第3章圖形的平移與旋轉【4大考點15種題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1圖形的平移】 1【題型1平移的概念】 1【題型2平移的性質】 3【題型3簡單平移作圖】 4【題型4點沿坐標軸方向的平移】 6【題型5圖形沿坐標軸方向的平移】 6【考點2圖形的旋轉】 8【題型6旋轉的相關概念】 8【題型7旋轉的性質及應用】 9【題型8旋轉作圖】 10【題型9確定旋轉中心】 12【題型10與旋轉有關的全等三角形】 13【考點3中心對稱】 15【題型11中心對稱的概念與性質】 15【題型12畫與原圖成中心對稱的圖形】 17【題型13中心對稱圖形的概念】 18【考點4簡單的圖案設計】 19【題型14分析圖案的形成過程】 19【題型15簡單的圖案設計】 21【考點1圖形的平移】(1)平移的定義：把一個圖形沿著某一直線方向移動，這種圖形的平行移動，簡稱為平移。(2)平移的性質：平移后的圖形與原圖形全等；對應角相等；對應點所連的線段平行(或在同一條直線上)且相等。(3)坐標的平移：點（x，y）向右平移a個單位長度后的坐標變為（x+a，y）；點（x，y）向左平移a個單位長度后的坐標變為（x-a，y）；點（x，y）向上平移a個單位長度后的坐標變為（x，y+a）；點（x，y）向下平移a個單位長度后的坐標變為（x，y-a）?！绢}型1平移的概念】【例1】（23-24八年級·湖南長沙·期末）慶慶是一位特別喜歡學習數學的小朋友，周末這天他做完作業，在手機上找了一款數學相關的益智類游戲《推箱子》，要求將圖中編號為①②③的三個箱子分別推進圖中“回”字的位置．如果慶慶要想一次性通關，且盡可能讓自己步數少，應該先推()號箱子，再推()號箱子，最后推()號箱子．【變式1-1】（23-24八年級·浙江紹興·期末）下列物體的運動屬于平移的是（

）A．汽車方向盤的轉動 B．小紅蕩秋千C．電梯上顧客的升降運動 D．火車在彎曲的鐵軌上行駛【變式1-2】（23-24八年級·安徽宿州·期末）現實世界中平移現象無處不在，下列漢字可由其中一部分平移得到的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（23-24八年級·湖北孝感·階段練習）我們知道，在平面直角坐標系中，將點x,y上下或左右平移，可以得到相應點的坐標．如圖是一組密碼的一部分，為了保密，不同的情況下可以采用不同的密碼．若輸入數字密碼1,5,2,2，對應中轉口令是“相交”，最后輸出口令為“平行”；按此方法，若輸入數字密碼6,5,【題型2平移的性質】【例2】（23-24八年級·福建福州·期末）如圖，長方形ABCD中，線段AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD，那么三角形【變式2-1】（23-24八年級·北京·期中）在用平移作畫的活動中，小辰仿照書上的例子（圖1）設計了一幅畫（圖2）．首先他畫出很多邊長是5cm的小正方形，然后畫出圖2中的曲線，并沿著正方形的邊向上或者向右平移相應曲線，得到了“飛馬”的樣子．請你計算一匹“飛馬”部分的面積為cm2．【變式2-2】（23-24八年級·甘肅武威·期末）某酒店準備在一個樓梯鋪設一種地毯，已知樓梯的寬為2米，樓梯的側面如圖所示，則買地毯的面積至少是（）m2．A．9 B．11 C．18 D．27【變式2-3】（23-24八年級·遼寧丹東·期末）如圖，長方形ABCD中，AB=5，第1次將長方形ABCD沿AB的方向向右平移4個單位長度，得到長方形A1B1C1D1，第2次將長方形A1B1C1D1沿A1B1【題型3簡單平移作圖】【例3】（23-24八年級·吉林·期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形ABCD的頂點坐標分別為A(1,3)，B(1,1)，C(4,0)，D(4,4)．(1)把四邊形ABCD經過平移后得到四邊形A1B1C1D1，點A的對應點A1的坐標為(?4,?1)．請你畫出四邊形(2)若四邊形ABCD內有一點P(a,b)，則經過平移后的對應點P1(3)求四邊形A1【變式3-1】（23-24八年級·廣東清遠·期末）如圖，在網格上，平移△ABC，并將△ABC的一個頂點A平移到點D處，其中點E和點B對應，點F與點C對應．(1)請你作出平移后的圖形△DEF；(2)線段BC與EF的關系是：______【變式3-2】（23-24八年級·全國·期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知A?2,2，B2,0，C3,3，Pm,n是△ABC的邊AB上的一點，把△ABC經過平移后得到△DEF，點A，B，C的對應點分別為點D，E，F，點(1)在平面直角坐標系中畫出△DEF；(2)求△DEF的面積．【變式3-3】（23-24八年級·河北邯鄲·期中）在平面直角坐標系中，將A?4,3，B?1,2，C?4,1(1)如果原來四個點的縱坐標保持不變，橫坐標都加上4，將對應所得的點相應地用線段連接起來，那么所得的圖案是由原來的圖案進行了怎樣的平移得到的？寫出文字說明，并在圖上畫出圖形；(2)如果原來四個點的橫坐標保持不變，縱坐標都減去3，將對應所得的點相應地用線段連接起來，那么所得的圖案是由原來的圖案進行了怎樣的平移得到的？寫出文字說明，并在圖上畫出圖形．【題型4點沿坐標軸方向的平移】【例4】（23-24八年級·廣西百色·期中）在平面直角坐標系中，線段A′B′是由線段AB經過平移得到的，已知點A?3,2的對應點為A′2,?1，點B的對應點B′A．?1,3 B．?1,4 C．1,4 D．2,5【變式4-1】（23-24八年級·云南怒江·期中）將點A?3,?2向右平移5個單位長度，得到點A1，再把點A1向上平移4個單位長度得到點A2，則點A．?2,?2 B．2,2 C．?3,2 D．3,2【變式4-2】（23-24八年級·湖北荊州·期中）在平面直角坐標系中，將點1,?4平移到點?3,?2，經過的平移變換為（

）A．先向左平移4個單位長度，再向下平移6個單位長度B．先向右平移4個單位長度，再向上平移6個單位長度C．先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度D．先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度【變式4-3】（23-24八年級·福建廈門·期中）在平面直角坐標系xOy中，線段AB進行平移得到線段CD，點A的對應點是點C，Aa，0，B2，0，Cc,a?b，【題型5圖形沿坐標軸方向的平移】【例5】（23-24八年級·貴州·期中）如圖，把圖1中的△ABC經過一定的變換得到圖2中的△A′B′C′，如果圖1中△ABC上點P的坐標為

A．a+2,b+3 B．a?3,b?2 C．a+3,b+2 D．a?2,b?3【變式5-1】（23-24八年級·浙江嘉興·期末）如圖，在邊長為1的小正力形組成的網格中，點A，B，C部在格點上，若將線段AB沿BC方向平移，使點B與點C重合，則線段AB掃過的面積為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【變式5-2】（23-24八年級·安徽安慶·期末）如圖在直角坐標系中，右邊的圖案是由左邊的圖案經過平移以后得到的．左圖案中左右眼睛的坐標分別是(?4,2)、(?2,2)，右圖中左眼的坐標是(3，4)，則右圖案中右眼的坐標是，左圖內有一點P(a,b)經過上述平移后，對應點坐標為．【變式5-3】（23-24八年級·北京·期中）如圖，第一象限內有兩點Pm?3,n，Qm+1,n?3，將線段PQ平移，使點P、Q分別落在兩條坐標軸上，則點P平移后的對應點的坐標是

【考點2圖形的旋轉】（1）旋轉的定義：把一個平面圖形繞著平面內某一點O轉動一個角度，叫做圖形的旋轉。點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。如果圖形上的點P經過旋轉變為點P′，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點。（2）旋轉的性質：①對應點到旋轉中心的距離相等；②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；③旋轉前后的圖形全等。【題型6旋轉的相關概念】【例6】（23-24八年級·甘肅慶陽·期中）將如圖所示的圖形繞其中心旋轉某一角度后會與原圖形重合，這個角度可以是（

）A．60° B．90° C．120° D．180°【變式6-1】（23-24八年級·遼寧沈陽·期中）下列現象中不屬于旋轉的是（

）A． B．C．

D．【變式6-2】（23-24八年級·甘肅慶陽·期末）如圖，若將△ABC繞點O逆時針旋轉60°后與△LMN重合，則下列角一定等于60°的是（

）A．∠CON B．∠AON C．∠AOC D．∠AOM【變式6-3】（23-24八年級·河北唐山·期末）如圖，在正方形網格中，將三角形ABC繞點A逆時針旋轉一定角度后得到三角形ADE，則下列說法錯誤的是（

）A．∠BAD為旋轉角，大小為90° B．∠CAE為旋轉角，大小為90°C．AC=AD D．旋轉中心為點A【題型7旋轉的性質及應用】【例7】（23-24八年級·貴州黔南·期中）如圖，在△ABC中，∠CAB=32°，將△ABC繞點A逆時針旋轉到△AB′C′的位置，連接CC′．若C【變式7-1】（23-24八年級·江蘇常州·期末）如圖所示，將等邊三角形ABC分割成大小相同的9個小等邊三角形，分別標上數字1，2，3，…，9，那么標有數字2的小等邊三角形繞它下面的頂點O旋轉180°，可以和標有數字的小等邊三角形重合．【變式7-2】（23-24八年級·天津靜?！て谀┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，將△ABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在AB邊上的點E處，點B落在點D處，連接BD．（1）AD的長為；（2）BD的長為．【變式7-3】（23-24八年級·安徽淮南·期中）如圖，A點的坐標為?1,5，B點的坐標為3,3，C點的坐標為5,3，D點的坐標為3,?1，線段AB與線段CD存在一種特殊關系，即其中一條線段繞著某點旋轉一個角度可以得到另一條線段．（1）旋轉中心是，（2）旋轉角為°．【題型8旋轉作圖】【例8】（23-24八年級·北京東城·期末）如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A，B，C的坐標分別為?2,1，1,2，2,1，將△ABC繞點P逆時針方向旋轉得到△A′B′C′，點A的對應點A′的坐標為?2,?1

(1)點P的坐標是；（填寫正確的選項）A．?1,0

B．0,1

C．1,?1(2)畫出旋轉后的△A′B′C(3)線段BA的延長線與線段A′B′交于點M【變式8-1】（23-24八年級·山東濟寧·期末）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A2,4(1)請畫出△ABC繞點B順時針旋轉90°后的△A(2)C1(3)皮克定理：數學上把在平面直角坐標系中橫，縱坐標均為整數的點稱為格點，計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：s=a+b÷2?1，其中a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，s表示多邊形的面積．若用皮克定理求△ABC三角形的面積，則a=________，b=________，S△ABC【變式8-2】（23-24八年級·陜西安康·期末）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點都在邊長為1的正方形組成的網格格點上，點A的坐標為?1,3，點B的坐標為?2,2．將△AOB繞點O順時針旋轉90°得到△A1OB1，畫出旋轉后的△A1OB【變式8-3】（23-24八年級·陜西商洛·期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A5,4，B1,2，(1)將BC繞點C順時針旋轉90°得到B1C（點B的對應點是點B1），則B(2)請畫出△ABC繞原點O順時針旋轉180°后得到的△A2B2C2（點A，B，C的對應點分別是點【題型9確定旋轉中心】【例9】（23-24八年級·上海浦東新·期末）如圖，如果三角形BCD旋轉后能與等邊三角形ABC重合，那么圖形所在的平面內可以作為旋轉中心的點共有個．【變式9-1】（23-24八年級·遼寧營口·期末）如圖所示，在正方形網格中，圖①經過變換（填“平移”或“旋轉”或“軸對稱”）可以得到圖②；圖③是由圖②經過旋轉變換得到的，其旋轉中心是點.（填“A”或“B”或“C”）【變式9-2】（23-24八年級·廣東廣州·期中）如圖，已知點A2,0，B0,4，C2,4，D6,6，連接AB，CD，將線段AB繞著某一點旋轉一定角度，使其與線段CD重合（點A與點C重合，點A．3,2 B．3,3 C．6,2 D．4,2【變式9-3】（23-24八年級·北京朝陽·期末）如圖，在正方形網格中的這兩個格點三角形的旋轉中心是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【題型10與旋轉有關的全等三角形】【例10】（23-24八年級·天津河西·期末）如圖①，將一個正方形紙片OABC和一個等腰直角三角形紙片OED放入平面直角坐標系中，點O(0,0)，點A(0,5)，E(0,4)，D(4,0)．如圖②，將紙片OED繞點O順時針旋轉，設旋轉角為αα．

(1)當旋轉角α為30°時，求此時點E的坐標；(2)當旋轉角α為45°時，連接AE，求AE2(3)在旋轉的過程中，當∠OAE最大時，求此時△COD的面積（直接寫出結果即可）．【變式10-1】（23-24八年級·河北廊坊·期末）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=42°，D為△ABC內一點，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉42°，得到AE，連接

(1)求證：BD=CE；(2)若DE⊥AC，求∠BAD的度數．【變式10-2】（23-24八年級·北京朝陽·期末）已知線段AB和點C，將線段AC繞點A逆時針旋轉α0°<α<90°，得到線段AD，將線段BC繞點B順時針旋轉180°?α，得到線段BE，連接DE,F為DE的中點，連接AF,BF

(1)如圖1，點C在線段AB上，依題意補全圖1，直接寫出∠AFB的度數；(2)如圖2，點C在線段AB的上方，寫出一個α的度數，使得AF=3【變式10-3】（23-24八年級·福建廈門·期中）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，分兩種情況討論，請補充以下推理過程：①當△ABC的三個內角均小于120°時，如圖1，將△APC繞點C順時針旋轉60°得到△A′P

∵△APC繞點C順時針旋轉60°得到△∴PC=P′∴△PCP∴P∵△APC≌△∴P∴PA+PB+PC=P由幾何公理：_____________可得：P∴當B，P，P′，A在同一條直線上時，PA+PB+PC如圖2，PA+PB+PC最小值為A′B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有

②當△ABC有一個內角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點，證明略．(2)如圖3，在ABC中，三個內角均小于120°，且∠ABC=60°，AB=5，BC=3，若P為△ABC的“費馬點”，求PA+PB+PC的值；

(3)如圖4，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為1萬元/km，1萬元/km，2

【考點3中心對稱】(1)中心對稱的定義：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱。這個點叫做對稱中心。這兩個圖形在旋轉后能重合的對應點叫做關于對稱中心的對稱點。(2)中心對稱的性質：①中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分；②中心對稱的兩個圖形是全等圖形。(3)中心對稱圖形定義：如果一個圖形繞一個點旋轉180°后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點叫做它的對稱中心。(4)關于原點對稱的點的坐標兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P(x，y)關于原點O的對稱點為P′(-x，-y)。【題型11中心對稱的概念與性質】【例11】（23-24八年級·福建福州·期中）如圖，在等邊三角形ABC中，O為BC的中點，AB=2，△BPQ與△BAO關于點B中心對稱，連接CP，則CP的長為．【變式11-1】（23-24八年級·四川成都·期末）若點Pm,2與點Q3,n關于原點對稱，則m，n的值分別為（A．?3，2 B．3，?2 C．?3，?2 D．3，2【變式11-2】（23-24八年級·廣東廣州·期中）如圖，△AGB與△CGD關于點G中心對稱，若點E，F分別在GA、GC上，且AF=CE，求證：BF=DE．

【變式11-3】（23-24八年級·山東濟南·期末）在平面直角坐標系中，點P1(0,?1)，P2(2,3)的對稱中心是點A，另取兩點B(?1,2)，C(?1,0)．有一電子青蛙從點P1處開始依次作關于點A，B，C的循環對稱跳動，即第一次跳到點P1關于點A的對稱點P2處，接著跳到點P2關于點B的對稱點P3處，第三次再跳到點P3關于點C的對稱點P4A．?1,1 B．?1,?1 C．2,0 D．?4,1【題型12畫與原圖成中心對稱的圖形】【例12】（23-24八年級·新疆和田·期末）如圖，在平面直角坐標系中有一個△ABC．(1)作出△ABC關于原點O對稱的△A1B(2)求出△A【變式12-1】（2024八年級·全國·專題練習）如圖，△ABC和△A′B′C′關于某一點成中心對稱，某同學不小心把墨水潑在紙上，只能看到△ABC和線段BC的對應線段【變式12-2】（23-24八年級·湖北咸寧·期末）如圖，在正方形網格中，△ABC的頂點在格點上．請僅用無刻度直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作△ABC關于點O對稱的△A(2)在圖2中，作△ABC繞點A順時針旋轉一定角度后，頂點仍在格點上的△AB【變式12-3】（2024·浙江金華·模擬預測）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中建立直角坐標系，小正方形的頂點為格點，△ABC與△EFG的頂點都在格點上．(1)作△A1B1C1，使(2)已知△ABC與△EFG關于點P成中心對稱，請在圖中畫出點P的位置，并寫出該點的坐標．【題型13中心對稱圖形的概念】【例13】（23-24八年級·北京平谷·期末）1949年，伴隨著新中國的誕生，中國科學院（簡稱“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（

）A．東北地理與農業生態研究所 B．山西煤炭化學研究所C．生態環境研究中心 D．西安光學精密機械研究所【變式13-1】（23-24八年級·遼寧營口·期末）蛟龍去，靈蛇來，中央廣播電視總臺乙巳蛇年春晚以如圖所示的“巳巳如意紋”為主標識，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意紋”是圖形．（填“軸對稱”或“中心對稱”）【變式13-2】（23-24八年級·山東德州·期中）如圖，已知圖形是中心對稱圖形，則對稱中心是（）

A．點C B．點DC．線段BC的中點 D．線段FC的中點【變式13-3】（23-24八年級·江西上饒·期末）如圖，兩張完全重合在一起的正三角形硬紙片，點O是它們的中心，若按住下面的紙片不動，將上面的紙片繞O順時針旋轉，設旋轉角為α0°<α<360°，當a=【考點4簡單的圖案設計】【題型14分析圖案的形成過程】【例14】（23-24八年級·河北石家莊·期末）如圖，由圖案（1）到圖案（2）再到圖案（3）的變化過程中，不可能用到的圖形變換是（

）A．軸對稱 B．旋轉 C．中心對稱 D．平移【變式14-1】（23-24八年級·全國·單元測試）經過平移、旋轉或軸對稱的變換后，不能得到如圖所示的圖形的是()A． B． C． D．【變式14-2】（23-24八年級·山東德州·期中）如圖，為保持原圖的模樣，應選哪一塊拼在圖案的空白處(

)

A．A B．B C．C D．D【變式14-3】（23-24八年級·江蘇無錫·階段練習）將一個正方形紙片按如圖1、圖2依次對折后，再按如圖3打出一個心形小孔，則展開鋪平后的圖案是（

）A． B． C． D．【題型15簡單的圖案設計】【例15】（23-24八年級·湖南·期中）下圖是2002年在北京舉辦的世界數學家大會的會標“弦圖”，它既標志著中國古代的數學成就，又像一只轉動著的風車，歡迎世界各地的數學家們．請將“弦圖”中的四個直角三角形通過你所學過的圖形變換，在以下方格紙中設計另個兩個不同的圖案．畫圖要求：（1）每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形不重疊；（2）所設計的圖案（不含方格紙）必須一個是中心對稱圖形，另一個是軸對稱圖形．【變式15-1】（23-24八年級·廣西·期中）圖①、圖②均為6×5的正方形網格，點A，B，C在格點上．(1)在圖①中確定格點D，并畫出以點A，B，C，D為頂點的四邊形，使其為軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形（畫一個即可）；(2)在圖②中確定格點E，并畫出以A，B，C，E為頂點的四邊形，使其為中心對稱圖形（畫一個即可）．【變式15-2】（23-24八年級·浙江寧波·期中）如圖，在4×4的方格中，有4個小方格被涂黑成“L形”．

(1)在圖1中再涂黑4格，使新涂黑的圖形與原來的“L形“關于對稱中心點O成中心對稱；(2)在圖2和圖3中再分別涂黑4格，使新涂黑的圖形與原來的“L形”所組成的新圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形（兩個圖各畫一種）．【變式15-3】（2024·浙江寧波·一模）圖①②都是由邊長為1的小等邊三角形組成的正六邊形，已經有5個小等邊三角形涂上陰影，請在余下的空白小等邊三角形中，分別按下列要求選取一個涂上陰影．（請將兩個小題依次作答在圖①，圖②中，均只需畫出符合條件的一種情形）（1）使得6個陰影小等邊三角形組成的圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．（2）使得6個陰影小等邊三角形組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．

第3章圖形的平移與旋轉【4大考點15種題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1圖形的平移】 1【題型1平移的概念】 1【題型2平移的性質】 4【題型3簡單平移作圖】 6【題型4點沿坐標軸方向的平移】 10【題型5圖形沿坐標軸方向的平移】 12【考點2圖形的旋轉】 15【題型6旋轉的相關概念】 15【題型7旋轉的性質及應用】 18【題型8旋轉作圖】 21【題型9確定旋轉中心】 25【題型10與旋轉有關的全等三角形】 28【考點3中心對稱】 38【題型11中心對稱的概念與性質】 38【題型12畫與原圖成中心對稱的圖形】 41【題型13中心對稱圖形的概念】 45【考點4簡單的圖案設計】 47【題型14分析圖案的形成過程】 47【題型15簡單的圖案設計】 50【考點1圖形的平移】(1)平移的定義：把一個圖形沿著某一直線方向移動，這種圖形的平行移動，簡稱為平移。(2)平移的性質：平移后的圖形與原圖形全等；對應角相等；對應點所連的線段平行(或在同一條直線上)且相等。(3)坐標的平移：點（x，y）向右平移a個單位長度后的坐標變為（x+a，y）；點（x，y）向左平移a個單位長度后的坐標變為（x-a，y）；點（x，y）向上平移a個單位長度后的坐標變為（x，y+a）；點（x，y）向下平移a個單位長度后的坐標變為（x，y-a）?！绢}型1平移的概念】【例1】（23-24八年級·湖南長沙·期末）慶慶是一位特別喜歡學習數學的小朋友，周末這天他做完作業，在手機上找了一款數學相關的益智類游戲《推箱子》，要求將圖中編號為①②③的三個箱子分別推進圖中“回”字的位置．如果慶慶要想一次性通關，且盡可能讓自己步數少，應該先推()號箱子，再推()號箱子，最后推()號箱子．【答案】②①③【分析】要一次性通關，先推阻礙其它箱子的箱子，然后推動其它箱子即可．【詳解】要想使游戲一次性通關，則三個箱子要把右邊的三個陰影位置占完，且每個箱子只能占一個位置；觀察三個箱子的位置，發現②號箱子會阻礙其余兩個箱子的移動，因此要先推動②號箱子，其余兩個箱子才能推動；然后推動①號箱子，最后推動③號箱子可以使得步數最少．故答案為：②，①，③【點睛】本題考查平移變換，解答本題的關鍵要明確推箱子游戲的規則．【變式1-1】（23-24八年級·浙江紹興·期末）下列物體的運動屬于平移的是（

）A．汽車方向盤的轉動 B．小紅蕩秋千C．電梯上顧客的升降運動 D．火車在彎曲的鐵軌上行駛【答案】C【分析】本題考查了生活中的平移現象；根據平移的定義：將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動方式叫做平移，進行逐一判斷即可．【詳解】解：A.汽車方向盤的轉動，不是平移，不符合題意；

B.小紅蕩秋千，不是平移，不符合題意；

C.電梯上顧客的升降運動,是平移，符合題意；

D.火車在彎曲的鐵軌上行駛，不是平移，不符合題意；

故選：C．【變式1-2】（23-24八年級·安徽宿州·期末）現實世界中平移現象無處不在，下列漢字可由其中一部分平移得到的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查生活中的平移，根據平移的性質，進行判斷即可．【詳解】解：根據題意，由兩或三個完全相同的部分組成的漢字可以通過平移得到，∴“”可以通過平移得到．故選：A．【變式1-3】（23-24八年級·湖北孝感·階段練習）我們知道，在平面直角坐標系中，將點x,y上下或左右平移，可以得到相應點的坐標．如圖是一組密碼的一部分，為了保密，不同的情況下可以采用不同的密碼．若輸入數字密碼1,5,2,2，對應中轉口令是“相交”，最后輸出口令為“平行”；按此方法，若輸入數字密碼6,5,【答案】數學【分析】本題考查了用有序數對表示位置，平移．根據題意得出平移方法為向上平移2格，向右平移1格，即可解答．【詳解】解：由圖可知“相交”向上平移2格，向右平移1格得到“平行”，∵數字密碼6,5,∴最后數出密碼為“數學”，故答案為：數學．【題型2平移的性質】【例2】（23-24八年級·福建福州·期末）如圖，長方形ABCD中，線段AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD，那么三角形【答案】△ABO【分析】根據平移的性質，可得答案．【詳解】解：在長方形ABCD中，AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD，那么三角形DCE可以看作是三角形故答案為：△ABO．【點睛】本題考查平移的基本性質：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．【變式2-1】（23-24八年級·北京·期中）在用平移作畫的活動中，小辰仿照書上的例子（圖1）設計了一幅畫（圖2）．首先他畫出很多邊長是5cm的小正方形，然后畫出圖2中的曲線，并沿著正方形的邊向上或者向右平移相應曲線，得到了“飛馬”的樣子．請你計算一匹“飛馬”部分的面積為cm2．【答案】25【分析】觀察圖形可得一匹飛馬的面積正好是邊長是5cm的小正方形的面積．【詳解】解：由平移規律可得，一匹“飛馬”部分的面積為5×5=25(cm2)，故答案為：25【點睛】本題考查了圖形的平移，認真觀察圖形的形成過程是解題的關鍵．【變式2-2】（23-24八年級·甘肅武威·期末）某酒店準備在一個樓梯鋪設一種地毯，已知樓梯的寬為2米，樓梯的側面如圖所示，則買地毯的面積至少是（）m2．A．9 B．11 C．18 D．27【答案】C【分析】本題考查平移的性質，根據平移的性質可得，所鋪地毯的長為6+3m【詳解】解：由題意得，3+6×2=18故選：C．【變式2-3】（23-24八年級·遼寧丹東·期末）如圖，長方形ABCD中，AB=5，第1次將長方形ABCD沿AB的方向向右平移4個單位長度，得到長方形A1B1C1D1，第2次將長方形A1B1C1D1沿A1B1【答案】505【分析】本題主要平移的性質，根據平移得到BB1=B1B2=B【詳解】解：由題意可得點B向右平移4個單位長度得到點B1，點B1向右平移4個單位長度得到點B2，……，點B∴BB∴AB∴當ABn=2025解得：n=505，故答案為：505．【題型3簡單平移作圖】【例3】（23-24八年級·吉林·期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形ABCD的頂點坐標分別為A(1,3)，B(1,1)，C(4,0)，D(4,4)．(1)把四邊形ABCD經過平移后得到四邊形A1B1C1D1，點A的對應點A1的坐標為(?4,?1)．請你畫出四邊形(2)若四邊形ABCD內有一點P(a,b)，則經過平移后的對應點P1(3)求四邊形A1【答案】(1)見解析，B1(?4,?3)，C(2)(a?5,b?4)(3)9【分析】本題考查作圖-平移變換，熟練掌握平移的性質是解答本題的關鍵．（1）根據平移的性質作圖，即可得出答案．（2）由（1）得平移規律，再進行解答即可；（3）利用梯形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖，四邊形A1B1(?4,?3)，C1（2）解：由（1）得平移的規律為：向左平移5個單位，再向下平移4個單位，∴點P1的坐標為(a?5,b?4)故答案為：(a?5,b?4)；（3）解：S四邊形【變式3-1】（23-24八年級·廣東清遠·期末）如圖，在網格上，平移△ABC，并將△ABC的一個頂點A平移到點D處，其中點E和點B對應，點F與點C對應．(1)請你作出平移后的圖形△DEF；(2)線段BC與EF的關系是：______【答案】(1)見解析；(2)平行且相等【分析】本題考查了作圖-平移變換：確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．（1）利用點A與點D的位置確定平移的方向與距離，利用此平移規律畫出B、C點的對應點E、F即可；（2）根據平移的性質進行判斷．【詳解】（1）解：如圖，△DEF為所作；；（2）解：線段BC與EF的關系是平行且相等．故答案為：平行且相等．【變式3-2】（23-24八年級·全國·期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知A?2,2，B2,0，C3,3，Pm,n是△ABC的邊AB上的一點，把△ABC經過平移后得到△DEF，點A，B，C的對應點分別為點D，E，F，點(1)在平面直角坐標系中畫出△DEF；(2)求△DEF的面積．【答案】(1)見解析(2)7【分析】本題主要考查了平面直角坐標系內點的平移，平移作圖，求網格中三角形的面積，對于（1），將點P(m,n)向左平移2個單位，再向下平移4個單位得到點P(m?2,n?4)，可知點A，B，C的平移方式與其相同，即可得出點D，E，F，然后依次連接可得答案；對于（2），根據長方形的面積減去三個三角形的面積可得答案．【詳解】（1）∵P(m,n)對應的點為P1∴點P(m,n)向左平移2個單位，再向下平移4個單位得到點P(m?2,n?4)，∴點A，B，C的平移方式與其相同，∴△DEF如圖所示：（2）S△DEF【變式3-3】（23-24八年級·河北邯鄲·期中）在平面直角坐標系中，將A?4,3，B?1,2，C?4,1(1)如果原來四個點的縱坐標保持不變，橫坐標都加上4，將對應所得的點相應地用線段連接起來，那么所得的圖案是由原來的圖案進行了怎樣的平移得到的？寫出文字說明，并在圖上畫出圖形；(2)如果原來四個點的橫坐標保持不變，縱坐標都減去3，將對應所得的點相應地用線段連接起來，那么所得的圖案是由原來的圖案進行了怎樣的平移得到的？寫出文字說明，并在圖上畫出圖形．【答案】(1)原來圖案向右平移4個單位得到新圖案，作圖見解析(2)原來圖案向下平移3個單位得到新圖案，作圖見解析【分析】本題考查作圖平移變換，解題的關鍵是熟練掌握平移變換的性質，點的橫坐標坐標右加左減，縱坐標上加下減．（1）將原來A?4,3，B?1,2，C?4,1，D?3,2四個點的橫坐標都加上4，得到A′0,3，（2）將A?4,3，B?1,2，C?4,1，D?3,2四個點的縱坐標都減，得到A″?4,0，【詳解】（1）解：如圖所示，所得的圖案是由原來的圖案向右平移4個單位得到的；（2）如圖所示：所得的圖案是由原來的圖案向下平移3個單位得到的．【題型4點沿坐標軸方向的平移】【例4】（23-24八年級·廣西百色·期中）在平面直角坐標系中，線段A′B′是由線段AB經過平移得到的，已知點A?3,2的對應點為A′2,?1，點B的對應點B′A．?1,3 B．?1,4 C．1,4 D．2,5【答案】C【分析】本題考查了圖形的平移變換，注意左右移動改變點的橫坐標，左減，右加；上下移動改變點的縱坐標，下減，上加．求原來點的坐標正好相反．直接利用點的平移變化規律求解即可．【詳解】解：∵點A橫坐標從?3到2，說明是向右移動了2??3=5，縱坐標從2到?1，說明是向下移動了故線段A′B′∵點B的對應點B′的坐標為6,1∴點B的坐標為6?5,1+3，即1,4．故選：C．【變式4-1】（23-24八年級·云南怒江·期中）將點A?3,?2向右平移5個單位長度，得到點A1，再把點A1向上平移4個單位長度得到點A2，則點A．?2,?2 B．2,2 C．?3,2 D．3,2【答案】B【分析】本題考查的是坐標與圖形變化?平移．根據橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減解答．【詳解】解：將點A?3,?2向右平移5個單位長度，得到點A1(?3+5,?2)再把點A1向上平移4個單位長度得到點A2，則點A2的坐標為(2,?2+4)故選：B【變式4-2】（23-24八年級·湖北荊州·期中）在平面直角坐標系中，將點1,?4平移到點?3,?2，經過的平移變換為（

）A．先向左平移4個單位長度，再向下平移6個單位長度B．先向右平移4個單位長度，再向上平移6個單位長度C．先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度D．先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度【答案】C【分析】本題考查點的平移．根據點的平移規則：左減右加，上加下減，進行判斷即可．【詳解】解：∵?3?1=?4,?2??4∴將點1,?4先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點?3,?2；故選C．【變式4-3】（23-24八年級·福建廈門·期中）在平面直角坐標系xOy中，線段AB進行平移得到線段CD，點A的對應點是點C，Aa，0，B2，0，Cc,a?b，【答案】12或4【分析】本題考查了坐標與圖形變化?平移，熟練掌握平移的性質是解的關鍵．由題意可知AB=CD，由2AO=CD，得出2AO=AB，即可得出2|a|=2?a，解得a=?2或a=23，根據平移的性質，得出a?c=2?2bb?a=c?2，然后分a=?2【詳解】解：由題意可知AB=CD，∵2AO=CD，∴2AO=AB，∴2|a|=2?a，∴a=?2或a=2∵線段AB進行平移得到線段CD，∴a?c=2?2bb?a=c?2當a=?2時，則?2?c=2?2bb+2=c?2解得：b=8c=12當a=23時，則解得b=8∴c的值是12或4．故答案為：12或4．【題型5圖形沿坐標軸方向的平移】【例5】（23-24八年級·貴州·期中）如圖，把圖1中的△ABC經過一定的變換得到圖2中的△A′B′C′，如果圖1中△ABC上點P的坐標為

A．a+2,b+3 B．a?3,b?2 C．a+3,b+2 D．a?2,b?3【答案】C【分析】根據圖象得△ABC經過平移得到△A【詳解】解：根據圖象得△ABC經過平移得到△A∵A(?3,?2)，A′∴平移方式為：向右平移3個單位長度，向上平移2個單位長度，∴P的坐標為(a,b)，P′的坐標為a+3,b+2故選：C．【點睛】題目主要考查圖象的平移，根據圖象得出平移方式是解題關鍵．【變式5-1】（23-24八年級·浙江嘉興·期末）如圖，在邊長為1的小正力形組成的網格中，點A，B，C部在格點上，若將線段AB沿BC方向平移，使點B與點C重合，則線段AB掃過的面積為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】觀察圖象可知線段AB掃過的圖形是正方形，求出正方形的邊長即可解決問題．【詳解】解：由題意，AB=12+3線段AB掃過的圖形是正方形ABCD，所以線段AB掃過的面積=（10）2=10．故選：B．【點睛】本題考查坐標與圖形變化-平移，正方形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式5-2】（23-24八年級·安徽安慶·期末）如圖在直角坐標系中，右邊的圖案是由左邊的圖案經過平移以后得到的．左圖案中左右眼睛的坐標分別是(?4,2)、(?2,2)，右圖中左眼的坐標是(3，4)，則右圖案中右眼的坐標是，左圖內有一點P(a,b)經過上述平移后，對應點坐標為．【答案】5,4(a+7,b+2)【分析】本題考查了點的平移；根據兩眼的距離為2，得出右圖案中右眼的橫坐標為3+2，即可得出右圖案中右眼的坐標；根據左眼的坐標從?4,2平移到右圖中左眼的坐標是3,4，平移方式為向右平移7個單位，向上平移2個單位，即可得出點P平移后的坐標，即可求解．【詳解】解：∵左圖案中左右眼睛的坐標分別是(?4,2)、(?2,2)，∴兩眼間的距離為2，且平行于x軸，∵右圖中左眼的坐標是(3,4)，∴右圖案中右眼的橫坐標為3+2．則右圖案中右眼的坐標是5,4．∵左眼的坐標從?4,2平移到右圖中左眼的坐標是3,4，平移方式為向右平移7個單位，向上平移2個單位，∴左圖內有一點P(a,b)經過上述平移后，對應點坐標為(a+7,b+2)故答案為：5,4，(a+7,b+2)．【變式5-3】（23-24八年級·北京·期中）如圖，第一象限內有兩點Pm?3,n，Qm+1,n?3，將線段PQ平移，使點P、Q分別落在兩條坐標軸上，則點P平移后的對應點的坐標是

【答案】0,3或?4,0．【分析】此題主要考查圖形的平移及平移特征．在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移規律相同．平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．設平移后點P、Q的對應點分別是P′、Q′．分兩種情況進行討論：①P′在y軸上，Q′在x軸上；②P′【詳解】解：設平移后點P、Q的對應點分別是P′分兩種情況：①P′在y軸上，Q′在則P′橫坐標為0，Q∴n?(n?3)=3，∴點P平移后的對應點的坐標是0,3；②P′在x軸上，Q′在則P′縱坐標為0，Q∴m?3?(m+1)=?4，∴點P平移后的對應點的坐標是?4,0；綜上可知，點P平移后的對應點的坐標是0,3或?4,0．故答案為：0,3或?4,0．【考點2圖形的旋轉】（1）旋轉的定義：把一個平面圖形繞著平面內某一點O轉動一個角度，叫做圖形的旋轉。點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。如果圖形上的點P經過旋轉變為點P′，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點。（2）旋轉的性質：①對應點到旋轉中心的距離相等；②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；③旋轉前后的圖形全等。【題型6旋轉的相關概念】【例6】（23-24八年級·甘肅慶陽·期中）將如圖所示的圖形繞其中心旋轉某一角度后會與原圖形重合，這個角度可以是（

）A．60° B．90° C．120° D．180°【答案】C【分析】本題考查圖形旋轉，分析出圖中圖形的構造方式即可求解．【詳解】解：此圖形可看作由一個基本圖形旋轉120°組成的，故這個角度可以是120°或120°的整數倍，故選C．【變式6-1】（23-24八年級·遼寧沈陽·期中）下列現象中不屬于旋轉的是（

）A． B．C．

D．【答案】D【分析】本題考查了判斷生活中的旋轉現象，熟練掌握旋轉的定義是解題的關鍵：旋轉是圍繞一點旋轉一定角度的圖形變換，因而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋轉前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉的關鍵．根據旋轉的定義逐項分析判斷即可得出答案．【詳解】解：A.屬于旋轉現象，故選項A不符合題意；B.屬于旋轉現象，故選項B不符合題意；C.屬于旋轉現象，故選項C不符合題意；D.屬于平移現象，不屬于旋轉現象，故選項D符合題意；故選：D．【變式6-2】（23-24八年級·甘肅慶陽·期末）如圖，若將△ABC繞點O逆時針旋轉60°后與△LMN重合，則下列角一定等于60°的是（

）A．∠CON B．∠AON C．∠AOC D．∠AOM【答案】A【分析】本題考查了旋轉的性質：旋轉只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，即旋轉前后兩個圖形全等，對應頂點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的夾角等于旋轉角．根據旋轉角的定義解答即可．【詳解】解：∵將△ABC繞點O逆時針旋轉60°后與△LMN重合，C與N是對應點，∴下列角一定等于60°的是∠CON．故選A．【變式6-3】（23-24八年級·河北唐山·期末）如圖，在正方形網格中，將三角形ABC繞點A逆時針旋轉一定角度后得到三角形ADE，則下列說法錯誤的是（

）A．∠BAD為旋轉角，大小為90° B．∠CAE為旋轉角，大小為90°C．AC=AD D．旋轉中心為點A【答案】C【分析】本題主要考查了旋轉的性質，理解旋轉角成為解題的關鍵．根據旋轉的性質逐項判斷即可．【詳解】解：∵將三角形ABC繞點A逆時針旋轉一定角度后得到三角形ADE，∴旋轉角為：∠BAD=∠CAE，AC=AE，旋轉中心為點A，根據網格可知：∠BAD=90°，∴∠CAE=90°，故A、B、D正確，不符合題意；∵AE≠AD，∴AC≠AD，故C錯誤，符合題意．故選：C．【題型7旋轉的性質及應用】【例7】（23-24八年級·貴州黔南·期中）如圖，在△ABC中，∠CAB=32°，將△ABC繞點A逆時針旋轉到△AB′C′的位置，連接CC′．若【答案】32°【分析】本題考查旋轉的性質、平行線的性質．由旋轉得AC=AC′，則∠ACC【詳解】解∶由旋轉得，AC=AC∴∠ACC∵CC∴∠CAB=∠AC∴∠A故答案為：32°．【變式7-1】（23-24八年級·江蘇常州·期末）如圖所示，將等邊三角形ABC分割成大小相同的9個小等邊三角形，分別標上數字1，2，3，…，9，那么標有數字2的小等邊三角形繞它下面的頂點O旋轉180°，可以和標有數字的小等邊三角形重合．【答案】7【詳解】解：由題意可得：標有數字2的小等邊三角形繞它下面的頂點O旋轉180°，可以和標有數字7的小等邊三角形重合．故答案為7．【變式7-2】（23-24八年級·天津靜海·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，將△ABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在AB邊上的點E處，點B落在點D處，連接BD．（1）AD的長為；（2）BD的長為．【答案】104【分析】本題考查了勾股定理，旋轉的性質，掌握旋轉的性質是解題關鍵．由勾股定理可得AB=10，由旋轉的性質，得出AD=10，DE=8，BE=4，∠BED=90°，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=A故答案為：10；（2）由旋轉的性質可知，AD=AB=10，AE=AC=6，DE=BC=8，∠AED=∠ACB=90°，∴BE=AB?AE=4，∠BED=90°，∴BD=B故答案為：45【變式7-3】（23-24八年級·安徽淮南·期中）如圖，A點的坐標為?1,5，B點的坐標為3,3，C點的坐標為5,3，D點的坐標為3,?1，線段AB與線段CD存在一種特殊關系，即其中一條線段繞著某點旋轉一個角度可以得到另一條線段．（1）旋轉中心是，（2）旋轉角為°．【答案】1,1或4,490【分析】本題考查了旋轉的性質；①當點A的對應點為點C時，②當點A的對應點為點D時，根據網格的特點得出旋轉中心與旋轉角，即可求解．【詳解】解：①當點A的對應點為點C時，連接AC、BD，分別作線段AC、BD的垂直平分線交于點E，如圖1所示，∵A點的坐標為?1,5，B點的坐標為3,3，∴E點的坐標為1,1；根據網格可得∠BED=90°②當點A的對應點為點D時，連接AD、BC，分別作線段AD、BC的垂直平分線交于點M，如圖2所示，∵A點的坐標為?1,5，B點的坐標為3,3，∴M點的坐標為4,4．根據網格可得∠BMC=90°綜上所述：這個旋轉中心的坐標為1,1或4,4，旋轉角為90°故答案為1,1或4,4；90．【題型8旋轉作圖】【例8】（23-24八年級·北京東城·期末）如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A，B，C的坐標分別為?2,1，1,2，2,1，將△ABC繞點P逆時針方向旋轉得到△A′B′C′，點A的對應點A′的坐標為?2,?1

(1)點P的坐標是；（填寫正確的選項）A．?1,0

B．0,1

C．1,?1(2)畫出旋轉后的△A′B′C(3)線段BA的延長線與線段A′B′交于點M【答案】(1)A(2)圖見解析，?2,3(3)∠BM【分析】此題考查了坐標與圖形-旋轉變換，旋轉的性質，尋找旋轉中心，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是理解題意，畫出圖形，結合有關性質正確求解．（1）線段A′A，BB（2）根據要求作出圖形，根據圖形可得C′（3）根據旋轉的性質，即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，旋轉中心P的坐標為?1,0，故選：A．（2）解：如圖，△A′B′C故答案為：?2,3；（3）解：由旋轉的性質可得，∠APA′=∠BPB∴△APB≌△∴∠ABP=∠A′B∴∠B則∠BMA

【變式8-1】（23-24八年級·山東濟寧·期末）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A2,4(1)請畫出△ABC繞點B順時針旋轉90°后的△A(2)C1(3)皮克定理：數學上把在平面直角坐標系中橫，縱坐標均為整數的點稱為格點，計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：s=a+b÷2?1，其中a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，s表示多邊形的面積．若用皮克定理求△ABC三角形的面積，則a=________，b=________，S△ABC【答案】(1)畫圖見解析(2)C(3)3，3，3.5【分析】本題考查的是畫旋轉圖形，坐標與圖形，求解三角形的面積；（1）分別確定A,B,C繞B順時針旋轉90°的對應點A1（2）根據C1（3）根據皮克定理可得a=3，b=3，再進一步利用公式計算即可．【詳解】（1）解：如圖，△A；（2）解：由圖可得：C1（3）解：由圖形可得：a=3，b=3，∴S△ABC【變式8-2】（23-24八年級·陜西安康·期末）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點都在邊長為1的正方形組成的網格格點上，點A的坐標為?1,3，點B的坐標為?2,2．將△AOB繞點O順時針旋轉90°得到△A1OB1，畫出旋轉后的△A1OB【答案】圖見解析【分析】本題考查坐標與圖形-旋轉變換，根據網格特點和旋轉性質，得到對應點的位置，然后順次連接即可求解．【詳解】解：如圖，△A【變式8-3】（23-24八年級·陜西商洛·期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A5,4，B1,2，(1)將BC繞點C順時針旋轉90°得到B1C（點B的對應點是點B1），則B(2)請畫出△ABC繞原點O順時針旋轉180°后得到的△A2B2C2（點A，B，C的對應點分別是點【答案】(1)5,2(2)畫圖見解析【分析】本題考查的是畫旋轉圖形，求解旋轉對應點的坐標；（1）先畫出BC繞點C順時針旋轉90°得到B1（2）分別確定A,B,C繞原點O順時針旋轉180°后的對應點A2【詳解】（1）解：如圖，B1∴B1（2）解：如圖，△A【題型9確定旋轉中心】【例9】（23-24八年級·上海浦東新·期末）如圖，如果三角形BCD旋轉后能與等邊三角形ABC重合，那么圖形所在的平面內可以作為旋轉中心的點共有個．【答案】3【分析】根據三角形BCD旋轉后能與等邊三角形ABC重合，確定旋轉中心，即可得到答案．【詳解】解：以點B為旋轉中心，△BCD順時針旋轉60°，能與等邊三角形ABC重合；以C為旋轉中心，△BCD逆時針旋轉60°，能與等邊三角形ABC重合；以BC的中點為旋轉中心，△BCD旋轉180°，能與等邊三角形ABC重合；則圖形所在的平面內可以作為旋轉中心的點共有3個．故答案為：3【點睛】此題考查了圖形的旋轉，熟練掌握旋轉的三要素：旋轉中心，旋轉方向，旋轉角是解題的關鍵．【變式9-1】（23-24八年級·遼寧營口·期末）如圖所示，在正方形網格中，圖①經過變換（填“平移”或“旋轉”或“軸對稱”）可以得到圖②；圖③是由圖②經過旋轉變換得到的，其旋轉中心是點.（填“A”或“B”或“C”）【答案】平移A【分析】圖形平移前后對應邊平行，故由①到②屬于平移；旋轉中心的確定方法是，兩組對應點連線的垂直平分線的交點，即為旋轉中心.【詳解】根據題意可得：圖①與圖②的對應點位置不變，通過平移可以得到；根據旋轉中心的確定方法是，兩組對應點連線的垂直平分線的交點，可確定圖②經過旋轉變換得到圖③的旋轉中心是點A.故填平移；A.【點睛】此題考查圖形的旋轉變換中旋轉中心的確定方法，兩組對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心.【變式9-2】（23-24八年級·廣東廣州·期中）如圖，已知點A2,0，B0,4，C2,4，D6,6，連接AB，CD，將線段AB繞著某一點旋轉一定角度，使其與線段CD重合（點A與點C重合，點A．3,2 B．3,3 C．6,2 D．4,2【答案】D【分析】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，畫出平面直角坐標系，作出新的AC，BD的垂直平分線的交點P，點P即為旋轉中心．【詳解】解：平面直角坐標系如圖所示，旋轉中心是P點，P4,2故選：D．【變式9-3】（23-24八年級·北京朝陽·期末）如圖，在正方形網格中的這兩個格點三角形的旋轉中心是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】C【分析】此題重點考查旋轉的性質、勾股定理等知識，觀察圖形并且找出到兩個格點三角形的每一組對應頂點的距離都相等的點是解題的關鍵．觀察圖形可知，點C到兩個格點三角形的每一組對應頂點的距離都相等，再根據勾股定理進行驗證即可．【詳解】解：如圖，兩個格點三角形分別為△ABP和△QRA，連接CA、CQ、CP、CB、CR，設正方形網格中的每個小正方形的邊長均為1，由勾股定理得CA=CP=CQ=12+∵△ABP和△QRA的每一組對應頂點到點C的距離都相等，∴兩個格點△ABP和△QRA的旋轉中心是點C，故選：C.【題型10與旋轉有關的全等三角形】【例10】（23-24八年級·天津河西·期末）如圖①，將一個正方形紙片OABC和一個等腰直角三角形紙片OED放入平面直角坐標系中，點O(0,0)，點A(0,5)，E(0,4)，D(4,0)．如圖②，將紙片OED繞點O順時針旋轉，設旋轉角為αα．

(1)當旋轉角α為30°時，求此時點E的坐標；(2)當旋轉角α為45°時，連接AE，求AE2(3)在旋轉的過程中，當∠OAE最大時，求此時△COD的面積（直接寫出結果即可）．【答案】(1)E(2)A(3)△COD的面積為6【分析】（1）過E點作EF⊥OA于F，解直角三角形求出EF，OF，可得結論．（2）過E點作EF⊥OA于F，由勾股定理可求出答案；（3）當OE⊥AE時，∠OAE的值最大，由勾股定理求出AE=3，再證明△OME≌△OFDAAS，得出S【詳解】（1）過E點作EF⊥OA于F，

由題意∠AOE=30°，∴EF=1∴OF=O∴E(2,23（2）過E點作EF⊥OA于F，如圖②，由題意得∠AOE=45°，∴∠OEF=90°?∠AOE=90°?45°=45°，∴OF=EF，∵OE=O∴OF=EF=22∴AF=AO?OF=5?22∵∠AFE=90°，∴AE（3）由題意知點E在以O為圓，OE為半徑的圓上運動，當OE⊥AE時，∠OAE的值最大，此時AE=OA2

過點D作DF⊥x軸于F，過點E作EM⊥OA于E．∵∠AOF=∠EOD=90°，∴∠AOE=∠DOF，∵∠EMO=∠DFO=90°，OE=OD，∴△OME≌△OFDAAS∴EM=DF，∵S△COD=12∴S【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，三角形的面積等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【變式10-1】（23-24八年級·河北廊坊·期末）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=42°，D為△ABC內一點，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉42°，得到AE，連接

(1)求證：BD=CE；(2)若DE⊥AC，求∠BAD的度數．【答案】(1)見解析(2)∠BAD=21°【分析】（1）由旋轉的性質可知∠BAC=∠DAE=42°，AD=AE，從而可求∠BAD=∠CAE，進而可證△BAD≌△CAESAS，即得出BD=CE（2）設DE、AC相交于點F，則∠AFD=90°．由等邊對等角結合三角形內角和定理可求出∠ADE=69°，從而可求出∠DAF=21°，進而可得∠BAD=∠BAC?∠DAF=21°．【詳解】（1）證明：由題意可知∠BAC=∠DAE=42°，AD=AE，∴∠BAC?∠CAD=∠DAE?∠CAD，即∠BAD=∠CAE．又∵AB=AC，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE；（2）解：如圖，設DE、AC相交于點F，

∴∠AFD=90°．∵AD=AE，∠DAE=42°，∴∠ADE=180°?42°∴∠DAF=90°?∠ADE=21°，∴∠BAD=∠BAC?∠DAF=21°．【點睛】本題考查旋轉的性質，三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識．解答此題的關鍵是要明確：①對應點到旋轉中心的距離相等．②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．③旋轉前、后的圖形全等．【變式10-2】（23-24八年級·北京朝陽·期末）已知線段AB和點C，將線段AC繞點A逆時針旋轉α0°<α<90°，得到線段AD，將線段BC繞點B順時針旋轉180°?α，得到線段BE，連接DE,F為DE的中點，連接AF,BF

(1)如圖1，點C在線段AB上，依題意補全圖1，直接寫出∠AFB的度數；(2)如圖2，點C在線段AB的上方，寫出一個α的度數，使得AF=3【答案】(1)90°(2)60°，理由見解析【分析】（1）依題意即可補全圖形，連接CD,CE,CF，由題意得∠BAD+∠ABE=180°，即∠FAB+∠DAF+∠FBE+∠FBA=180°，AD∥BE，推出∠D+∠E=180°，由旋轉的性質得到AD=AC,BC=BE，進而得到∠ADC=∠ACD=90°?12α,∠BCE=∠BEC=12α，易得∠DCE=90°，根據F為DE的中點，得到CF=DF=EF，易證（2）延長AF到點G，使得GF=AF，連接BG，連接GE并延長，與AB的延長線相交于點H．證明△DFA≌△GFESAS，△ABC≌△BEG【詳解】（1）解：補全圖1，如圖，連接CD,CE,CF，∵∠BAD=α,∠ABE=180°?α，∴∠BAD+∠ABE=180°，即∠FAB+∠DAF+∠FBE+∠FBA=180°，∴AD∥∴∠D+∠E=180°，∵AD=AC,BC=BE，∴∠ADC=∠ACD=1∴∠CDE+∠CED=180°?90°?∴∠DCE=90°，∵F為DE的中點，∴CF=DF=EF，∵AD=AC，AF=AF，∴△ACF≌同理△BCF≌∴∠FAB=∠DAF,∠FBA=∠FBE，∴2∠FAB+2∠FBA=180°，∴∠FAB+∠FBA=90°，∴∠AFB=180°?∠FAB+∠FBA（2）α=60°，證明：延長AF到點G，使得GF=AF，連接BG，連接GE并延長，與AB的延長線相交于點H．

∵F是DE的中點，∴DF=FE．∵∠DFA=∠GFE，GF=AF，∴△DFA≌△GFESAS∴AD=GE,∠DAF=∠FGE．∴AD∥∴∠DAB+∠H=180°．在△ACB中，∠ACB=180°?∠CAB?∠CBA=180°?=180°?∠DAB+α?∠EBA+180°?α=∠H+∠EBH=∠BEG．∵BE=CE,AD=AC=GE，∠ACB=∠BEG，∴△ABC≌△BEGSAS∴AB=BG,∠ABC=∠GBE．∴AF⊥BF,∠ABG=2∠ABF,∠ABG=∠EBC．∵α=60°，∴∠EBC=180°?α=120°．∴∠ABF=60°．∴∠FAB=30°．∴AF=3【點睛】本題是一道幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定與性質，三角形內角和定理等知識點，深入理解題意是解決問題的關鍵．【變式10-3】（23-24八年級·福建廈門·期中）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，分兩種情況討論，請補充以下推理過程：①當△ABC的三個內角均小于120°時，如圖1，將△APC繞點C順時針旋轉60°得到△A′P

∵△APC繞點C順時針旋轉60°得到△∴PC=P′∴△PCP∴P∵△APC≌△∴P∴PA+PB+PC=P由幾何公理：_____________可得：P∴當B，P，P′，A在同一條直線上時，PA+PB+PC如圖2，PA+PB+PC最小值為A′B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有

②當△ABC有一個內角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點，證明略．(2)如圖3，在ABC中，三個內角均小于120°，且∠ABC=60°，AB=5，BC=3，若P為△ABC的“費馬點”，求PA+PB+PC的值；

(3)如圖4，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為1萬元/km，1萬元/km，2

【答案】(1)①等邊，兩點之間選的最短，120；②見解析(2)7(3)2【分析】（1）①根據題目所給的推理步驟即可解答；②當∠BAC≥120°時，根據大邊對大角得出BC>AC,BC>AB，進而求出頂點A到另兩個頂點距離和最小，即可求證；（2）將△APB繞點C順時針旋轉60°得到△A′P′B，連接PP′，由（1）可得：當B，P，P′，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，延長CB，過點A′作CB延長線的垂線，垂足為D（3）根據題意可得：總的鋪設成本為PA+PB+2PC萬元，將△APC繞點C順時針旋轉90°得到△A′P′C，連接PP′，求出PP′=2【詳解】（1）解：①當△ABC的三個內角均小于120°時，如圖1，將△APC繞點C順時針旋轉60°得到△A′P

∵△APC繞點C順時針旋轉60°得到△A∴PC=P′C∴△PCP∴PP∵△APC≌△A∴P′∴PA+PB+PC=PP由幾何公理：兩點之間選的最短，可得：P∴當B，P，P′，A在同一條直線上時，PA+PB+PC如圖2，PA+PB+PC最小值為A′B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有

②當∠BAC≥120°時，∵∠BAC≥120°，∴BC>AC,BC>AB，∴BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC，∴頂點A到另兩個頂點距離和最小，∵PA+PB≥AB,PA+PC≥AC，∴PA+PB+PC≥AB+AC?PA，∴當點P和點A重合時，PA+PB+PC取最小值，即此時的A點為該三角形的“費馬點”．

（2）解：將△APB繞點C順時針旋轉60°得到△A′P

由（1）可得：當B，P，P′，A在同一條直線上時，PA+PB+PC延長CB，過點A′作CB延長線的垂線，垂足為D∵△APB繞點C順時針旋轉60°得到△A∴∠ABA′=60°∵∠ABC=60°，∴∠A∵A′∴∠BA∴BD=12根據勾股定理可得：A′∴A′（3）解：根據題意可得：總的鋪設成本為PA+PB+2將△APC繞點C順時針旋轉90°得到△A′P∴PC=P′C,∠PC∴PP′2當B，P，P′，A在同一條直線上時，PA+PB+2PC=PA+PB+P∵∠ACB=60°,∠ACA∴∠A∴A′根據勾股定理可得：CD=A∴BD=BC+CD=43根據勾股定理可得：A′即PA+PB+2PC最小值為∴總鋪設成本最少為213故答案為：213

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握旋轉前后對應邊相等，對應邊夾角等于旋轉角，直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．【考點3中心對稱】(1)中心對稱的定義：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱。這個點叫做對稱中心。這兩個圖形在旋轉后能重合的對應點叫做關于對稱中心的對稱點。(2)中心對稱的性質：①中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分；②中心對稱的兩個圖形是全等圖形。(3)中心對稱圖形定義：如果一個圖形繞一個點旋轉180°后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點叫做它的對稱中心。(4)關于原點對稱的點的坐標兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P(x，y)關于原點O的對稱點為P′(-x，-y)?！绢}型11中心對稱的概念與性質】【例11】（23-24八年級·福建福州·期中）如圖，在等邊三角形ABC中，O為BC的中點，AB=2，△BPQ與△BAO關于點B中心對稱，連接CP，則CP的長為．【答案】2【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質和中心對稱，關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質和中心對稱的性質．根據等邊三角形的性質，得BO=1，∠AOB=90°，AO=3，再根據中心對稱的性質，得BQ=BO=1，PQ=AO=3，【詳解】解∶三角形ABC是等邊三角形，O為BC的中點，AB=2，∴BO=1，∠AOB=90°，∴AO=2∵△BPQ與△BAO關于點B中心對稱，∴BQ=BO=1，PQ=AO=3，∠Q=∠AOB=90°，CQ=1+2=3在Rt△PCQ得PC=C故答案為∶23【變式11-1】（23-24八年級·四川成都·期末）若點Pm,2與點Q3,n關于原點對稱，則m，n的值分別為（A．?3，2 B．3，?2 C．?3，?2 D．3，2【答案】C【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標．關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數．根據關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，可得答案．【詳解】解：∵點Pm,2與點Q∴m=?3，故選：C．【變式11-2】（23-24八年級·廣東廣州·期中）如圖，△AGB與△CGD關于點G中心對稱，若點E，F分別在GA、GC上，且AF=CE，求證：BF=DE．

【答案】見詳解【分析】因為△AGB與△CGD關于點G中心對稱，所以AG=CG，BG=DG，因為AF=CE，所以AE=CF，即EG=FG，結合∠BGF=∠DGE，得證△BGF≌△DGE，即可作答．【詳解】證明：因為△AGB與△CGD關于點G中心對稱，所以△AGB≌△CGD所以AG=CG，BG=DG，因為AF=CE，則AF?EF=CE?EF所以AE=CF，因為AG=CG所以AG?AE=CG?CF即EG=FG，因為∠BGF=∠DGE，BG=DG所以△BGF≌△DGESAS則BF=DE【點睛】本題考查了成中心對稱的圖形特征以及全等三角形的判定與性質，成中心對稱的兩個圖形必定能重合，難度較?。咀兪?1-3】（23-24八年級·山東濟南·期末）在平面直角坐標系中，點P1(0,?1)，P2(2,3)的對稱中心是點A，另取兩點B(?1,2)，C(?1,0)．有一電子青蛙從點P1處開始依次作關于點A，B，C的循環對稱跳動，即第一次跳到點P1關于點A的對稱點P2處，接著跳到點P2關于點B的對稱點P3處，第三次再跳到點P3關于點C的對稱點P4A．?1,1 B．?1,?1 C．2,0 D．?4,1【答案】D【分析】本題考查了坐標規律探究，中心對稱，坐標與圖形變化?對稱，利用中心對稱找出坐標規律是解題的關鍵．首先利用題目所給公式一次求出前幾個點的坐標，P10,1→P22,3→P3?4,1→P