第1頁/共1頁2025北京高三一模數學匯編第五道解答題（第20題）一、解答題1．（2025北京門頭溝高三一模）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數的單調性；(3)若在定義域上單調遞減，求的取值范圍.2．（2025北京豐臺高三一模）已知函數，直線l是曲線在點處的切線.(1)當，（為自然對數的底數）時，求l的方程；(2)若存在l經過點，求實數a的取值范圍；(3)當時，設點，，B為l與y軸的交點，表示的面積.求的最小值.3．（2025北京平谷高三一模）已知函數.(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若，求的單調區間；(3)當變化時，曲線在點處的切線斜率能否為1？若能，求的值，若不能，說明理由.4．（2025北京海淀高三一模）已知函數．(1)若曲線在點處的切線為，求的值；(2)若為上的單調函數，求的取值范圍；(3)若函數，求證：可以取無數個值，使得每一個的取值都恰有三個不同的零點．5．（2025北京東城高三一模）設函數，曲線在處的切線方程為.(1)求的值；(2)求不等式的解集；(3)已知，其中，直線的方程為.若，且，求證：.6．（2025北京西城高三一模）已知函數，其中．(1)若曲線在點處的切線的斜率為2，求的值；(2)求函數的單調區間；(3)設函數在區間上的最大值和最小值分別為，，求使得不等式成立的的最小值．7．（2025北京石景山高三一模）已知函數．(1)若，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）證明：函數在區間上有且只有一個零點．(2)若實數使得對恒成立，求的取值范圍．8．（2025北京順義高三一模）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，求證：是上的單調遞減函數；(3)求證：當時，.9．（2025北京朝陽高三一模）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，求證：當時，；(3)若函數有個不同的零點，求的取值范圍．10．（2025北京延慶高三一模）已知函數.(1)若，求在處的切線方程；(2)若，求的單調區間；(3)若，且，證明：.11．（2025北京房山高三一模）已知函數在處取得極值.(1)求的單調區間；(2)設，求證：曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.

參考答案1．(1)(2)答案見解析；(3)【分析】（1）利用導數的幾何意義即可求出切線方程；（2）對函數求導再對的取值范圍進行分類討論，即可求得函數的單調性；（3）將問題轉化為在上恒成立，再利用（2）中的結論可得即可，構造函數即可求得當時滿足題意.【詳解】（1）當時可得，則，此時，因此切線方程為，即；（2）由可得其定義域為；且，即，顯然，當時，，此時在上單調遞增；當時，令可得，若，，此時在上單調遞增；若，，此時在上單調遞減；綜上可得，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（3）若在定義域上單調遞減，可得在上恒成立；由（2）可得當時，即在上單調遞增，當，可得，顯然不合題意；當時，可得在上單調遞增，在上單調遞減；即在處取得極大值，也是最大值；即恒成立；令，；則，顯然當時，，此時在上單調遞減；當時，，此時在上單調遞增；因此，即，又恒成立，可得，即.所以的取值范圍為.2．(1)(2)(3)【分析】（1）代入得到函數，求出切點坐標，然后求導數得到切線斜率，然后寫出切線方程；（2）由函數求出切點坐標，由導數求出切線斜率得到切線方程.帶點到直線方程得到方程，設函數，通過導數求得函數的單調區間，然后得到函數的最小值，方程有解即函數由零點，即函數最小值小于等于0，建立不等式后求得實數a的取值范圍；（3）代入得到函數解析式，然后求出切點坐標，求導數得到切線斜率，然后得到切線方程，即得點坐標.然后得到三角形面積，由（2）得到函數在時取得最小值，由于最小值大于0，從而知道當時，三角面積最小值，即得到結果.【詳解】（1）當，（為自然對數的底數）時，，，，，所以直線l的方程為，即.（2）因為，所以.因為，所以.所以直線l的方程為.因為l經過點，所以，化簡得.設，由題意知，存在，使得.又因為，當時，，在區間上單調遞減；當時，，在區間上單調遞增；所以在時取得最小值.因為，所以，解得.此時.因為，所以只需.所以a的取值范圍是.（3）當時，，，，，直線l的方程為.令，得，即，所以.由（2）知，當時，在時取得最小值，因為，所以恒成立，所以當時，取得最小值.3．(1)(2)的單調減區間為，無增區間.(3)能，【分析】（1）利用導數求得，利用點斜式方程可求切線方程；（2）求導得，令，求導得，可得結論；（3）由題意判斷方程的解的情況，令求導可得結論.【詳解】（1）當時，則，，，所以在點處的切線方程為.（2）當時，函數的定義域是，所以，令，所以，當時，；當時，，所以在時為增函數，在上為減函數，在處取得最大值，又，故恒成立，所以的單調減區間為，無增區間.（3）由題意知，因為，所以，即有，令則，故是上的增函數，又，因此0是的唯一零點，即方程有唯一實根0，所以.所以曲線在點處的切線斜率能為1，此時.4．(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據，結合導數運算，即可求得參數值；（2）分類討論，為增函數和減函數，參變分離，根據或在上恒成立，即可求得范圍；（3）根據，以及為奇函數，只需證明在有一個零點即可；討論時，的單調性，結合（2）中所求，即可證明.【詳解】（1），故，故；由題可知，，故，解得.（2）若為上的單調增函數，則在上恒成立，即，也即恒成立，又，故；若為上的單調減函數，則在上恒成立，即，也即恒成立，又，故；綜上所述，若為上的單調函數，則的范圍為.（3），其定義域為，又，故其為奇函數；又，故只需證明可以取無數個值，使得每一個的取值在有一個零點即可.又，令，則，當時，由（2）可知，為上的單調減函數，又，故在恒成立，故在單調遞減，又，，故存在，使得，則當，，單調遞增；當，，單調遞減；故當，，又，故存在，使得；綜上所述：當時，在存在唯一零點，也即當時，恰好有三個零點，于是，可以取無數個值，使得每一個的取值都恰有三個不同的零點.5．(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）利用導數的幾何意義求切線方程，結合已知求參數值；（2）導數研究函數的單調性，結合函數的零點求不等式的解集；（3）問題化為且上恒成立，即判定證明、在上單調遞增即可證.【詳解】（1）由題設，則，而，所以曲線在處的切線方程為，所以，即為，則；（2）由（1）得，則，令，則，當，，在上單調遞減，當，，在上單調遞增，所以，故在R上單調遞增，且，所以的解集為；（3）由（2）知在R上單調遞增，要證，即證，由且，即證，由，，則且，所以且上，證明，即恒成立，所以，只需證在上單調遞增，且增長速度逐漸變快，由（2），、在上均單調遞增，所以且上，恒成立，故，得證.6．(1)(2)答案見解析(3)2【分析】（1）根據導數的幾何意義求解即可；（2）求導，分和兩種情況討論求解即可；（3）結合（2）易得函數在上單調遞增，再結合題設將問題轉化為，令，利用導數分析其單調性，進而求解即可.【詳解】（1）由，則，則，解得．（2）由，則，當時，，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，令，得，若，由，得；由，得，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為；若，由，得；由，得，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．綜上，當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（3）由（2）知，當時，函數在區間單調遞增，當時，，當且僅當，即時等號成立，則函數在上單調遞增；當時，，當且僅當，即時等號成立，則函數在上單調遞增.綜上所述，函數在上單調遞增，所以．由，得，令，則，由，得或．當變化時，與的變化情況如下表：1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在和上單調遞增，在上單調遞減．又因為，，且，所以當時，；當時，．即當且僅當時，恒成立，所以使得成立的的最小值為2．7．(1)（i）；（ii）證明見解析(2)【分析】（1）（i）求出函數的導函數，利用導數的幾何意義求出切線方程；（ii）令，利用導數說明函數的單調性，即可得到的單調性，再結合零點存在性定理證明即可；（2）令，，求出函數的導函數，對分三種情況討論，說明函數的單調性，即可得解.【詳解】（1）（i）當時，則，又，則，所以函數在點處的切線方程為；（ii）因為，，令，，則，當時，所以，所以即在上單調遞減，又，所以，所以在上單調遞增，又，當時，，所以，所以在區間上有且只有一個零點；（2）由對恒成立，即對恒成立，令，，則，所以，令，則，當時，對任意，則，所以在單調遞減，所以，滿足題意；當時，在上恒成立，所以在單調遞減，又，，①當，即時，恒成立，所以在單調遞減，所以，滿足題意；②當且時，即時，由零點存在性定理知，，使得.當時，，所以在上單調遞增，所以，不滿足題意；③當時，即時，對任意單調遞增，所以，不滿足題意.綜上，的取值范圍為.8．(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）求出，再計算得切點和切線斜率即可得到切線方程；（2）通過二次求導得，則，則是上的單調遞減函數；（3）令，求導得，再利用放縮法得，最后再次放縮即可證明.【詳解】（1）依題意，．又，所以.所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由（1）知，，，所以.令，則，因為，所以，即，所以在上單調遞減，所以，即，所以是上的單調遞減函數.（3）令，則，由（2）知，在上單調遞減，所以當時，，此時，即在上單調遞減，所以，即，當時，，，.所以即，所以即，綜上可得：當時，.9．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）當時，求出、的值，利用導數的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）當時，利用導數分析函數在上的單調性，結合單調性即可證得結論成立；（3）對實數的取值進行分類討論，利用導數分析函數在定義域上的單調性，確定每種情況下函數的零點個數，并結合零點存在定理可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，，則，所以，．所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）由題設知．設函數．當時，因為，所以對任意的恒成立，即．所以函數在區間上單調遞增，所以．所以當且時，．（3）函數的定義域為，．①當時，，函數在區間上單調遞減，函數至多一個零點，不合題意；②當時，由（2）可知函數在區間上單調遞增，函數至多一個零點，不合題意．③當時，對于函數，因為，所以方程有兩個實數根、，滿足，，不妨設，則，、的情況如下：增極大值減極小值增所以函數的單調遞增區間是、，單調遞減區間是．因為，所以為的一個零點．又，，且，所以存在唯一實數，使得．又，，且，所以存在唯一實數，使得．所以函數有個不同的零點．綜上，的取值范圍為．10．(1)(2)單調遞增區間為，單調遞減區間為，(3)證明見解析【分析】（1）根據導數的幾何意義求出切線斜率即可得解；（2）求出導數，再根據得出方程的根，列表即可求出函數單調區間；（3）求出，構造函數，利用導數判斷函數單調性，由單調性求出函數最小值即可得證.【詳解】（1）由，所以所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即（2）由，定義域為，令得或因為，所以.所以，列表：00遞減遞增遞減所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，（3）因為，又，，所以是方程的兩個根.依題意，有，所以，即，所以，令，則，令，則因為，所以，所以在上是增函數，所以，所以在為減函數，所以，即.【點睛】關鍵點點睛：根據題意計算出是解題的第一個關鍵，再由二次求導判斷出函數單調性，利用單調性求最值是解決問題的第二個關鍵所在.11．(1)的單調遞增為；單調遞減區間為.(2)證明見解析【分析】（1）根據函數的極值點求得，再利用導函數的符號確定函數的單調區間即可;（2）求導得，由（1）得，計算得，，由函數單調性推出存在，使.法一：寫出曲線在點處的切線方程：，根據的單調性推出可得證；法二：利用推出，寫出曲線在處的切線的方程，同理得曲線在處的切線的方程，證明即可.【詳解】（1）由，得.因為函數在處有定義，所以.因為在處取得極值，所