+c.

8?:f[/(一x)]=f[一/(x)]=-/[/(x)][/(x)]為奇函數

g[/(—x)]=g[-/(x)]=g[/(x)]g[/(x)]為偶函數

9.證：當國21時，/34,因此|詈^卜1;當卜|<1時,]詈，41+142;所以對任

意X￡(-00,4-00),|/(X)|<2,即/(X)有界。

10.解：(1)由y=ln(x+2)+1得ln(x+2)=y—1,即x+2="Lx=el-2.

???y=ln(x+2)+1的反函數為y=e一2.

（2）由y=——得2丫=3—,即1=1082"一,反函數為》二108，」一

2+11-y1-y-1-x

x-\,x>1,

(3)當x20時yNl;x<0時，y<0.反函數為：y=<

Vx,x<0.

11.解：(1)y=a3=sin(l+2x);y=u3,u=sinv,v=1+2x.

(2)y=lOlt,u=(2x—I)?;y=10w,w=v2,v=2x—1;；

2x2

(3)y=arctgu,u=[tg(a+e)]；

y=arctgu,u=v2,v=tg(a2+e");y=arctgu,u=v2,

v=tg(a2+w),w=ex.

12.設證圓錐的高為人,底半徑為凡體積為V,由立體兒何學知：砒2瓦

3

又利用兩直角三角形相似可得

r~h~-^—y=""人G(2幾+8).

h(h-2r)h-2r3(/?-2r)

§2數列極限定義及性質

1.解：（1）（錯）例如x“=1+（-D",a=2；（2）（對）（3）（對）.

"2〃+12

2n-1

2.(1)證:-=------------<—<——

4〃+322(4〃+3)8〃n

任給力0,取N=J］,當〃〉N時，有包二1一_1<1<￡.由定義：iim2」=L

￡4n+32n4〃+32

廣，，任給￡>取、=[二]，當〃〉時,

(2)證:IV^+T-V^|=-7=i-<30,N

11vn+l-y/n\n￡-

|J〃+1-V/?Iv-vg.:.lim(VH+1-VA7)—0.

11yjn〃T8

3.證:丁limx“=a,.,.任給￡>0,存在N>0,當">N時，有|x“一同<￡,又卜卜時歸

“T8

|x?-a\<￡(n>N時),?.lim|x/r|=\a[

4.證：丁limx〃存在，.,?存在A/〉0,有㈤<=1,2,…).又??,幾sin飛WkJ〈竺.

ZJ—?oonn

MN時,有asin與一0<竺<limnsin

：.任給￡>0,取N=［一］，當">%=0

￡nn“f0°n

5.證：?.?{%"}有界,存在M>0,使得同4M(”=1,2,…).又limy”=0，

任給￡>0,

存在N>0,當"N時有■，而|xM=k“|y/KM?]?=￡????=0.

數列極限運算法則及存在準則

1.解：(1)(對)

(2)(錯)例如：x“==sin=ojimsin”不存在，但lim'sin〃=0存在.

fjn->a>幾n—?oon—>oo〃

(3)(錯)例如：un=—^—,vn=—<?〃(〃=1,2,…)，但lim-^—=lim—=0.

n"+1nis幾+1〃f8〃

2.證：,.Tim"=。wO,，lim'=lim，=幺>有界，而乙='?%由數歹U極

is叱…明〃Tg"a[un]un

乙

限的定義及性質和上節習題5可知limy”=0o

"Too

“21

.4〃_2H+1

3.解：(1)lim-------------——=lim—=

->?>2/?+3w-1"T831

n2+

nnr

2

3n[(-|r+i]j

(2)Hm*+3"

lim

〃/o(-2)"i+3""->QO3"+i[(_；嚴+1]3

222n

(3)limn(yln4-1—Jn-1)=lim^=-=lim

“Too〃T87rt2+1+_i"f8

1+(2〃-1)

一幾

-1+3+???+(2〃-1)

(4)lim------------------------lim---------=--2-----

〃T81+2+???+〃“TOO1+n

n

2

(5)lim(l-!)(1—])…(1—y)=lim(l-《)(1+!)(1-g)(1+：)…(1——)(1+—)

…2232n2—2233nn

32435n-\〃+l、-1n+1.1

lim(—------)=hm(z----------)=—

2'3*3*4*4

“T82nn〃T0°2n2

(6)lim(l+-)2"=lim(l+-)"(1+-)n=e2.

"T8n"T8〃n

(7)lim(l+—=lim(l+—)n+,(1+—=e.；

-〃+1"T8n+1〃+1

135

空上則1+3+4+...+2-l

(8)記S〃—1—r-T+…+2sli

222232222“T

2-12〃一3、2n-\

+(-^rr

2,,_|T

=1+1+-+...+^—2/z-l

.hmSn=1H-------=3.

22n~2T〃foc]

1—

2

111111

4.證：｛x,J單調增加，且七=-----1--0---+…+-----<---1-+?,?-!=

2+122+1T+1--2---222〃

彳口-(彳)"]

z——單調增加有上界，故有極限

1-

2

5.證X〃T,0<%<2,設x,<2,則A：,?=j2+x“<2,數列x”有界,{x“}有極限,

設極限為則a=，2+〃,解得4=2,4=-1（舍去），limx〃=2.

M->0O

7T八

一,x>0,

2

ce..narctsnx

6.解：hm,6-=<0,x=0,

“T8+〃

71八

—,x<0.

2

l,x>0,

\-e~nx

7.解：lim-----0,-x=0,

"is1+e~nx

-l,x<0.

§3函數極限的定義及性質

1.解：⑴任給￡〉0,存在M>0,使當》<-加時，恒有|/(幻-2]<￡成立.

(2)任給￡>0,存在M>0,使當|x|>M時，恒有Y(x)+1|<￡成立.

(3)任給￡〉0,存在b〉0,使當0<x-2(麗，恒有成立.

(4)任給￡>0,存在3>0,使當—b<x+2〈加寸，恒有|/(X)—4|<￡成立.

2.解：(1)任給￡>0,取知=與，當x>〃時，

￡

sinx八Isinxl1sinx?

—-0=—7=-<——<lim—T=-=0;

yJXVXyJXxf+aNX

x+11=——-——<--—<―-一?任給￡>0取Af=-(-+1)

(2)22|2x-1||2x-1|羽一1…1口27人

2x-l

M，|I..r士X+l12X+l1

時n，有'--------<—r-：——<￡,hrm---------=一;

112x-l22|x|-1E2X-12

(3)?.?|(2x—1)—l|=2|x—1|..?.任給￡>0,取6=早當——時，有|(2x—l)

-1|=2|x-1|<6,.lim(2x-1)=1;

(4)—=任給0<￡<i取b=2&當0<|x—4|〈加寸,

有|?一2|〈叩

<?.limVx=2;

x->4

3.(3)可知:lim(2x—1)=1，而lim/a)=limO=(V.lim/(x)不存在，圖略.

X->rXfl+XTl

A

4證：???lim/(x)=A>0,由極限定義，取￡=C■，存在S〉0,當0<|x—x0|<麗，有,

XT/2

AAAA

|/(x)-A|<—,B|J：O<—=A-y</(x)<A+y,.\/(x)>0.(0<|x-x0|<3).

§5函數極限運算法則

1.解：(1)D.(2)B.(3)D.(4)D(5)B.

(3+—)70(8--)30270830

(3X+1)70(8X-1)30

2.解：(1)limlim

7—4-100

x->00(5x+2),0°XT8(5+4)1oo5

x

X'

(2)lim(—-)=lim/j4+l)」

Xf8Lx2x+l'^(2X2-1)(2X+1)4

(3)lim=lim

Xf+00

?1

1+—sinx

一x+sinx

(4)hm------------lim—手---=1.

x->gx-cosxX-?00|

1——cosx

X

(5)lim+1-x)=lim/%-----=—

Xfg+尤2

lim2廠-1lim(l)(2x+l)=3

(6)

ex-15X-l

2

(7)lim(---------=lim-

5IT\-rt12

(8)lim參」=lim-=2

7?-1Xi由八次+i3

2

32(x+l)(x-5x+4)

「X-4X-X+4

lim----------------------=lim--------------------------=10,m=10

x"x+1STX+1

lim/(x)=limxsin—=0,lim/(x)=lim(x2+2x-l)=-l.

4,解：ITOXfOxXT。’XfO*

.?.1加/(1)不存在..

v-2__1

lim/(x)=lim(x2+2x-1)=2,limf(x)=lim--------=2,.\lim/(x)=2.

X->rXT1+x->l+X—lXTl

§6極限存在準則兩個重要極限

zxn111n工,.nA

1.解：(1)?---------r=<-------p+-------j=+???+--------<--------=.m]lim--------j==1

〃+〃+Jl〃+j2n+Nnn4-vln+\n

lim-------尸=1,/.lim(-------『+---廣+???+---尸)=1.

"T8〃+J1〃+j2H+VH

(2)-.'^^<11(-^—+—+…+-^—,而=

n+n/r"+4n~+2TT〃?+〃乃〃+乃6n-+建兀

lim4

1,/.原式=1.

mgn~+乃

，而lim逅」2

(3).?JimJ出工

222"2…22ATOO2"2

.1

sin

(4)limxsin-=lim--1.

A->oQXX->001

X

222

(5)令=貝ljlim(l-x)sec—=lim--——=—lrim---

I2—o.m7i/_>0.加7T

sinsin

22

3

i

^tg2x

(6)lim(l+3fg2x)glim(1+3次2制

x->0x->0

.t+3

x-14x-1

(7)lim()x+2lim(1-)-4

XTcox+3x->oox+3x+3

x2x

(8)㈣Elim(—r()xi.

XT8x-Tx+l

(9)原式二

tanx-sinx

lim

3

XTOx(Jl+tana+Jl+sinx

tanx-sinxJimsin尤一sinx.cosxsinx1-COSX11

-lim-lim

2—。x32XT。X3COSX22°xx2cosx4

sinIn1+3sinln^l+3

(10)limxsinln|14--|=limI%ln1+xlnfl+-

lim[d

KT8XXf8J_.rf8

x

=limln1+—=limln1+—=3

KTS\X)XTSIXj

同理limxsinln|1+-|=1所以原極限=3-1=2.

28IX)

§7無窮小的比較

解：(1)...］而=i,..4+$山人是x的工階無窮小(xf0);

1.

y/X2

2/3_1/2i

(2)vlim--百—=lim(x,/6-1)=-1,/.x-?0時x*一(。匙的一階無窮小;.

x—0X"?X->02

(3)?「lim近二莖上《=lim(l-3x8/3+x3)=1,.-.x->0時原式是x的！階無窮小;

I。^JX203

SinCSX)

(4)?「lim史普=limf-°=',.?.xf。時原式是x的3階無窮?。?/p>

X10X-cosx2

2

CA”/、「1-cosx2x八

2.解：(1)lim-------=hm——=2；

xsinx9。x

3sinx+x2cos—ii々

,小居分［.y3o-sinx113

(2)原式:lim-------------=—lim----+lrim—xcos—=—

io2x21。xz02x2

、「1-cos3X「(1-cosx)(l+COSX4-COS2X)73

(z3)lim-------=lim------------------------=31im-^4-=-

xsin2x2廠4

0、】./11.tgx-sinx..2八

(4)lim(--------)=lvim-2-------=lim---=0；

XTOsinxtgxXT°sinxtgxx~

(5)lim,7=lim豈=2；

xf0ln(x+1)A--?0X

______X

，八「rJ1

(6)lim----z-----=hm』=一；

xa。x3

(7)lim〃(標-1)=lim?(e〃-1)=lim"n"=0；

〃T8"Toon->oo〃

22「r2、2

mV1

(8)原式:lim----y---=lim----——-=lim—^―=——7

xfOxx*f°x。?

3.解：

lim(e"-=0,/.lim“1+/(x)sin2x-ij=0,.*.limf(x)sin2x=0

Jl+/(x)sin2x-l—/(x)sin2x

...2=limlim------------

1

XT3x

Oe—1io3x

\—X

4舲⑴孤丘既宵旨…3時?

(2)vlim—~_-0.：.(1一(；0$》)2為比5泊2x高階的無窮小;

xf°sin~xXTOx

(3)vlim—~=lim——2a+=ijm(i+加+=3.無窮小1一x

—1-Nx—(1-Vx)(l4-Vx+Vx2)i

是1-丘的同階無窮小.

第七章空間解析幾何與向量代數

7.1空間直角坐標系

1.在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？

A(l,-5,3),B(2,4,-1),C(l,-5,-6),D(-l,-2,1).

2.已知點A(a,b,c),求它在各坐標平面上及各坐標軸上的垂足的坐標(即投影點的坐標)。

3.求點P(x,y,z)分別對稱于y軸，z軸及xoy,zox坐標面的點的坐標。

4.在yoz坐標面上，求與三個點A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,-1)等距離的點的坐標。

5.在z軸上,求與點A(41,7),點B(3,5,-2)等距離的點。

6.根據下列條件求點B的未知坐標：

(1)A(4,-7,1),B(6,2,z),IABI=11;

(2)A(2,3,4),B(x,-2,4),IABI=5.

7.2向量及其線性運算

1.把三角形ABC的邊BC五等分，并把分點Di,D2,D3,D4各與A連接，試以

AB-c,BC-a,表示向量和DjA。

2.若四邊形的對角線互相平分，用向量方法證明它是平行四邊形。

3.下列說法是否正確，為什么？

(1)是單位向量；(2)-i不是單位向量

(3)與三坐標軸的正向夾角相等的向量，其方向角為(巴，生,巳)

333

4.已知N={2,2,1}]={8,-41},求與彳同方向的單位向量及1的方向余弦.

??—>—?—??—????—?-?-?>'>—?

5.設m=i+2/+3Z,〃=2z+j-3攵,和p=3i-4/+左,求向量〃=2m+3〃一p在x

軸上的投影和在y軸上的分向量。

6.一向量的終點為點B(-2,l,-4),它在x軸，y軸和z軸上的投影依次為3,-3和8,求這

向量起點A的坐標。

7.已知向量〉=片+5)-工和向量1=3；+7+”共線，求系數a和九

一